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Lógica Matemática
M.C. Mireya Tovar Vidal
Contenido
Proposicional
Definición
Sintaxis
Proposición
Conectivos lógicos
Semántica
Primer orden
cuantificadores
Finalidad de la unidad
Traducir enunciados sencillos a expresiones
lógicas.
Construir tablas de verdad de proposiones
compuestas
Averiguar si dos proposiciones son
lógicamente equivalentes.
Verificar si un razonamiento es correcto.
Definición
Lógica
Es la disciplina que trata de los métodos de razonamiento.
Proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no
válido un argumento dado.
Razonamiento lógico
Matemáticas: demostrar teoremas Ciencias de la computación: verificar si son o no correctos los programas y demostrar teoremas Ciencias físicas y naturales: sacar conclusiones de experimentos Ciencias sociales: para resolver una multitud de problemas.
Lógica
Ciencia formal y rama de la Filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida.
La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones de un planteamiento dado.
Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión.
La palabra deriva del griego antiguo λόγος (logos), "palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio".
Lenguaje
Sintaxis
Alfabeto
Formulas bien formadas
Semántica
Tablas de verdad
Sintaxis
Proposiciones
Una proposición o enunciado es una oración que
declara que algo es verdadero o falso pero no
ambas cosas.
Ejemplos:
La tierra es redonda
¿Habla inglés?
3 - x=
Tome dos aspirinas
El sol saldrá mañana
Si Si No, es una pregunta No, porque depende del valor de x No, es una orden Si
Ejercicio Son proposiciones las siguientes sentencias:
- ¿A donde estas?
- Y te acabas la sopa!
- Esta oración es falsa
- Victoria es alta.
- El helado es delicioso.
- X > 5.
Ejemplos
Negación
p: Hay vida en la luna
¬p: No hay vida en la luna
p: Los elefantes temen a los ratones
¬p Los elefantes no temen a los ratones
Conjunción
p: Aquiles corre velozmente.
q: La tortuga corre velozmente.
p ¬ q: Aquiles corre velozmente, pero la tortuga
no.
Disyunción
Sea
p: "El mayordomo cometió el crimen",
q: "El pintor cometió el crimen"
r: "La sirvienta cometió el crimen"
p v q: "O el mayordomo o el pintor cometieron el
crimen"
(pvq) ¬r: "O el mayordomo o el pintor cometieron
el crimen, pero no la sirvienta".
Condicional o implicación
Si los burros vuelan, entonces las tortugas saben
álgebra
p: los burros vuelan
q: las tortugas saben álgebra
p q
Bicondicional
La Tierra es cúbica si y sólo si el Sol es un
planeta“
p: "La Tierra es cúbica": F
q: "El Sol es un planeta": F
Ejemplo:
Programa:
i:=
j:=
while (i < 2 and j<5) or i+j = 5 do
begin
i:=i+ j:=j+
end
p: i < 2 q: j<5 r: i+j = 5
(p q) v r
Semántica
Tablas de verdad A ~A V F F V
A B A ^ B V V V V F F F V F F F F
A B A v B V V V V F V F V V F F F
A B A B V V V V F F F V V F F V
A B A B V V V V F F F V F F F V
Tablas de verdad en proposiciones
compuestas
Una tabla de verdad es un algoritmo o procedimiento que a través de la aplicación mecánica de un conjunto finito de reglas, permite definir la validez o invalidez de las inferencias.
Consiste en aplicar valores de verdad en cada expresión atómica que conforma la proposición compuesta; de esta forma, cualquier renglón de la tabla para una fórmula dada p se le denomina interpretación de p.
Jerarquía de Conectivos Lógicos
Menor Prioridad
Negación
Conjunción
Disyunción
Condicional
Equivalencia
Mayor Prioridad
Algoritmo para construir una tabla de verdad
- Generar una tabla donde las columnas correspondan a cada proposición simple, además de cada una de las proposiciones compuestas considerando las prioridades.
- El número de filas es el resultado de aplicar la formula 2n, donde n es el número de proposiciones simples.
- Asignar valor de verdad a cada una de las columnas restantes de acuerdo al operador indicado.
- La última columna, correspondiente a la fórmula original, es la que indica los valores de verdad posibles de la fórmula para cada caso.
