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Clases de
Álgebra Lineal
para Ingeniería
Revisión 2.2: Septiembre 201 1
Pedro José Hernando Oter
Instituto Universitario “Gregorio Millán Barbany” Grupo de Modelización, Simulación Numérica y Matemática Industrial Dep. Ciencia e Ing. de Materiales e Ing. Química Escuela Politécnica Superior UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
© Pedro José Hernando Oter, 201 1
Pedro José Hernando Oter Dep. Ciencia e Ing. de Materiales e Ing. Química Escuela Politécnica Superior UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Avda de la Universidad, 30 28911 Leganés SPAIN [email protected]
ISBN: xxx-xx-xxx-xxxx-x Revisión 2. 2 - Septiembre 201 1 Made by LATEX.
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
- 1 Sistemas de Ecuaciones Lineales Tema Página
- 1.1 Introducción a los Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL)
- 1.1.1 Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones
- 1.1.2 Puntos y Espacios Rn
- 1.1.3 Sistemas de Ecuaciones Lineales
- 1.2 Geometría de los SEL en Rn
- 1.2.1 Objetos Geométricos
- 1.2.2 Dimensión de los Objetos Geométricos
- 1.2.3 Relaciones entre Objetos Geométricos
- 1.3 Solución de un SEL en Rn
- 1.3.1 Ecuaciones Equivalentes
- 1.3.2 Sistemas Compatibles e Incompatibles
- 1.3.3 Combinación Lineal de Ecuaciones
- 1.4 Métodos Resolución de SEL en Rn
- 1.4.1 Métodos Simples
- 1.4.2 Sistemas Escalonados o Triangulares
- 1.4.3 Método de Sustitución hacia Atrás
- 1.4.4 Sistemas Equivalentes
- 1.4.5 Operaciones Elementales de Fila
- 1.4.6 Método de Gauss o Eliminación Gaussiana
- 1.5 Matrices
- 1.5.1 Matrices Asociadas a SEL
- 1.5.2 Operaciones Elementales de Fila en la Matriz Asociada
- 1.5.3 Matrices Escalonadas o Triangulares
- 1.5.4 Rango de una Matriz
- 1.5.5 Teorema de Rouché-Fröbenius
- 1.6 Método de Gauss Matricial
- 1.6.1 Identificación de Sistemas Incompatibles
- 1.6.2 Identificación de Sistemas Compatibles Indeterminados
- 1.7 Método de Gauss-Jordan
- 1.7.1 Matriz Escalonada Reducida
- 1.7.2 Matriz Identidad
- 1.8 Sistemas Homogéneos
- 2 Espacios Vectoriales
- 2.1 Vectores en Espacios Rn
- 2.1.1 Representación Gráfica de Vectores
- 2.2 Operaciones Elementales con Vectores
- 2.2.1 Suma ii Índice
- 2.2.2 Producto por un Escalar
- 2.2.3 Vector Opuesto y Vectores Estándar
- 2.2.4 Diferencia de Vectores
- 2.2.5 Propiedades Algebraicas de la Suma y Producto por un Escalar
- 2.3 Espacio y Subespacio Vectorial
- 2.4 Sistemas de Vectores
- 2.4.1 Combinación Lineal de Vectores
- 2.4.2 Dependencia e Independencia Lineal
- 2.4.3 Rango de un Sistema
- 2.4.4 Interpretación Geométrica
- 2.5 Conjuntos o Sistemas Generadores
- 2.5.1 Base y Dimensión de un Sistema de Vectores
- 2.5.2 Generación de Rn
- 2.6 Producto Escalar
- 2.6.1 Propiedades del Producto Escalar
- 2.7 Distancia y Norma en Rn
- 2.7.1 Propiedades de la Distancia
- 2.7.2 Distancia de un Punto al Origen
- 2.7.3 Norma de un Vector en Rn
- 2.7.4 Propiedades de la Norma
- 2.7.5 Vectores Unitarios y Normalización
- 2.8 Relaciones entre Vectores
- 2.8.1 Distancia entre dos Vectores
- 2.8.2 Ángulo entre dos Vectores en R
- 2.8.3 Ángulo entre dos Vectores en Rn
- 2.8.4 Definición Alternativa del Producto Escalar en Rn
