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Tipo: Apuntes
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Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
■ Describe análogamente las siguientes ramas:
a)
b)
c)
d)
e)
LÍMITES DE FUNCIONES.
lím f ( x ) = 3 x 8 +@
lím f ( x ) no existe x 8 +@
lím f ( x ) = 3 x 8 +@
lím f ( x ) = +@ x 8 +@
lím f ( x ) = –@ x 8 +@
f)
g)
h)
i)
j)
1
2
1
2
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
lím f ( x ) = +@ x 8 – @
lím f ( x ) = 2 x 8 – @
f ( x ) = +@
lím f ( x ) = –@ x 8 –1 +
2
lím x 8 –1 –
1
f ( x ) = 5
lím f ( x ) = 2 x 8 4 +
2
lím x 8 4 –
1
lím f ( x ) = – x 8 2
b) 0,5 x^ = 0 8 No c) (–1,5 x^ ) = – @ 8 Sí
d) log 2 x = +@ 8 Sí e) = 0 8 No
f) = +@ 8 Sí g) 4 x^ = +@ 8 Sí
h) 4 – x^ = 0 8 No i) –4 x^ = – @ 8 Sí
4. a) Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos:
log 2 x x^2 3 x^5 1,5 x^ 4 x b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula:
a) log 2 x x^2 3 x^5 1,5 x^ 4 x
b) = 0
5. Si, cuando x 8 + @ , f ( x ) 8 + @ , g ( x ) 8 4, h ( x ) 8 – @ , u ( x ) 8 0, asigna, siempre que puedas, límite cuando x 8 + @ a las expresiones siguientes:
a) f ( x ) – h ( x ) b) f ( x ) f^ ( x )^ c) f ( x ) + h ( x )
d) f ( x ) x^ e) f ( x ) · h ( x ) f ) u ( x ) u^ ( x )
g) f ( x )/ h ( x ) h)[– h ( x )] h^ ( x )^ i) g ( x ) h^ ( x )
j) u ( x )/ h ( x ) k) f ( x )/ u ( x ) l) h ( x )/ u ( x )
m) g ( x )/ u ( x ) n) x + f ( x ) ñ) f ( x ) h^ ( x )
o) x + h ( x ) p) h ( x ) h^ ( x )^ q) x – x
a) (^) ( f ( x ) – h ( x )) = +@ – (– @) = +@ + @ = +@
b) lím f ( x ) f^ ( x )^ = (+@) +@^ = +@ x 8 +@
lím x 8 +@
1,5 x lím x 8 +@
3 x^5 x^2
lím x 8 +@
log 2 x
lím x 8 +@
√ x
1,5 x lím x 8 + @
3 x^5 x^2
lím x 8 + @
log 2 x
lím x 8 + @
√ x
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím √ x x 8 +@
x^3 + 1
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím x 8 +@
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
c) (^) ( f ( x ) + h ( x )) = (+@) + (– @) 8 Indeterminado
d) f ( x ) x^ = +@+@^ = +@
e) (^) ( f ( x ) · h ( x )) = (+@) · (– @) = – @
f ) u ( x ) u ( x )^ = (0) (0)^8 Indeterminado
g) = 8 Indeterminado
h) [– h ( x )] h^ ( x )^ = [+@] –^ @^ = 0
i) g ( x ) h^ ( x )^ = 4 –^ @^ = 0
j) = = 0
k) = = ±@
l) = = ±@
m) = = ±@
n) (^) ( x + f ( x )) = +@ + (+@) = +@
ñ) f ( x ) h ( x )^ = (+@) –^ @^ = 0
o) (^) ( x + h ( x )) = (+@) + (– @) 8 Indeterminado
p) h ( x ) h^ ( x )^ = (– @) –^ @^8 No existe
q) x – x^ = (+@) –^ @^ = 0
6. Las funciones f , g , h y u son las del ejercicio propuesto 5 (página anterior). Di cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones. En cada caso, si es indeterminación, di de qué tipo, y, si no lo es, di cuál es el límite: a) f ( x ) + h ( x ) b) f ( x )/ h ( x ) c) f ( x ) – h^ ( x )^ d) f ( x ) h^ ( x ) e) f ( x ) u^ ( x )^ f ) u ( x ) h^ ( x ) g) [ g ( x )/4] f^ ( x )^ h) g ( x ) f^ ( x )
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím x 8 +@
g ( x ) u ( x )
lím x 8 +@
h ( x ) u ( x )