Ejemplo de Contradicción
Osiris ama a Isis y Set ama a Isis, Osiris no ama a
Isis
p= Osiris ama a Isis
q= Set ama a Isis
p q (^) p q p (p q) p
V V V F F V F F F F F V F V F F F F V F
(p q) p
Demuestre que son contradicciones:
[(¬p) q] [p (¬q)]
[(¬p) p]
[(¬p) q] [p (¬q)]
Definición La proposición compuesta P implica lógicamente la proposición compuesta Q.
P => Q
p 1 , p 2 , p 3 , … pn => q 1 , q 2 , … qm
Esto se cumple cuando
p 1 , p 2 , p 3 , … pn → q 1 , q 2 , … qm es una tautología
Ejemplo:
~(p v q) => ~ p
~(p v q) es T, p v q es F, p es F, q es F. Luego ~p es T
Definición
Las proposiciones compuestas P y Q son
lógicamente equivalentes
P ≡ Q
p 1 , p 2 , p 3 , …, pn ↔ q 1 , q 2 , …, qm
Esto se cumple cuando
p 1 , p 2 , p 3 , …, pn ↔ q 1 , q 2 , …, qm es una tautología
Leyes de De Morgan
¬(p q) ≡ ¬p v ¬q
¬(p v q) ≡ ¬p ¬q
Tautologías
0.- p q p v q Ley de la implicación
Tautologías
Reglas de Inferencia
Los argumentos basados en tautologías representan
métodos de razonamiento universalmente correctos.
Su validez depende solamente de la forma de las
proposiciones que intervienen y no de los valores de
verdad de las variables que contienen.
A esos argumentos se les llama reglas de inferencia.
Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o
más tautologías o hipótesis en una demostración.
Ejercicio
1. Deduce la conclusión (primero formalizar)
Sí es un perro entonces es carnívoro.
Es un perro.
2. Deduce la conclusión (primero formalizar)
Una de dos: pera o manzana.
No quiero la pera.
3. Para el primer inciso demuestra con tabla de
verdad y con reducción de expresiones (vía
tautologías que es válido)
Razonamientos y demostraciones
Sistema axiomático, formado: Axiomas: se suponen ciertos. Definiciones: se usan para crear nuevos conceptos en términos de otros ya existentes. Términos no definidos: pero si lo están implícitamente por los axiomas. Ejemplo: Sistema axiomático: Geometría euclidiana Axiomas: Dados dos puntos distintos, existe una recta única que los contiene. Términos no definidos: Punto, recta, pero están implícitamente definidos por los axiomas que describen sus propiedades. Definiciones: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º.
Teoremas Es un resultado que se puede deducir de los axiomas, de las definiciones y de los teoremas establecidos previamente. Demostración El razonamiento que establece la veracidad de un teorema. Lema Es un teorema que no tiene especial interés en sí mismo pero que es útil para probar otro teorema. Si los lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a ellos también son iguales. Corolario Es un teorema que se deduce inmediatamente de un teorema. Si un triángulo es equilátero, entonces tiene sus ángulos iguales.
Demostración directa
Los teoremas son de la forma: Si p, entonces q (1)
Una demostración directa supone que p es verdadera y después, usando tanto p como axiomas, definiciones y teoremas establecidos con anterioridad, prueba directamente que q es verdadera.
Ejemplo: Si d = min {d 1 , d 2 } y x<d, entonces x < d 1 y x < d 2. Dem: De la definición de mín, se deduce que d ≤ d 1 y d ≤ d 2. Como x < d y d ≤ d1, se puede deducir que x < d 1. Ya que x < d y d ≤ d 2 , puede deducirse que x < d 2. Por lo tanto, x < d 1 y x < d 2
Demostración por contradicción o
indirecta
Se establece mediante la demostración de la proposición lógicamente equivalente (p ~q) → (r ~r) (2) Cuya conclusión es una contradicción. Se prueba (2) y se concluye que (1) es verdadera. Ejemplo: Si x + y ≥ 2, entonces x ≥ 1 o bien y ≥ 1. Dem: Considere la hipótesis verdadera y la conclusión falsa. Entonces, x<1 y y<1. Sumando estas dos desigualdades obtenemos: x + y < 1 + 1 = 2 Con esto llegamos a la contradicción p ~p, en donde p: x + y ≥ 2. Por lo tanto, se concluye que la proposición es verdadera.