- 2.9 Vectores Ortogonales
- 2.10 Proyección Ortogonal
- 2.10.1 Interpretación Geométrica en R^2 y R
- 2.10.2 Aplicaciones Geométricas de la Proyección Ortogonal
- 3 Matrices
- 3.0 Matrices
- 3.1 Operaciones con Matrices
- 3.1.1 Suma de Matrices
- 3.1.2 Producto de un Escalar por una Matriz
- 3.1.3 Diferencia de Matrices
- 3.1.4 Producto de Matrices
- 3.1.5 Producto Matricial Matriz-Vector
- 3.1.6 Producto Matricial Vector-Vector
- 3.1.7 Producto Matriz-Vector Estándar
- 3.1.8 Potencia de Matrices Cuadradas
- 3.2 Matriz Transpuesta AT
- 3.2.1 Matriz Simétrica y Antisimétrica
- 3.2.2 Propiedades de la Matriz Transpuesta
- 3.3 Álgebra Matricial
- 3.3.1 Propiedades de la Suma y la Multiplicación por un Escalar
- 3.3.2 Combinación Lineal de Matrices
- 3.3.3 Propiedades de la Multiplicación de Matrices
- 3.4 Inversa de una Matriz Índice iii
- 3.4.1 Cálculo de la Matriz Inversa: método de Gauss-Jordan
- 3.4.2 Inversa y SEL
- 3.4.3 Propiedades de las Matrices Invertibles
- 3.5 Determinantes
- 3.5.1 Introducción: Determinantes de Matrices 2 ×
- 3.5.2 Determinantes de Matrices 3 ×
- 3.5.3 Regla de Sarrus
- 3.5.4 Determinantes de Matrices n × n
- 3.5.5 Cálculo del Determinante mediante Desarrollos de Laplace
- 3.5.6 Determinantes e Inversa de una Matriz
- 3.5.7 Propiedades de los Determinantes
- 3.5.8 Regla de Cramer
- 3.5.9 Matriz Adjunta e Inversa de una Matriz
- 3.6 Subespacios Asociados a una Matriz
- 3.6.1 Espacios Columna y Fila de una Matriz
- 3.6.2 Rango, Núcleo y Nulidad de una Matriz
- 3.6.3 Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles
- 3.6.4 Bases para los Espacios Fila, Columna y Nulo de una Matriz
- 4 Transformaciones Lineales
- 4.1 Concepto de Transformación Lineal
- 4.1.1 Forma Matricial de una Transformación Lineal
- 4.1.2 Propiedades de las Transformaciones Lineales
- 4.2 Transformaciones Lineales Elementales
- 4.2.1 Transformación Lineal de Vectores Estándar
- 4.2.2 Demostración ⇐= de la Sección 4.1.2
- 4.3 Inversa de una TL
- 4.3.1 Función Invertible
- 4.3.2 Inversa de una TL
- 4.4 Operaciones con TL
- 4.4.1 Suma de Transformaciones
- 4.4.2 Composición de Transformaciones
- 4.5 Imagen y Núcleo de una TL
- 4.5.1 Imagen de una TL
- 4.5.2 Núcleo o Espacio Nulo de una TL
- 4.5.3 Nulidad y Rango de una TL
- 4.5.4 Tipos de TL
- 5 Bases
- 5.1 Bases en Rn
- 5.1.1 Coordenadas y Matriz asociada a una Base
- 5.2 Cambio de Base
- 5.2.1 Matriz de Cambio de Base
- 6 Ortogonalidad
- 6.1 Ortogonalidad en Rn
- 6.1.1 Conjunto Ortogonal
- 6.1.2 Vector Ortogonal a un Subespacio
- 6.2 Bases Ortogonales y Ortonormales
- 6.2.1 Bases Ortogonales
- 6.2.2 Bases Ortonormales iv Índice
- 6.3 Matrices Ortogonales
- 6.3.1 Propiedades de las Matrices Ortogonales
- 6.4 TL Ortogonales
- 6.5 Complemento Ortogonal
- 6.5.1 Propiedades del Complemento Ortogonal
- 6.5.2 Relaciones entre los Subespacios Fundamentales de una Matriz
- 6.6 Proyección Ortogonal sobre Subespacios
- 6.6.1 Propiedades del Complemento Ortogonal
- 6.7 Proceso de Gram-Schmidt
- 6.8 Factorización QR
- 7 Mínimos Cuadrados
- 7.1 Introducción
- 7.2 Mejor Aproximación
- 7.3 Aproximación mediante Mínimos Cuadrados
- 7.4 Mínimos Cuadrados mediante la Factorización QR