lím x 8 +@
f ( x ) u ( x )
lím x 8 +@
u ( x ) h ( x )
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím x 8 +@
f ( x ) h ( x )
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím x 8 +@
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
b) (^) = = 9
c) (^) = +@
d) (^) = = =
3. Sin operar, di el límite, cuando x 8 + @ , de las siguientes expresiones:
a) ( x^2 – ) b) ( x^2 – 2 x^ )
c) – d) 3 x^ – 2 x
e) 5 x^ – f ) – log 5 x^4
a) (^) ( x^2 – (^) ) = +@ b) ( x^2 – 2 x^ ) = –@
c) (^) ( – (^) ) = +@ d) (3 x^ – 2 x^ ) = +@
e) (^) ( 5 x^ – (^) ) = +@ f ) (^) ( – log 5 x^4 ) = +@
4. Calcula el límite, cuando x 8 + @ , de las siguientes expresiones:
a) – b) –
c) – d) ( x + 5) x^
(^2) – 5 x + 1
e)
x f )
x^2 + x
a) (^) ( – (^) ) = =
b) (^) ( – (^) ) = = =
= – x = 0 4 x^2 + 2
lím x 8 +@
2 x^3 – 2 x^3 – x 4 x^2 + 2
lím x 8 +@
2 x^3 – x (2 x^2 + 1) 2(2 x^2 + 1)
lím x 8 +@
x 2
x^3 2 x^2 + 1
lím x 8 +@
lím x 8 +@
3 x^4 – 6 x^3 + 5 x – 10 – 4 x^4 – 8 x^3 + x^2 + 2 x x^2 – 4
lím x 8 +@
(3 x^3 + 5)( x – 2) – (4 x^3 – x )( x + 2) ( x + 2)( x – 2)
lím x 8 +@
4 x^3 – x x – 2
3 x^3 + 5 x + 2
lím x 8 +@
)
x – 2 ) ( 2 x – 3
3 x + 5 ( 2 x + 1
x^2 – 2 x
3 x + 5 2
x 2
x^3 2 x^2 + 1
4 x^3 – x x – 2
3 x^3 + 5 x + 2
lím √ x x 8 +@
3
x 8 +@
lím x 8 +@
lím √ x^2 + 1 √ x x 8 +@
lím x 8 +@
3
x 8 +@
√ x
3 √ x^8 – 2
√ x^2 + 1 √ x
3 √ 2 x + 1
2 x 3 x lím x 8 +@
3
3 x lím x 8 +@
3
3 x lím x 8 +@
√
x^3 – 5 x + 3 x^2 – 2 x
lím x 8 +@
9 x^3 + 6 x^2 + x x^3 – 10 x
lím x 8 +@
(3 x + 1)^2 x x^3 – 10 x
lím x 8 +@
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
c) (^) ( – (^) ) = = = +@
d) ( x + 5) x^ (^2) – 5 x + 1 = (+@)+@^ = +@
e)
x = (^) ( )
+@ = +@
f)
x^2 + x = (^) ( )
+@ = 0
1. Halla el de las siguientes expresiones:
a) b)
a) = =
b) =
No existe, pues el radicando toma valores negativos cuando x 8 – @.
2. Halla el de las siguientes expresiones:
a) b) – c) 3 x
a) = = = = –
b) – = – =
c) 3 x^ = 3 – x^ = = 0
3 x
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím x 8 – @
lím x 8 +@
3 x^4 – 5 x + 6 x^3 – 10 – 4 x^4 + x^2 + 8 x^3 – 2 x x^2 – 4 lím x 8 +@
)
–4 x^3 – x
–3 x^3 + 5 ( – x + 2 lím ) x 8 +@
4 x^3 – x x – 2
3 x^3 + 5 ( x + 2 lím x 8 – @
x –3 x
lím x 8 +@
–3 x lím x 8 +@
–3 x – 2 lím x 8 +@
3 x – 2 lím x 8 – @
4 x^3 – x x – 2
3 x^3 + 5 x + 2
3 x – 2
lím x 8 – @
x^2 + 2 x
lím x 8 +@
x^2 – 2 x
lím x 8 – @
5 x^4 + 6 x + 2 3 x^4 – x – 1
lím x 8 +@
5 x^4 – 6 x + 2 3 x^4 + x – 1
lím x 8 – @
x^2 – 2 x
5 x^4 – 6 x + 2 3 x^4 + x – 1
lím x 8 – @
) 2
x – 2 ( 2 x – 3 lím x 8 +@
) 2
3 x + 5 ( 2 x + 1 lím x 8 +@
lím x 8 +@
x^2 + 5 x + 4 2 x
lím x 8 +@
3 x^2 + 5 x – 2 x^2 + 4 2 x
lím x 8 +@
x^2 – 2 x
3 x + 5 2
lím x 8 +@
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
3. Si p ( x ) = + @ , q ( x ) = + @ , r ( x ) = 3 y s ( x ) = 0, di, en los
casos en que sea posible, el valor del de las siguientes funciones:
[Recuerda que las expresiones (+ @ )/(+ @ ), (+ @ ) – (+ @ ), (0) · (+ @ ), (1) (+ @ ), (0)/(0) son indeterminaciones].
