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Definición 1
Decimos que (𝑥 0
0
2
es un punto de acumulación de un conjunto 𝐷 si cada entorno (disco, Bola)
abierta centrada en (𝑥
0
0
) tiene algún punto del conjunto 𝐷 distinto de (𝑥
0
0
Observación:
Si trabajamos en la recta real nos referimos a intervalos.
Si trabajamos en el plano nos referimos a discos Si trabajamos en el espacio nos referimos a bolas.
Ejemplo 1
2
2
2
2
2
Observamos los puntos indicados en el gráfico, según la definición determinamos que 𝑃: ( 0 ; 0 ) es un
punto de acumulación, ya que por más pequeño que sea el disco abierto centrado en ( 0 ; 0 ) siempre
existirá un punto del conjunto distinto de( 0 ; 0 ) en el disco considerado. Basta Observar los puntos de la
forma ( 0 ; 𝑦) considerando 𝑦 < 𝛿 ; 𝛿 > 0 , 𝛿: 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
Si consideramos el punto 𝑄: ( 0 ; − 1 ) aplicando la definición resulta no ser un punto de acumulación del
conjunto 𝐷𝑜𝑚(ℎ) pues bastaría considerar el disco centrado en ( 0 ; − 1 ) de radio 𝛿 < 1 para garantizar
que no existe ningún punto del conjunto en dicho disco.
Para este disco No hay puntos del
conjunto
Cualquiera sea el radio del disco,
siempre habrá puntos del conjunto
diferentes del centro
Límites de funciones
Noción intuitiva de límite
Diremos que la función 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ
2
⟶ ℝ tiene límite 𝐿 en el punto 𝑃: (𝑥
0
0
) punto de
acumulación de 𝐷 si las imágenes de los (𝑥; 𝑦) próximos a 𝑃 se aproximan tanto como uno quiera a un
valor fijo 𝐿 y anotamos simbólicamente
lim
(𝑥;𝑦)→(𝑥 0
;𝑦 0
)
Ejemplo 2
a) Analicemos la siguiente función en 𝑃( 0 ; 0 ) y demostremos que no tiene límite en dicho punto, es
decir centremos la atención en mostrar que no es verdad que para todos los puntos próximos a
𝑃 las imágenes se aproximan a un valor fijo 𝐿
Observemos que:
- 𝑃( 0 ; 0 ) es pto de acumulación del conjunto 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ
2
- Si Nos aproximamos a 𝑃( 0 ; 0 ) por los puntos del eje x resulta que las imágenes de dichos ptos
es siempre 0 y escribimos lo siguiente
lim
(𝑥;𝑦)→( 0 ; 0 )
= lim
(𝑥;𝟎)→( 0 ; 0 )
= lim
𝑥⟶ 0
Decimos que nos aproximamos a 𝑃( 0 ; 0 ) por la trayectoria 𝒚 = 𝟎
Definición 2
Decimos que 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) tiende al valor 𝐿 ( 𝑓(𝑥; 𝑦) ⟶ 𝐿) cuando ((𝑥; 𝑦) ⟶ (𝑥
0
0
donde (𝑥
0
0
) es punto de acumulación del dominio de 𝑓 y escribimos
lim
(𝑥;𝑦)→(𝑥
0
;𝑦
0
)
Si y solamente sí
0
0
0
2
0
2
Concepto de Limites para dos
Variables independientes independientes
¿Cómo hacemos si al plantear un límite no podemos
simplemente calcularlo por darnos una indeterminación?
Bueno, no siempre es tan sencillo determinar la existencia o no existencia de un límite doble. Para poder
calcular límites enunciaremos un conjunto de propiedades que con juntamente con lo visto nos permitirán
operar algebraicamente para poder determinar qué ocurre o cómo se comporta una función en las
proximidades de un punto.