- 7.5 Error en la Aproximación por Mínimos Cuadrados: Residuos
- 7.6 Ajuste de Datos mediante Mínimos Cuadrados
- 8 Autovalores y Autovectores
- 8.1 Introducción: Sistemas Dinámicos Discretos
- 8.2 Autovalores y Autovectores
- 8.2.1 Interpretación Geométrica de los Autovalores y Autovectores
- 8.2.2 Determinación de Autovalores y Autovectores
- 8.2.3 Autoespacios
- 8.2.4 Multiplicidades Algebraica y Geométrica
- 8.2.5 Autovalores y Matrices Inversas
- 8.2.6 Tres Teoremas
- 8.3 Semejanza y Diagonalización
- 8.3.1 Matrices Triangulares
- 8.3.2 Matrices Semejantes
- 8.3.3 Diagonalización
- 8.3.4 Autovalores Reales y Complejos
- 8.4 Diagonalización Ortogonal
- 8.4.1 Teorema Espectral
- 8.4.2 Descomposición Espectral
- 8.5 Teoremas Avanzados Adicionales
- 8.6 Resumen
- 9 Pseudoinversa y Descomposición en Valores Singulares
- 9.1 Pseudoinversa de una Matriz
- 9.1.1 Propiedades de la Matriz Pseudoinversa
- 9.2 Pseudoinversa y Mínimos Cuadrados
- 9.3 Matriz de una Proyección Ortogonal sobre un Subespacio
- 9.4 Descomposición en Valores Singulares
- 9.4.1 Valores Singulares de una Matriz
- 9.4.2 Descomposición en Valores Singulares
- 9.5 Aplicaciones de la DVS
- 9.5.1 Pseudoinversa
- 9.5.2 Mínimos Cuadrados
- 9.5.3 Otras Aplicaciones de la DVS Índice v
- 10 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Constantes
- 10.1 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
- 10.1.1 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
- 10.2 Solución o Curva Integral de una EDO
- 10.2.1 Resolución de EDO Simples: Método de Separación de Variables
- 10.2.2 Problema de Valores Iniciales y Condición Inicial
- 10.2.3 Solución General y Particular de una EDO
- 10.3 Interpretación Geométrica de una EDO
- 10.3.1 Campo de Pendientes
- 10.3.2 Isoclinas
- 10.4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (SEDO)
- 10.4.1 SEDO de Primer Orden
- 10.4.2 Sistema Equivalente a EDO de Orden n
- 10.4.3 SEDO Lineales, Homogéneos y Autónomos
- 10.5 SEDO con Coeficientes Constantes, (SEDOC)
- 10.5.1 Forma Matricial de un SEDOC
- 10.5.2 Solución Analítica de un SEDOC
- 10.5.3 Solución General y Particular de un SEDOC
- 10.6 SEDOC Bidimensionales
- 10.6.1 Tipos de Soluciones
- 10.7 Sistemas Dinámicos
- 10.7.1 Sistemas Dinámicos Continuos Lineales y Homogéneos
- 10.7.2 Representación Gráfica: Trayectorias, Plano de Fases y Espacio de Fases
- 10.7.3 Puntos Criticos, Estacionarios o de Equilibrio
- 10.7.4 Campo Direccional
- 10.7.5 Separatrices
- 10.8 Estabilidad de un SEDO
- 10.8.1 Tipos de Estabilidad y Soluciones de Sistemas Dinámicos
- 10.8.2 Análisis de la Estabilidad
- APÉNDICES
- A Números Complejos
- A.1 Introducción
- A.2 Cuerpo de los números Complejos
- A.2.1 Definición del número imaginario i
- A.2.2 Potencias enteras de i
- A.2.3 Definición de Número Complejo. Formas Cartesiana y Binómica
- A.3 Operaciones Básicas en C
- A.3.1 Suma de Números Complejos
- A.3.2 Producto de Números Complejos
- A.3.3 El Cuerpo de los Números Complejo
- A.4 Conjugado de un Número Complejo
- A.4.1 Propiedades del Conjugado
- A.4.2 Conjugados y División de Números Complejos
- A.5 Representación Geométrica de C
- A.5.1 El Plano Complejo
- A.5.2 Módulo de un Número Complejo
- A.5.3 Argumento de un Número Complejo vi Índice