a) 2 p ( x ) + q ( x ) b) p ( x ) – 3 q ( x ) c) d)
e) f ) g) s ( x ) · p ( x ) h) s ( x ) s^ ( x )
i ) p ( x ) r^ ( x )^ j ) r ( x ) s^ ( x )^ k) l )
s ( x )
m) r ( x ) p^ ( x )^ n) r ( x ) – q^ ( x )^ ñ)
p ( x ) o)
- p ( x )
a) [2 p ( x ) + q ( x )] = +@ + (+@) = +@
b) [ p ( x ) – 3 q ( x )] = (+@) – (+@). Indeterminado.
c) = = 0
d) = 1 = 1
e) = = 0
f ) =. Indeterminado.
g) [ s ( x ) · p ( x )] = (0) · (+@). Indeterminado.
h) s ( x ) s^ ( x )^ = (0)(0). Indeterminado.
i) p ( x ) r^ ( x )^ = +@^3 = +@
j) r ( x ) s^ ( x )^ = 3 0 = 1
k) = =. Indeterminado.
l) (^) ( )
s ( x ) = 1 0 = 1 r ( x ) 3
lím x 8 2
3 – r ( x ) s ( x )
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
p ( x ) q ( x )
lím x 8 2
s ( x ) q ( x )
lím x 8 2
lím x 8 2
p ( x ) p ( x )
lím x 8 2
r ( x ) p ( x )
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
)
r ( x ) ) ( 3
r ( x ) ( 3
]
r ( x ) [ 3
3 – r ( x ) s ( x )
p ( x ) q ( x )
s ( x ) q ( x )
p ( x ) p ( x )
r ( x ) p ( x )
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
m) r ( x ) p^ ( x )^ = 3 +@^ = +@
n) r ( x ) – q^ ( x )^ = 3 – @^ = 0
ñ) (^) ( )
p ( x ) = (1)(+@). Indeterminado.
o) (^) ( )
4. Calcula los límites siguientes:
a)
b)
a) = =
b) = =
5. Calcula: –
–7 x^2 + x – 10 ( x + 2)( x^2 + 1)
lím x 8 0
x (–7 x^2 + x – 10) x ( x + 2)( x^2 + 1)
lím x 8 0
–7 x^3 + x^2 – 10 x x ( x + 2)( x^2 + 1)
lím x 8 0
x^4 – 5 x^3 + 2 x^2 + x^2 – 5 x + 2 – x^4 – 2 x^2 – x – 2 x^3 – 4 x – 2 x ( x + 2)( x^2 + 1)
lím x 8 0
( x^2 + 1)( x^2 – 5 x + 2) – ( x + 2)( x^3 + 2 x + 1) x ( x + 2)( x^2 + 1)
lím x 8 0
)
x^3 + 2 x + 1 x ( x^2 + 1)
x^2 – 5 x + 2 ( x ( x + 2) lím ) x 8 0
x^3 + 2 x + 1 x^3 + x
x^2 – 5 x + 2 ( x (^2) + 2 x lím x 8 0
)
x^3 + 2 x + 1 x^3 + x
x^2 – 5 x + 2 ( x (^2) + 2 x lím x 8 0
x^3 – 5 x + 1 x^3 + 2 x^2 – 3 x
lím x 8 4
x^2 – 3 x + 5 x – 7
lím x 8 –
( x + 1)( x^2 – 3 x + 5) ( x + 1)( x – 7)
lím x 8 –
x^3 – 2 x^2 + 2 x + 5 x^2 – 6 x – 7
lím x 8 –
x^3 – 5 x + 1 x^3 + 2 x^2 – 3 x
lím x 8 4
x^3 – 2 x^2 + 2 x + 5 x^2 – 6 x – 7
lím x 8 –
r ( x ) 3
lím x 8 2
r ( x ) 3
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
c) = = – @
d) = =
3 Calcula los siguientes límites comparando los exponentes del numerador y del denominador:
a) b)
c) d)
a) = =
b) = +@
c) = 0
d) = 0
4 Calcula estos límites comparando los órdenes de infinito:
a) ( e x^ – x^3 ) b)
c) ( – ) d)
a) ( e x^ – x^3 ) = +@
Porque e x^ es un infinito de orden superior a x^3.
