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ALGEBRA Ejercicio 1 Prueba final de evaluaci´on continua 19 de diciembre de 2011
APELLIDOS:
NOMBRE: DNI:
Puntuaci´on: 1,5 puntos Tiempo: 35 minutos
Sea el R-espacio vectorial R 2 [x] =
p(x) = a 0
2 : a 0 , a 1 , a 2
∈ R
con el producto escalar
p(x), q(x)
1
− 1
p(x)q(x) dx.
a) Calcular el coseno del ´angulo formado por los polinomios p(x) = 1 y q(x) = x
2 .
b) Aplicar el procedimiento de Gram-Schmidt al conjunto de polinomios { 1 , x, x
2 } ⊂ R 2 [x] para obtener un
conjunto ortonormal formado por tres elementos.
c) Hallar la proyecci´on ortogonal del polinomio r(x) = 1 + x + x
2 sobre el subespacio vectorial generado por
los polinomios p(x) = 1 y q(x) = x
2 .
Soluci´on:
a) El coseno del ´angulo α formado por los polinomios p(x) = 1 y q(x) = x
2 es
cos α =
p(x), q(x)
∥p(x)∥ ∥q(x)∥
1
− 1
p(x)q(x) dx
1
− 1
p
2 (x) dx
1
− 1
q
2 (x) dx
1
− 1
x
2 dx
1
− 1
dx
1
− 1
x
4 dx
[
x
3
]
1
− 1 √ [
x
]
1
− 1
[
x
5
]
1
− 1
2
3 √
4
5
b) Los polinomios u 1 (x) = 1 y u 2 (x) = x son ortogonales porque
u 1 (x), u 2 (x)
1
− 1
u 1 (x)u 2 (x) dx =
1
− 1
x dx =
[
x
2
] 1
− 1
luego el procedimiento de ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt debe empezar a aplicarse a partir del tercer
polinomio:
u 3 (x) = x
2
2
siendo
λ = −
x
2 , 1
2
1
− 1
x
2 dx
1
− 1
dx
[
x
3
]
1
− 1 [
x
]
1
− 1
μ = −
x
2 , x
∥x∥
2
1
− 1
x
3 dx
1
− 1
x
2 dx
[
x
4
]
1
− 1 [
x
3
]
1
− 1
La base ortogonal obtenida al aplicar el procedimiento de ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt al conjunto
{ 1 , x, x
2 } es
B =
1 , x, x
2 −
Normalizando los vectores, se obtiene una base ortonormal:
B
o
x
∥x∥
x
2 −
1
3
∥x
2 −
1
3
x,
(x
2 −
c) El subespacio vectorial generado por los polinomios p(x) = 1 y q(x) = x
2 coincide con el subespacio vectorial
generado por los vectores ortogonales u 1 (x) = 1 y u 2 (x) = x
2 −
1
3
, por lo que la proyecci´on ortogonal, pr(x),
del polinomio r(x) = 1+x+x
2 sobre el subespacio vectorial generado por los polinomios p(x) = 1 y q(x) = x
2
es
pr(x) = λu 1 (x) + μu 2 (x) = λ + μ(x
2 −
con
λ =
1 + x + x
2 , 1
2
, μ =
1 + x + x
2 , x
2 −
1
3
∥x
2 −
1
3
2
8
45
8
45
resultando
pr(x) =
2 −
) = 1 + x
2 .
Respecto a B
′ , la matriz de g es diagonal. La matriz P de cambio de base de B
′ a B, permite obtener dicha
forma diagonal:
P =
de tal modo que
P
− 1 AP =
ALGEBRA Ejercicio 3 Prueba final de evaluaci´on continua 19 de diciembre de 2011
APELLIDOS:
NOMBRE: DNI:
Puntuaci´on: 1 punto Tiempo: 35 minutos
a) Sea E un espacio vectorial eucl´ıdeo y
u ,
v ∈ E.
Demostrar que
u +
v y
u −
v son ortogonales si y s´olo si ∥
u ∥ = ∥
v ∥.
b) Sea f : V 7 −→ W una aplicaci´on lineal e inyectiva entre espacios vectoriales.
Demostrar que todo conjunto de vectores linealmente independientes de V se transforma mediante f en un
conjunto de vectores linealmente independientes de W.
Soluci´on:
a) El producto escalar de
u +
v por
u −
v es
u +
v ,
u −
v >=<
u ,
u > + <
v ,
u > − <
u ,
v > − <
v ,
v >= ∥
u ∥
2 − ∥
v ∥
2 .
Los vectores
u +
v y
u −
v son ortogonales, <
u +
v ,
u −
v >= 0 si y solamente si ∥
u ∥
2 − ∥
v ∥
2 = 0,
que equivale a ∥
u ∥ = ∥
v ∥ por tratarse de n´umeros reales no negativos.
b) Sea f : V 7 −→ W una aplicaci´on lineal e inyectiva entre espacios vectoriales, y sea S =
v 1 ,
v 2 ,... ,
vn
un
conjunto de vectores linealmente independientes de V.
El conjunto
f
v 1
, f
v 2
,... , f
v n
es un conjunto de vectores linealmente independientes de W porque
si
λ 1 f
v 1
v 2
v n
entonces, al ser lineal f,
f
λ 1
v 1
v 2
v n
como f es inyectiva,
λ 1
v 1
v 2
v n
y como S es libre, entonces
λ 1 = λ 2 = · · · = λ n
Cualquier conjunto finito de vectores libres se transforma –mediante una aplicaci´on lineal e inyectiva– en un
conjunto de vectores libres.