- A.6 Otras Formas de Expresar los Números Complejos
- A.7 Forma Trigonométrica y Polar
- A.7.1 Propiedades y Operaciones Básicas de la Forma Polar
- A.7.2 Exponencial Compleja. Fórmula de Euler
- A.7.3 Teorema de De Moivre
- A.7.4 Potenciación en la Forma Polar
- A.7.5 Raíz n-ésima de un Número Complejo
- A.8 Forma Exponencial
- A.8.1 Operaciones en Forma Exponencial
- A.8.2 Seno y Coseno Complejo
- A.8.3 Logaritmo Complejo
- B Temas de Repaso
- B.1 Trigonometría
- B.2 Productos Notables
- B.3 Polinomios
- B.4 Coordenadas Cartesianas
- B.5 Distancia
- B.5.1 Valor Absoluto
- B.5.2 Distancia en R
- B.5.3 Distancia en R
- B.5.4 Distancia en R
- B.6 Vectores Geométricos en el Plano y en el Espacio
- B.6.1 Vectores de Posición
- B.6.2 Vectores que no son de posición: Vectores Generales
- B.6.3 Vectores Elementales
- B.7 Vectores en Espacios Rn, Cn y Kn
- B.7.1 Caracterización de Vectores
- B.8 Geometría y Vectores en R^2 y R
- B.8.1 Rectas en R
- B.8.2 Conversión entre Formas
- B.8.3 Planos en R
- B.8.4 Rectas en R
- B.8.5 Fórmula de Equilibrio
- B.9 Fórmulas Geométricas sobre Distancias
- B.9.1 Producto Escalar y Vectorial en R
- B.9.2 Distancia de un Punto a un Recta en R
- B.9.3 Distancia entre dos Rectas paralelas en R
- B.9.4 Distancia de un Punto a un Plano en R
- B.9.5 Distancia entre dos Planos Paralelos en R
- B.9.6 Distancia de un Punto a un Recta en R
- B.9.7 Distancia entre dos Rectas paralelas en R
- B.10 Geometría de los Sistemas de Ecuaciones en R^2 y R
- B.10.1 Sistemas de Una Ecuación
- B.10.2 Sistemas de Dos Ecuaciones
- B.10.3 Sistemas de Tres Ecuaciones
- B.11 Métodos simples de Resolución de Sistemas
- B.12 Sumatorios
- B.13 Introducción a las Funciones
- B.13.1 Tipos de Funciones
- TEMA
- 1.1 Introducción a los Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL) Contenido
- 1.1.1 Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones
- 1.1.2 Puntos y Espacios Rn
- 1.1.3 Sistemas de Ecuaciones Lineales
- 1.2 Geometría de los SEL en Rn
- 1.2.1 Objetos Geométricos
- 1.2.2 Dimensión de los Objetos Geométricos
- 1.2.3 Relaciones entre Objetos Geométricos
- 1.3 Solución de un SEL en Rn
- 1.3.1 Ecuaciones Equivalentes
- 1.3.2 Sistemas Compatibles e Incompatibles
- 1.3.3 Combinación Lineal de Ecuaciones
- 1.4 Métodos Resolución de SEL en Rn
- 1.4.1 Métodos Simples
- 1.4.2 Sistemas Escalonados o Triangulares
- 1.4.3 Método de Sustitución hacia Atrás
- 1.4.4 Sistemas Equivalentes
- 1.4.5 Operaciones Elementales de Fila
- 1.4.6 Método de Gauss o Eliminación Gaussiana
- 1.5 Matrices
- 1.5.1 Matrices Asociadas a SEL
- 1.5.2 Operaciones Elementales de Fila en la Matriz Asociada
- 1.5.3 Matrices Escalonadas o Triangulares
- 1.5.4 Rango de una Matriz
- 1.5.5 Teorema de Rouché-Fröbenius
- 1.6 Método de Gauss Matricial
- 1.6.1 Identificación de Sistemas Incompatibles
- 1.6.2 Identificación de Sistemas Compatibles Indeterminados
- 1.7 Método de Gauss-Jordan
- 1.7.1 Matriz Escalonada Reducida
- 1.7.2 Matriz Identidad
- 1.8 Sistemas Homogéneos
1.1. Introducción a los Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL) 3
1.1. Introducción a los Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL)
Consideremos el siguiente problema sencillo.
