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Matemáticas Empresariales II (ADE)Matemáticas Empresariales II (ADE) – – Prof. Aurelio FernándezProf. Aurelio Fernández
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Tema 2.
Integral indefinida
Matemáticas Empresariales II (ADE)
2
Cuando estudiamos cálculo diferencial, tenemos una función f(x) y
queremos obtener otra función, f’(x). Ahora queremos partir de f’(x) y
obtener la función f(x). Para ello recurriremos al concepto de integral
indefinida. El proceso de integración o antiderivación es muy útil en
economía ya que refleja la relación entre stock y flujos (Ej. Inversión y
stock de capital) y conceptos marginales y totales (costes marginales y
totales).
Dada la función f(x)=x
2
, sabemos por las reglas de derivación que f’(x) =
2x. Por tanto, sabiendo que la derivada de una función es f’(x)=2x, uno
podría esperar, haciendo el razonamiento inverso que la función que
tiene esta derivada es f(x) =x
2
. Sin embargo, para cualquier constante k,
la función f(x) = x
2
+k, tiene la misma derivada. Con ello queda claro
que no podemos recuperar completamente la forma de la función original
sabiendo solamente su derivada. En general, dado que la derivada de una
constante es cero, podemos afirmar que si la función f(x) tiene derivada
f’(x), entonces cualquier función g(x)=f(x)+k también tiene derivada
f’(x).
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Primitiva de una función
f ( )x dx = F x( ) + k
A pesar de que el proceso de integración es el inverso a de la
derivación, debemos aprender una nueva notación. En lugar de
referirnos a la función como f(x) y a su derivada como f’(x), es más
común usar F(x) para referirse a la función y f(x) para referirse a su
derivada. A la función F(x) la llamamos primitiva de la función f(x).
Dado que conociendo f(x) sólo podemos recuperar la función hasta
una constante arbitraria, decimos que la integral de f(x) es F(x)+k,
donde k se denomina constante de integración. Simbólicamente
tenemos:
f(x) se denomina integrando, ya que:
( )
( )
d F x
f x
dx
=
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Reglas algebraicas de integración
f x dx
f x
dx
g x
g x dx
a f ( )x dx = a f ( )x dx , a=constante
[ ]
f ( )x + g x( ) dx = f ( )x dx + g x( ) dx
[ ]
f ( )x − g x( ) dx = f ( )x dx − g x( ) dx
Atención!!!!!
f ( )x g x dx ( ) ≠ f ( )x dx g x( ) dx
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Métodos de integración. Cambio de variable
o sustitución.
Para resolver integrales que no sean inmediatas, debemos recurrir a
determinados métodos que nos faciliten la tarea. El método más sencillo (y
por ello más limitado) es el de cambio de variable. El cambio de variable en
una integral indefinida se puede efectuar de dos formas:
- Cambiando la variable x por una función x= g(t), donde g(t) es una
función monótona, continuamente derivable de una nueva variable t.
[ ]
( )
( ) ( ) '( )
'( )
x g t
f x dx f g t g t dt
dx g x dt
=
= =
=
∫ ∫
- Cambiando parte del integrando por una nueva variable g(x)=t
[ ]
( )
( ) '( ) ( )
'( )
g x t
f g x g x dx f t dt
g x dx dt
=
= =
=
∫ ∫
En la práctica se combinan ambos métodos, ya que:
1
x g t ( ) t g ( )x
−
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Cambio de variable o sustitución. Procedimiento.
- Elija una sustitución t=t(x) que “deje más simple” el
integrando f(x).
- Exprese toda la integral en términos de t y dt=t’(x) dx.
Esto significa que todos los términos que tienen x y dx
deben ser convertidos en términos de t y dt.
- Luego del paso anterior, la integral resultante será:
∫ f(x) dx= ∫g(t) dt. Entonces, encuentre la primitiva de g(t),
es decir G(t)+k.
- Reemplace t y t(x) en G(t) para obtener la primitiva
G(t(x)) para f(x), de modo que:∫f(x) dx = G(t(x)) +k
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Integración por cambio de variables. Ejemplo.
La función que se utilice tendrá que tener derivada continua para que
se pueda realizar la nueva integral, e inversa para poder deshacer el
cambio.
Ejemplo:
2 5
4 4
3 1 1
2 2 2 5 2
u x du u
u u du k
du x dx
= +
= = = + =
=
∫ ∫
( )
5
2
3
10
x
k
= +
( )
4
2
x x + 3 dx=
∫
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Integración por cambio de variables. Ejemplos
sin
x x
e e dx =
∫
( ) ln cos x tanx dx =
∫
sin cos cos
x
x
x
u e
u du u k e k
du e dx
= = − + = − +
=
∫
2
ln cos
sin
tan 2
cos
t x
t
t dt k x
dt dx x dx
x
=
= − = − + = −
= = −
∫
( ( ))
ln cos
= − x +k
( ) ( )
2
2 4 2
2
t x t x
t t t dt t t dt
x t dx t dt
∫ ∫
( ) ( )
5 3
5 3
x x
t t
k k
x x + 1 dx=
∫
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Método de integración por partes. Ejemplos 1 y 2
x sinx dx =
∫
cos cos
sin cos
u x du dx
x x x dx
dv x dx v x
= → =
= − +
= → = −
∫
= − x cos x + sinx +k
2
2
arctan
arctan
dx
u x du
x
x x dx
x
x
dv dx v x
∫
( )
2
2
arctan arctan ln 1
x
x x dx x x x k
x
∫
arctan x dx =
∫
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14
Método de integración por partes. Ejemplo 3.