Propiedades Básicas
𝑆𝑖 lim
(𝑥;𝑦)⟶(𝑥
0
;𝑦
0
)
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝐿 𝑦 lim
(𝑥;𝑦)⟶(𝑥
0
;𝑦
0
)
𝑃 1 ) lim
(𝑥;𝑦)⟶(𝑥
0
;𝑦
0
)
𝑃 2 ) lim
(𝑥;𝑦)⟶(𝑥
0
;𝑦
0
)
𝑃 3 ) lim
( 𝑥;𝑦
) ⟶
( 𝑥
0
;𝑦
0
)
𝑃 4 ) lim
(𝑥;𝑦)⟶(𝑥
0
;𝑦
0
)
𝑃 5 ) 𝑠𝑖 lim
(𝑥;𝑦)⟶(𝑥
0
;𝑦
0
)
𝑓(𝑥; 𝑦) = 0 𝑦 | 𝑔(𝑥; 𝑦)| ≤ 𝑚; 𝑚 > 0 ⟹ lim
(𝑥;𝑦)⟶(𝑥
0
;𝑦
0
)
Ejemplo 4
Calcular los siguientes límites
𝑎) lim
(𝑥;𝑦)⟶( 0 ; 0 )
2
1° Analizamos que el punto ( 0 ; 0 ) es un punto de acumulación del dominio de esta función
Dominio √
2
2° Analizamos la tendencia y estamos en un caso de indeterminación del tipo
0
0
Si consideramos 𝑓
𝑦
2
𝑥
2
+𝑦
2
resulta que podemos utilizar la propiedad P5 ya que
lim
( 𝑥;𝑦
) ⟶
( 0 ; 0
)
2
2
2
≤ 1 ⟹ lim
( 𝑥;𝑦
) ⟶
( 0 ; 0
)
2
2
2
Observación demostremos la afirmación 0 ≤
𝑦
2
𝑥
2
+𝑦
2
La desigualdad 0 ≤
𝑦
2
𝑥
2
+𝑦
2
resulta trivial ya que todos los términos de la derecha son no nulos
Ahora 𝑦
2
2
2
2
2
𝑥
2
𝑥
2
+𝑦
2
𝑐) lim
(𝑥;𝑦)⟶( 0 ; 0 )
2
2
Hemos modificado la función anterior, para mostrar que “supuestas” pequeñas modificaciones en la
expresión producen cambios relevantes en el comportamiento.
Trayectoria 𝑦 = 𝑥
lim
( 𝑥;𝑦
) ⟶
( 0 ; 0
)
2
2
= lim
( 𝑥;𝒙
) ⟶
( 0 ;𝟎
)
2
2
= lim
𝑥⟶ 0
2
2
= lim
𝑥⟶ 0
Trayectoria 𝑦 = 0
lim
(𝑥;𝑦)⟶( 0 ; 0 )
2
2
= lim
(𝑥;𝟎)⟶( 0 ; 0 )
2
2
= lim
𝑥→ 0
2
2
= lim
𝑥→ 0
∄ lim
(𝑥;𝑦)⟶( 0 ; 0 )
2
2
Límites iterados
Definición 3
Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ
2
⟶ ℝ y sea 𝑃: (𝑥
0
0
) un punto de acumulación de 𝐷. Llamamos límites iterados
de 𝑓 en 𝑃: (𝑥
0
0
) a los siguientes límites
lim
𝑥⟶𝑥 0
( lim
𝑦⟶𝑦 0
𝑓(𝑥; 𝑦)) y lim
𝑦⟶𝑦 0
( lim
𝑥⟶𝑥 0
Teorema
Si el límite doble de una función 𝑓 existe ( lim
( 𝑥;𝑦
) ⟶(𝑥
0
;𝑦
0
)
= 𝐿) y los iterados existen
∃ lim
𝑥⟶𝑥
0
( lim
𝑦⟶𝑦
0
𝑓(𝑥; 𝑦)) y ∃ lim
𝑦⟶𝑦
0
( lim
𝑥⟶𝑥
0
𝑓(𝑥; 𝑦)) entonces
lim
𝑥⟶𝑥
0
( lim
𝑦⟶𝑦
0
𝑓(𝑥; 𝑦)) = lim
𝑦⟶𝑦
0
( lim
𝑥⟶𝑥
0
Observaciones:
1) Los limites iterados no son trayectorias.
2) Si los límites iterados son finitos y distintos entonces no existe el límite doble.
3) Puede existir el límite doble y no existir uno o los dos iterados.
4) Si existe el límite por una trayectoria y existe un iterado pero son distintos el límite
doble no existe.