P Ejemplo 1.1.^ Determinar la edad de dos hermanos sabiendo que el triple de la diferencia entre el mayor y el menor es dos veces la edad del menor, y que la suma de ambas edades es 24. Solución: Llamando x a la edad del mayor e y a la edad de menor podemos establecer las siguientes ecuaciones del problema: { 3(x − y) = 2 y x + y = 24 =⇒ Sist. de 2 ec. lineales con 2 incóg.
3 x − 5 y = 0 x + y = 24
La solución del sistema de ecuaciones dará la solución del problema.
Características:
- Un sistema de ecuaciones simplifica un problema real mediante una estructura de lenguaje (matemático) algebraico, eliminando cualquier complejidad adicional del problema real.
- Un mismo sistema puede representar a problemas reales totalmente distintos.
- La solución del problema real queda reducida a la resolución del problema matemático y la posterior interpretación de los resultados.
En el presente tema analizaremos los sistemas de ecuaciones lineales buscando métodos generales de resolución que sean apropiados para su utilización de forma óptima en un ordenador.
1.1.1. Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones
Vamos a comenzar con algunas definiciones básicas.
U (^) Definición 1.1 (Ecuación)
Una ecuación es una igualdad que relaciona incógnitas (variables) y constantes y que se verifica únicamente para determinados valores de las variables.
ax + b cos (y) = c =⇒
Incógnitas : x, y. Constantes : a, b, c.
Las ecuaciones se pueden clasificar en dos tipos básicos:
- Ecuación lineal: ecuación polinómica de primer grado (potencia 1) en todas las variables.
ax + by = c
- Ecuación no lineal: ecuación de tipo no polinómica o polinómica de grado mayor que uno.
Pedro José Hernando Oter (^) Clases de Álgebra
4 TEMA 1: Sistemas de Ecuaciones Lineales
U Definición 1.2 (Solución de una Ecuación)
Se denomina solución de una ecuación al conjunto de valores {s 1 , · · · , sn} que al sustituir en las variables, x 1 = s 1 , x 2 = s 2 , ..., xn = sn, se verifica la ecuación.
U (^) Definición 1.3 (Sistema de Ecuaciones)
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones acopladas, es decir que comparten incógnitas.
P Ejemplo 1.2.^ El siguiente es un ejemplo de sistema de ecuaciones: { a 1 x^2 + b 1 y = c 1 ln (y) a 2 x + b 2 xy = c 2
Las dos ecuaciones comparten las incógnitas x e y y por tanto se dice que están acopladas.
! Nota 1.1. Un conjunto de ecuaciones no acopladas se denominan ecuaciones independientes o no acoplados.
U Definición 1.4 (Solución del Sistema de Ecuaciones)
Se denomina solución de un sistema de ecuaciones al conjunto de valores {s 1 , · · · , sn} que verifica todas y cada una de las ecuaciones del sistema.
U (^) Definición 1.5 (Dimensión de un Sistema de Ecuaciones)
La dimensión de un sistema de ecuaciones es el número de ecuaciones y el número de incógnitas del sistema.
1.1.2. Puntos y Espacios Rn
U (^) Definición 1.6 (Punto)
Un punto es un conjunto de valores ordenados, denominados coordenadas o componentes del punto. Las coordenadas se representan encerradas entre paréntesis:
(x 1 , x 2 , · · · , xn)
El número de coordenadas de un punto se denomina dimensión del punto.