Razonamientos
Definición Un razonamiento es una sucesión de proposiciones escritas de la siguiente manera: p 1 p. 2 . . pn q El razonamiento es válido si p 1 p 2 … pn => q se cumple; en caso contrario, no es válido (se dice que es una falacia). El razonamiento tiene validez cuando p 1 p 2 … pn → q es una tautología
Reglas de inferencia
Modus Ponens (MP) A B A B Regla de Prueba por Casos A C B C A v B C Contrapositiva A B ~B ~A Simplificación A B A B A B Amplificación disyuntiva A A v B
Modus Tollens A B ~B ~ A Regla de la conjunción A B A B Regla del silogismo disyuntivo A v B ~ B A Regla del dilema constructivo A B C A v C D B v D
Reglas de inferencia
Introducción al antecedente (IA) A B A Regla del silogismo (Sil) A B B C A C Mutación (Mut) A (B C) B (A C) Importación (Imp) A A (^) B(B CC) Exportación (Exp) A B C A (B C) Conmutativa (Conm) A B B A B A A B
Asociativa (As) A (A (BB) C)C) Distributiva (Distr) A (B v C) (A B) v (A C) (A B) v (A C) A (B v C) Idempotencia (Idem) A A A AA A Absorción (Absr) A (A v B) A A A (A v B) Conmutativa (Conm) A v B B v A B v A A v B Asociativa (As) A (A v B) v C) v (B v C)
Ejercicio
p q
q r s
r t u
p t
u
p , t
q r , s
t u
u
Ejemplo Demostrar que el siguiente argumento es válido Si la banda no pudiera tocar rock o las bebidas no llegasen a tiempo, entonces la fiesta de Año Nuevo tendría que cancelarse y Alicia se enojaría. Si la fiesta se cancelaran, habría que devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lo tanto la banda pudo tocar rock. Forma simbólica: p: la banda pudo tocar rock q: las bebidas se entregaron a tiempo r: la fiesta de año nuevo se canceló s: Alicia estaba enojada t: Hubo que devolver el dinero
- r → t Premisa
- ~t Premisa
- ~r Modus Tollens de 1, 2
- ~r v ~s Amplificación disyuntiva a 3
- ~(r s) De Morgan a 4
- (~p v ~q) → (r s) Premisa
- ~(~p v ~q) Modus tollens 6,
- p q De Morgan y doble negación a 7
- p simplificación a 8
(~p v ~q) → (r s) r → t ~t p
Ejercicio
p r
p q
q s
r s
r p
r q
r s
Regla por casos
Ejemplo:
Ejercicio
Demostrar que el siguiente argumento es válido
Si voy a mi primera clase mañana tendré que madrugar y si voy al baile esta noche me acostaré tarde. Si me acuesto tarde y madrugo tendré que vivir con sólo cinco horas de sueño. No puedo vivir con sólo cinco horas de sueño. Por lo tanto: O no voy a mi primera clase mañana o no voy al baile esta noche.
Solución
Demostrar que el siguiente argumento es válido
Si voy a mi primera clase mañana tendré que madrugar y si voy al baile esta noche me acostaré tarde.
Si me acuesto tarde y madrugo tendré que vivir con sólo cinco horas de sueño.
No puedo vivir con sólo cinco horas de sueño.
Por lo tanto: O no voy a mi primera clase mañana o no voy al baile esta noche.
p (^) q
r s (p^ →q)^ (r^ →^ s)
(s q) → t t
~ t
~p v ~r
Solución
Premisa Premisa Premisa CP 2 MP 3, De Morgan 5 Casos 6 Simpl 1. MT 7, Ad 9 Casos 6 Simpl 1 MT 11, 12 Ad 13 Prueba por casos 6,7, 11
- (p →q) (r → s)
- q s → t
- ~t
- ~t → ~(q s)
- ~(q s)
- ~q v ~s
- ~q
- p →q
- ~p
- ~p v ~r
- ~ s
- r → s
- ~ r
- ~p v ~r
- ~p v ~r
(p →q) (r → s) (s q) → t ~ t ~p v ~r
Supuestos
, A B
A B
Ejemplo:
A (B C) A ^ B C
1. A (B C) Premisa
2. A ^ B Supuesto
3. A Simplificación 2
4. B C MP 3,
5. B Simplificación 2
6. C MP 5,
7. A ^ B C Cancelación del supuesto 2,
p
p
p
q r
n
p
p
p
q
r
n
