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ALGEBRA Test 14 de enero de 2012
APELLIDOS:
NOMBRE: DNI:
Atenci´on: Marque la opci´on deseada Calificaci´on:
2 m´ax{ 0 ,Aciertos− 6 }
5
Tiempo: 40 minutos
- V Sea X = {a, b, c, d}.
∃ una funci´on f : X 7 −→ X tal que ∀x ∈ X f
{x}
∩ {x} = ∅.
- F Si F =
a b
c d
∈ M
2 (R) y ad + bc = 1, entonces el rango de A es 2.
- V Sea K un cuerpo, n ∈ N, A, B ∈ M n (K) y A una matriz regular. Si AB = 0, entonces B = 0.
- V Sea E un K-espacio vectorial. Diremos que T ⊂ E es liberado sindical si y s´olo si
v
v ∈ T =⇒
v ̸∈ L
T − {
v }
Alguno de los siguientes conjuntos es liberado sindical: E,
- V Sea E un K-espacio vectorial, T ⊂ E y
v ∈ T.
L(T ) = L
T −
v
+ L
v
- V El sistema S = {sen x, 1 , x, x
2 ,... , x
7 } es un sistema libre en el espacio vectorial real de las funciones
reales de variable real continuas, C(R).
- V Si la matriz A ∈ M n (C) es diagonalizable e invertible, entonces A
− 1 tambi´en es diagonalizable.
- V Sea K un cuerpo conmutativo. Si P ∈ Mm×n(K) y P
T P = Idn, entonces rango(P ) = n.
- F Si todas las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de la matriz A ∈ Mn(R) son reales, entonces A es
diagonalizable.
- V Sea W un subespacio vectorial del R-espacio vectorial eucl´ıdeo de dimensi´on finita E. La proyecci´on
ortogonal sobre W, proy W , es un endomorfismo diagonalizable.
- F Sea E un K-espacio vectorial. El vector
v ∈ E es combinaci´on lineal de los vectores
u 1 ,
u 2 ,... ,
un
E si y s´olo si ∀λ 1 , λ 2 ,... , λn, λn+1 ∈ K,
λ 1
u 1 + λ 2
u 2 + · · · + λn
un + λn+
v =
0 =⇒ λ 1 = λ 2 = · · · = λn = λn+1 = 0.
- F El conjunto B =
es una base del subespacio vectorial S =
(x, y, z) ∈ R
3 :
−x − y + z = 0, x − y + z = 0
- V Si K es un cuerpo, f : K
n 7 −→ K
m una aplicaci´on lineal, A ∈ M m×n (K) la matriz de f respecto a
las bases can´onicas y Col(A) el subespacio vectorial de K
m generado por las columnas de A, entonces
dim
Ker(f )
Col(A)
= n.
- V Si U, V y W son K-espacios vectoriales y f : U 7 −→ V y g : V 7 −→ W aplicaciones lineales, entonces
Ker(g ◦ f ) = f
− 1
Ker(g)
- V Si las matrices A, B ∈ M n (C) son diagonalizables mediante la misma matriz invertible, P, entonces
AB = BA.
- V Sea V un R−espacio vectorial de dimensi´on finita y c ∈ R − { 0 }. Todo autovector
w ∈ V del
endomorfismo f : V 7 −→ V tambi´en es autovector del endomorfismo cf : V 7 −→ V.
ALGEBRA Ejercicio 1 14 de enero de 2012
APELLIDOS:
NOMBRE: DNI:
Puntuaci´on m´axima: 2 puntos Tiempo estimado: 30 minutos
Sean U y V dos subespacios vectoriales de un R-espacio vectorial eucl´ıdeo de dimensi´on finita, (E, < , >),
y sea f : E 7 −→ E un endomorfismo suprayectivo. Se pide:
a) Demostrar que
U ⊂ V
⊥ ⇐⇒ V ⊂ U
⊥ .
b) Demostrar que toda base de E se transforma, mediante f, en una base de E.
Soluci´on:
a) Aplicando que en espacios vectoriales eucl´ıdeos de dimensi´on finita se cumple
(U
⊥ )
⊥ = U y U ⊂ V =⇒ V
⊥ ⊂ U
⊥ ,
se tiene la doble implicaci´on que demuestra la equivalencia:
U ⊂ V
⊥ =⇒ (V
⊥ )
⊥ ⊂ U
⊥ ⇐⇒V ⊂ U
⊥
V ⊂ U
⊥ =⇒ (U
⊥ )
⊥ ⊂ V
⊥ ⇐⇒ U ⊂ V
⊥
b) Sea n la dimensi´on de E y B =
e 1
e 2
e n
una base de E.