Clases de Álgebra Pedro José Hernando Oter
6 TEMA 1: Sistemas de Ecuaciones Lineales
P Ejemplo 1.4.^ El siguiente es un SEL de^ R
(^5) (número de incógnitas) formado por 3 ecuaciones:
x 1 − 3 x 2 + x 3 − x 5 = 9 2 x 1 + x 2 + x 3 − x 4 + 2x 5 = 0 −x 2 + x 4 = − 12
La dimensión^2 de este sistema es: 3 ecuaciones y 5 incógnitas
1.2. Geometría de los SEL en R
n
U (^) Definición 1.9 (Plano en R^3 )
Un plano^3 en R^3 es el conjunto de puntos (x, y, z) que verifican la ecuación:
ax + by + cz = d ; a, b, c, d ∈ R
El concepto de plano se puede generalizar a espacios Rn.
U (^) Definición 1.10 (Hiperplano en Rn)
Un hiperplano en Rn^ es el conjunto de puntos (x 1 , x 2 , · · · , xn) ∈ Rn^ que verifican la ecuación:
a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + anxn = b ; ai, b ∈ R
Si b = 0 el hiperplano pasa por el origen (0, 0 ,... , 0) ∈ Rn.
1.2.1. Objetos Geométricos
U (^) Definición 1.11 (Objetos Geométricos)
Vamos a denominar objetos geométricos a todo conjunto de puntos de Rn^ definido mediante una o varias ecuaciones lineales.
Los objetos geométricos son: puntos, rectas, planos e hiperplanos.
1.2.2. Dimensión de los Objetos Geométricos
Los objetos geométricos de cualquier espacio Rn^ (excepto los puntos individuales) están formados por infinitos puntos. Aun así, claramente algunos son más grandes (poseen un mayor número de puntos) que otros. Para poder cuantificar el tamaño de un objeto geométrico se vuelve a utilizar el concepto de dimensión. (^2) Ver la Definición 1.5, página 4. (^3) Ver una introducción a la geometría afín en el Apéndice B.8.3, página 261.
Clases de Álgebra Pedro José Hernando Oter
1.2. Geometría de los SEL en Rn^7
U Definición 1.12 (Dimensión de un Objeto Geométrico)
La dimensión de un objeto geométrico de Rn^ es un número que expresa el tamaño relativo del mismo.
Los objetos geométricos simples en Rn^ tienen la siguiente dimensión:
- Punto: dimensión 0.
- Recta: dimensión 1.
- Plano: dimensión 2.
! Nota 1.2. Estos valores se pueden obtener a través de una fórmula general conocida con el nombre de Fórmula de
Equilibrio, que se verá posteriormente en la Definición 1.14, página 8. Además en el Apéndice B.8.5, página 263 se puede encontrar la relación entre la dimensión de un objeto geomético y el número de parámetros en su ecuación.
1.2.3. Relaciones entre Objetos Geométricos
Dado un conjunto de m ecuaciones lineales (objetos geométricos) en un espacio Rn^ (y por tanto con n incógnitas), vamos a denotar por Ei a cada una de sus ecuaciones y por Xi cada uno de los términos izquierdos de la igualdad Ei, de la siguiente forma:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2 .. .
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm
X 1 = b 1 X 2 = b 2 .. .
Xm = bm
E 1
E 2
Em
De forma general, cada una de las ecuaciones Ei se puede identificar como un determinado hiperplano en el espacio Rn.
Cualquier par de hiperplanos Ei y Ej pueden ser entre sí:
- Coincidentes: si Ei = cEj , para cualquier c ∈ R no nulo.
- Paralelos: si Xi = cXj , para cualquier c ∈ R no nulo.
- No paralelos: si Xi 6 = cXj , para cualquier c ∈ R no nulo.
U Definición 1.13 (Concurrencia)
Se dice que un conjunto de objetos geométricos es concurrente si tienen alguna parte común a todos los objetos.
Pedro José Hernando Oter (^) Clases de Álgebra
1.3. Solución de un SEL en Rn^9
- Una ecuación en R^3 : ax + by + cz = d representa un plano, que es un conjunto de dimensión 3-1=2.
- Dos ecuaciones (planos) concurrentes no coincidentes en R^3 : { a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2
tienen por solución una recta en R^3 , que tiene dimensión 3 − 2 = 1.