b) = 0
Porque e x^ es un infinito de orden superior a x^2 + 1.
c) ( – ) = +@
Porque es de mayor grado que.
d) = 0
Porque cualquier polinomio, x , es de orden superior a un logaritmo, ln ( x^2 + 1).
ln ( x^2 + 1) x
lím x 8 +@
x 8 +@
x^2 + 1 e x lím x 8 +@
lím x 8 +@
ln ( x^2 + 1) x
lím x 8 + @
x 8 + @
x^2 + 1 e x
lím x 8 + @
lím x 8 + @
3 x
lím x 8 +@
2 x – 3
lím x 8 +@
√
5 x^2 – 7 x lím 8 +@^ x^ + 1
2 x lím x 8 +@
2 x + 1 lím x 8 +@
3 x
lím x 8 + @
2 x – 3
lím x 8 + @
5 x^2 – 7 √ x + 1
lím x 8 + @
2 x + 1
lím x 8 + @
lím x 8 +@
x^3 + 2 x 7 + 5 x^3
lím x 8 – @
3 x^2 – 4 –2 x + 3
lím x 8 +@
3 x^2 – 4 2 x + 3
lím x 8 – @
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
5 Calcula los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos: a) (0,5 x^ + 1)
b) 2 x^ + 1
a) (0,5 x^ + 1) = (0,5 – x^ + 1) = +@
b) 2 x^ + 1^ = 2 – x^ + 1^ = 0
6 Calcula los límites de las siguientes funciones cuando x 8 + @ :
a) f ( x ) =
b) g ( x ) =
c) h ( x ) =
d) i ( x ) =
a) = =
b) = +@
c) = = =
d) = =
x = +@
7 Calcula los siguientes límites:
a) b)
c) d)
5 x^2 + 15 x x^3 – 3 x^2
lím x 8 0
x^4 – 1 x^2 – 1
lím x 8 1
x^2 + 4 x + 3 x + 3
lím x 8 –
3 x + 6 x^2 + 4 x + 4
lím x 8 –
)
( 2 lím x 8 +@
3 x 2 x
lím x 8 +@
3 x 2 x^ + 1
lím x 8 +@
— x
—
— x
lím x 8 +@
lím x 8 +@
x + 1 log x lím x 8 +@
5 x^2 – 2 x + 1 4 x^2 – 4 x + 1 lím x 8 +@
5 x^2 – 2 x + 1 (2 x – 1)^2 lím x 8 +@
3 x 2 x^ + 1
x + 1 log x
5 x^2 – 2 x + 1 (2 x – 1) 2
lím x 8 +@
lím x 8 – @
lím x 8 +@
lím x 8 – @
lím x 8 – @
lím x 8 – @
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
8 Si p ( x ) = + @ , q ( x ) = – @ ,
r ( x ) = 3, s ( x ) = 0,
di, en los casos en que sea posible, el valor de los siguientes límites:
a) b) [ s ( x ) · q ( x )]
c) [ r ( x )] q^ ( x )^ d) [ p ( x ) – 2 q ( x )]
a) = = 0
b) [ s ( x ) · q ( x )] = (0) · (–@) 8 Indeterminado
c) [ s ( x )] p^ ( x )^ = 0 +@^ = 0
d) [ p ( x ) – 2 q ( x )] = +@ – 2 (– @) = (+@) + (+@) = +@
9 Calcula:
a) –
b) –
a) (^) ( – (^) ) = = =.
Hallamos los límites laterales:
= – @; = +@.
b) [
]
Hallamos los límites laterales:
= +@;^ x^ + 1 = +@. x ( x – 1)^2
lím x 8 1 +
x + 1 x ( x – 1)^2
lím x 8 1 –
x + 1 x ( x – 1)^2
lím x 8 1
2 x – x + 1 x ( x – 1)^2
lím x 8 1
2 x – ( x – 1) x ( x – 1)^2
lím x 8 1
x ( x – 1)
( x – 1)^2
lím x 8 1
x^3
lím x 8 0 +
x^3
lím x 8 0 –
x^3
lím x 8 0
x^2 + 3 – x^2 x^3
lím x 8 0
x
x^2 + 3 x^3
lím x 8 0
]
x ( x – 1)
[ ( x – 1) 2 lím x 8 1
)
x
x^2 + 3 ( x 3 lím x 8 0
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
s ( x ) p ( x )
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
s ( x ) p ( x ) lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
lím x 8 2
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
10 Calcula:
a) b)
c) d)
a) = = 0
b) = = ( x – 6) = –
c) = = =
d) = = = = 0
11 Averigua si las siguientes funciones son continuas en x = 2:
a) f ( x ) = b) f ( x ) =
a) f ( x ) = (3 x – 2) = 4
f ( x ) = (6 – x ) = 4
f (2) = 6 – 2 = 4
b) f ( x ) = ( x^2 – 1) = 3
f ( x ) = (2 x + 1) = 5
12 Estudia la continuidad de las dos funciones siguientes:
a) f ( x ) =
b) f ( x ) =
a) • Si x? 2 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas.