1
cos cos cos
sin cos
x x
x x x
u e du e dx
e x e x dx e x I
dv x dx v x
∫
Aparece una integral I 1
, que también calculamos por partes:
1
cos sin sin
cos sin
x x
x x x
u e du e dx
I e x dx e x e x dx
dv x dx v x
∫ ∫
Aparece nuevamente la integral que, en un principio, tratábamos de calcular.
Sustituimos y operamos como si se tratara de una ecuación, agrupando las dos
integrales:
sin cos sin sin
x x x x
e x dx = −e x + e x − e x dx
∫ ∫
2 sin cos sin
x x x
e x dx = −e x +e x
∫
cos sin
sin
x x
x
e x e x
e x dx k
∫
De donde resulta:
Y despejando la integral y añadiendo la constante, tenemos:
sin
x
e x dx =
∫
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Descomposición en fracciones simples
Este método se utiliza para la integración de funciones racionales, es
decir, las que vienen definidas por el cociente de dos polinomios.
( )
( )
P x
dx
Q x
∫
x − a
( )
n
x − a
2
Ax B
x px q
( )
2
n
Ax B
x px q
Se denominan fracciones simples (o elementales) a las fracciones
racionales de los cuatro tipos siguientes:
Siendo x
2
+px+q irreducible.
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Descomposición en fracciones simples
Las siguientes integrales racionales son inmediatas:
dx ln x a k
x a
∫
ln ( )
f x
dx f x k
f x
∫
( )
( )
( )
( )( )
1
1
n
n
n n
x a
dx x a dx k k
n x a n x a
− +
−
−
∫ ∫
2
arctan
dx x k
x
∫
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Descomposición en fracciones simples
0
A
x −x
( ) ( ) ( )
1 2
2
0 0 0
r
r
A A A
x x
x x x x
♦Por cada raíz real simple, se asigna una fracción del tipo:
♦ Por cada raíz real x
0
de multiplicidad r, se asignan fracciones del
tipo:
donde A es un coeficiente real a determinar.
donde A 1
, A
2
,…,A
r
son coeficientes reales a determinar.
♦ Por cada raíz compleja simple (a ± b i), se asigna una fracción del
tipo:
( )
2 2
M x N
x a b
donde M y N son coeficientes reales a determinar.
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Descomposición en fracciones simples
Para determinar los coeficientes indeterminados anteriores, se iguala
el cociente P(x)/Q(x) a la suma de las fracciones simples asignadas.
Una ves determinados, la resolución de la integral propuesta, se
reduce al cálculo de fracciones simples.
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Descomposición en fracciones simples. Ejemplo 1
5 3 2
3
x x x x
dx
x x
∫
5 3 2 2
2
3 3
3 21 28 7 11 10 7 11
3
7 6 7 6
x x x x x x
x
x x x x
− + − − − −
= +
− + − +
( )( )( )
3
x − 7 x + 6 = x − 1 x − 2 x+ 3
Se trata de un cociente de polinomios donde el grado del numerador es superior al del
denominador. El primer paso es realizar la división:
Seguidamente descomponemos el segundo sumando en fracciones simples. Para ello
calculamos las raíces del denominador. Aplicando la regla de Ruffini, tenemos:
De esta forma nos queda: x
2
1 0 − 7 6
1 1 1 − 6
1 1 − 6 0
2,
1 1 24 1 5
2 2
x
− ± + − ±
= = =
x 2
= 2
x 3
= − 3
Por tanto:
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Descomposición en fracciones simples. Ejemplo 1
5 3 2 2
2
3 3
3 21 28 7 11 10 7 11
3
7 6 7 6
x x x x x x
dx x dx dx
x x x x
− + − − − −
= + =
− + − +
∫ ∫ ∫
2 2
2 3 5 2 3 5
3 3
1 2 3 1 2 3
x dx dx x dx dx dx dx
x x x x x x
= + + + = + + +
− − + − − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2 3 5 3
3 2 ln 1 3ln 2 5ln 3 ln 1 2 3
x
x x x k x x x x k
2
3
x x A B C
x x x x x
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
2
3
A x x B x x C x x x x
x x x x x
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
10 x − 7 x − 11 = A x − 2 x + 3 + B x − 1 x + 3 + C x − 1 x− 2
Si x=1, tenemos, A=2 Si x=2, tenemos, B= Si x=−3 , tenemos, C=