- Un SEL formado por cuatro hiperplanos concurrentes no coincidentes en R^4 :
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 = b 3 a 41 x 1 + a 42 x 2 + a 43 x 3 + a 44 x 4 = b 4
tienen como solución un punto (4-4=0) en R^4.
Conclusión
Sea un SEL en Rn^ de m ecuaciones con n incógnitas.
- Si m < n, el sistema puede tener:
- ninguna solución: conjunto de hiperplanos no concurrentes, (coincidentes, paralelos y/o secantes en número k < m).
- infinitas soluciones: conjunto de hiperplanos concurrentes, (coincidentes y/o secantes), en objetos de dimensión no nula (rectas, planos o hiperplanos).
- Si m ≥ n, el sistema puede tener:
- ninguna solución : conjunto de hiperplanos no concurrentes (coincidentes, paralelos y/o secantes en número k < n).
- infinitas soluciones: conjunto de hiperplanos concurrentes, (coincidentes y/o secantes), en un objeto de dimensión no nula (rectas, planos o hiperplanos).
- solución única: conjunto de hiperplanos concurrentes, (coincidentes y secantes o sólo secantes), en un objeto de dimensión nula (punto n-dimensional.)
P Ejemplo 1.6.^ Analizar el siguiente sistema de 2 ecuaciones en^ R
x 1 + x 2 − 4 x 3 = − 2 : E 1 x 2 + 6x 3 − 2 x 4 + 9x 5 = 0 : E 2
Solución: Representan a dos hiperplanos de dimensión 5 − 1 = 4 en R^5. Llamando E 1 a la primera ecuación y E 2 a la segunda, podemos concluir que:
- No son Coincidentes ya que E 1 6 = cE 2 , para cualquier c ∈ R no nulo.
- No son Paralelos ya que X 1 6 = cX 2 , para cualquier c ∈ R no nulo.
- Son secantes (concurrentes) y su solución tiene dimensión 5 − 2 = 3 (hiperplano de dimensión 3 en un espacio de dimensión 5).
Pedro José Hernando Oter (^) Clases de Álgebra
10 TEMA 1: Sistemas de Ecuaciones Lineales
(Continúa en la página siguiente)
P Ejemplo 1.6 (Continuación). Vamos a encontrar la ecuación que describe la solución. Resolviendo por igualación: { x 2 = − 2 − x 1 + 4x 3 x 2 = − 6 x 3 + 2x 4 − 9 x 5
− 2 − x 1 + 4x 3 = − 6 x 3 + 2x 4 − 9 x 5
Despejando, por ejemplo x 4 : x 4 = − 1 −
x 1 + 5x 3 +
x 5
y eligiendo como parámetros por ejemplo: x 1 = t, x 3 = s y x 5 = w, la ecuación paramétrica^7 del hiperplano de dimensión 3 en el espacio R^5 se puede representar como:
x 1 = t x 2 = − 2 − x 1 + 4x 3 x 3 = s x 4 = − 1 − 12 x 1 + 5x 3 + 92 x 5 x 5 = w
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
En forma vectorial 8 : ~x = ~p + t~v 1 + s~v 2 + w~v 3
1.3.1. Ecuaciones Equivalentes
U Definición 1.15 (Ecuaciones Equivalentes)
Se dice que dos ecuaciones E 1 y E 2 son equivalentes si ambas tienen las mismas soluciones.
E 1 = cE 2 ; c ∈ R
Fácilmente se puede obtener una ecuación equivalente de otra, multiplicando ambas partes de la ecuación por una constante distinta de cero.
Desde un punto de vista geométrico, que dos ecuaciones sean equivalentes es lo mismo que sean coincidentes, y por tanto representan el mismo objeto geométrico.
P Ejemplo 1.7.^ Encontrar todas las ecuaciones equivalentes del siguiente plano:
3 x + 2y − z = 5
Solución: Multiplicando la ecuación por un escalar no nulo a ∈ R :
3 x + 2y − z = 5 −×−a→ 3 ax + 2ay − az = 5a
Cualquiera de estas ecuaciones representa exactamente el mismo plano. (^7) Ver el Apéndice B.8, página 259. (^8) En las formas paramétrica y vectorial, la dimensión de un objeto geométrico coincide con el número de sus parámetros.
Clases de Álgebra Pedro José Hernando Oter