1/ x si x < 1 2 x – 1 si x Ó 1
2 x^ si x < 2 4 si x Ó 2
lím x 8 2 +
lím x 8 2 +
lím x 8 2 –
lím x 8 2 –
lím x 8 2 +
lím x 8 2 +
lím x 8 2 –
lím x 8 2 –
x^2 – 1 si x Ì 2 2 x + 1 si x > 2
3 x – 2 si x < 2 6 – x si x Ó 2
x ( x – 3) x – 1
lím x 8 0
x^2 ( x – 3) x ( x – 1)
lím x 8 0
x^3 – 3 x^2 x^2 – x
lím x 8 0
x + 2 2 x lím x 8 1
( x + 2)( x – 1) 2 x ( x – 1) lím x 8 1
x^2 + x – 2 2 x^2 – 2 x lím x 8 1
lím x 8 1
( x – 6)( x – 1) x – 1
lím x 8 1
x^2 – 7 x + 6 x – 1
lím x 8 1
lím x 8 1
( x – 1)^2 x – 5
lím x 8 1
x^3 – 3 x^2 x^2 – x
lím x 8 0
x^2 + x – 2 2 x^2 – 2 x
lím x 8 1
x^2 – 7 x + 6 x – 1 lím x 8 1
( x – 1) 2 x – 5 lím x 8 1
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
f ( x ) no es continua en x = 2, puesto que no existe lím f ( x ). x 8 2
f ( x ) es continua en x = 2, puesto que límf ( x ) = f (2). x 8 2
14 Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas gráfica- mente:
a) f ( x ) =
b) f ( x ) =
a) f ( x ) =
f ( x ) = 1 = 1 f ( x ) = 1 — En x = 0 8 f ( x ) = ( x + 1) = 1
No existe f (0).
Hay una discontinuidad evitable en x = 0.
f ( x ) = ( x + 1) = 2
— En x = 1 8 f ( x ) = ( x^2 – 2 x ) = –
f (1) = –
Discontinuidad de salto finito en x = 1.
1
1 2 3
2
3
lím x 8 1 +
lím x 8 1 +
lím x 8 1 –
lím x 8 1 –
lím x 8 0 +
lím x 8 0 +
lím x 8 0
lím x 8 0 –
lím x 8 0 –
1 si x < 0 x + 1 si 0 < x < 1 x^2 – 2 x si 1 Ì^ x
3 x – x^2 si x Ì^ 3 x – 3 si 3 < x < 6 0 si x Ó 6
1 si x < 0 x + 1 si 0 < x < 1 x^2 – 2 x si 1 Ì^ x
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
b) f ( x ) =
— En x = 3 8 f ( x ) = ( x – 3) = 0 f ( x ) = f (3)
f (3) = 0
f ( x ) es continua en x = 3. f ( x ) = ( x – 3) = 3
— En x = 6 8 f ( x ) = 0 = 0
f (6) = 0
Discontinuidad de salto finito en x = 6.
f ( x ) = (3 x – x^2 ) = –@
15 Calcula el valor que debe tener k para que las siguientes funciones sean continuas:
a) f ( x ) = b) f ( x ) =
c) f ( x ) =
2 x + k si x < –
- kx – 2 si x Ó –
x + k si x Ì 0 x^2 – 1 si x > 0
x + 1 si x Ì 2 k – x si x > 2
1
1 2 3
2
3
4 5 6
lím x 8 – @
lím x 8 – @
lím x 8 +@
lím x 8 +@
lím x 8 6 +
lím x 8 6 +
lím x 8 6 –
lím x 8 6 –
lím x 8 3
lím x 8 3 +
lím x 8 3 +
lím x 8 3 –
lím x 8 3 –
3 x – x^2 si x Ì^3 x – 3 si 3 < x < 6 0 si x Ó 6
Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