Si f es un endomorfismo suprayectivo, entonces Img(f ) = E y B
′
f
e 1
, f
e 2
,... , f
e n
es un sistema
de generadores de Img(f ) = E.
Como B
′ es un sistema de generadores de E y su n´umero de elementos es la dimensi´on de E, entonces B
′
es una base de E porque en un espacio vectorial de dimensi´on n, un sistema de generadores formado por
exactamente n vectores es linealmente independiente y –consecuentemente– base.
Si E no es de dimensi´on finita, la afirmaci´on no siempre es cierta. Sirva como contraejemplo el endomorfismo
suprayectivo f : R[x] 7 −→ R[x] tal que
f (a 0 + a 1 x + a 2 x
2
- · · · ) = a 1 + a 2 x + a 3 x
2
Claramente B = { 1 , x, x
2 ,.. .} es una base de R[x] pero B
′ = {f (1), f (x), f (x
2 ).. .} = { 0 , 1 , x,.. .} no es
una base de R[x] porque contiene al polinomio nulo.
y
∥x∥
2 =< x, x >=
1
− 1
x
2 dx =
[
x
3
] 1
− 1
se tiene
u 2
x
∥x∥
x.
Al ser
< x
2 ,
u 1 > =< x
2 ,
1
− 1
x
2 dx =
[
x
3
]
1
− 1
< x
2 ,
u 2 > =< x
2 ,
x >=
1
− 1
x
3 dx =
[
x
4
] 1
− 1
el polinomio
v = x
2 −
u 1
u 2 = x
2 −
es ortogonal a
u 1 y a
u 2
El cuadrado del m´odulo de
v es
v ∥
2 =<
v ,
v >=
1
− 1
x
2 −
2
dx =
1
− 1
x
4 −
x
2
dx =
[
x
5
x
3
x
] 1
− 1
luego el vector unitario que completa la base ortonormal es
u 3
x
2 −
El conjunto de polinomios
B
o
u 1
u 2
u 3
1 √ 2
√ 3 √ 2
x,
√ 45 √ 8
x
2 −
1
3
es una base ortonormal del espacio vectorial eucl´ıdeo R 2 [x] con el producto escalar considerado.
ALGEBRA Ejercicio 3 14 de enero de 2012
APELLIDOS:
NOMBRE: DNI:
Puntuaci´on m´axima: 2 puntos Tiempo estimado: 30 minutos
Sean los R-espacios vectoriales A, B y C de bases BA =
e 1 ,
e 2 ,
e 3
, BB =
u 1 ,
u 2
y BC =
c 1 ,
c 2 ,
c 3
respectivamente y sean las funciones lineales definidas mediante las siguientes relaciones:
f : A 7 −→ B ≡
f
e 1
u 1 −
u 2
f
e 2
u 2
f
e 3
u 2
g : B 7 −→ C ≡
g
u 1
c 1 −
c 2 + 2
c 3
g
u 2
c 1
c 2
Se pide
a) Calcular la matriz de la funci´on lineal h = g ◦ f : A 7 −→ C.
b) Encontrar el conjunto h
− 1
, donde (1, 1 , 1) ∈ C.
c) Hallar el n´ucleo de h.
d) ¿Es h diagonalizable?
Soluci´on:
a) La matriz de la aplicaci´on lineal f respecto a las bases BA y BB es
F =
y la matriz de la aplicaci´on lineal g respecto a las bases B B y B C es
G =
La matriz de la composici´on de las aplicaciones lineales, h = g ◦ f, respecto a las bases BA y BC es
H = GF =
b) Los elementos del conjunto
h
− 1
(x, y, z) ∈ R
3 : h(x, y, z) = (1, 1 , 1)
son las soluciones,
x , del sistema de ecuaciones lineales h
x
= (1, 1 , 1), esto es,
x
y
z
o bien (^)
y + 2z = 1
−y − 2 z = 1
2 x = 1
Este sistema es incompatible porque no hay soluci´on para las dos primeras ecuaciones, ya que si y + 2z = 1,
entonces −y − 2 z = − 1 ̸= 1.
Al no haber soluci´on,
h
− 1