5) La existencia de los límites iterados no asegura la existencia del límite doble.
Ejemplos 5
Calcular los siguientes límites
𝑎) lim
(𝑥;𝑦)⟶( 0 ; 0 )
2
2
2
2
El dominio de esta función es
2
El punto 𝑃: ( 0 ; 0 ) es pto de acumulación del dominio
Analizamos la tendencia y es indeterminación del tipo
0
0
Debemos trabajar y determinar si el límite doble existe o no.
Vamos a utilizar los límites iterados esperando que sean finitos y distintos para poder asegurar que el
límite doble no existe. En caso de ser iguales o alguno de ellos no existir no podremos asegurar nada.
lim
𝑥⟶ 0
(lim
𝑦→ 0
𝑥
2
−𝑦
2
𝑥
2
+𝑦
2
) = lim
𝑥⟶ 0
𝑥
2
𝑥
2
= lim
𝑥⟶ 0
1 = 1 lim
𝑦⟶ 0
(lim
𝑥→ 0
𝑥
2
−𝑦
2
𝑥
2
+𝑦
2
) = lim
𝑦⟶ 0
−𝑦
2
𝑦
2
= lim
𝑦⟶ 0
Entonces por el contra recíproco del teorema anterior resulta que si los iterados son finitos y distintos,
al existir ambos podemos asegurar que
∄ lim
(𝑥;𝑦)⟶( 0 ; 0 )
2
2
2
2
𝑏) lim
(𝑥;𝑦)⟶( 0 ; 0 )
Dominio de esta función {(𝑥; 𝑦)𝜖ℝ
2
𝑃: ( 0 ; 0 ) es pto de acumulación del conjunto dominio
Observemos que este límite al analizar la tendencia no podemos determinar que existe ni tampoco decir
que es indeterminado.
Analicemos para este caso los límites iterados
lim
𝑦⟶ 0
( lim
𝑥⟶ 0
) = lim
𝑦⟶ 0
0 = 0 ∄ lim
𝑥⟶ 0
( lim
𝑦⟶ 0
) 𝑝𝑢𝑒𝑠 ∄ lim
𝑦⟶ 0
- Una función será continua en un conjunto 𝐴 ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) si es continua en cada elemento de
- Las sumas, restas, productos , múltiplos constantes, cocientes y potencias de funciones
continuas son continuas siempre que estén bien definidas.
Ejemplos
a) Analizar la continuidad de la siguiente función en 𝑃: ( 1 ; 1 ) 𝑦 𝑄( 0 ; 0 )
2
2
2
Los puntos P y Q son puntos de acumulación del conjunto dominio
- Analicemos la continuidad en 𝑃: ( 1 ; 1 )
Si consideramos un disco (entorno) de 𝑃: ( 1 ; 1 ) la función está definida como 𝑓
2 𝑥𝑦
𝑥
2
+𝑦
2
la
cual resulta continua en 𝑃: ( 1 ; 1 ) por ser cociente de funciones continuas (polinómicas) y no
anularse el denominador.
- Analicemos la continuidad en 𝑄( 0 ; 0 )
Si consideramos un disco (entorno) de 𝑄
la función está definida como 𝑓
2 𝑥𝑦
𝑥
2
+𝑦
2
para
cualquier (𝑥; 𝑦) ≠ ( 0 ; 0 ) y será 𝑓(𝑥; 𝑦) = 0 𝑠𝑖 (𝑥; 𝑦) = ( 0 ; 0 ) entonces utilizamos la definición por
para considerar el comportamiento de la función en el pto y la noción de límite que nos permite
analizar en las proximidades del pto.
𝑖𝑖) lim
(𝑥;𝑦)→( 0 ; 0 )
(𝑥;𝑦)≠( 0 ; 0 )
lim
(𝑥;𝑦)→( 0 ; 0 )
2
2
Para determinar qué ocurre con este límite utilizaremos trayectorias, y además daremos una
interpretación geométrica de lo que estamos realizando algebraicamente.
¿Qué es analizar una función sobre una trayectoria?
Trayectoria 𝑦 = 𝑥
lim
(𝑥;𝑦)⟶( 0 ; 0 )
2
2
= lim
(𝑥;𝒙)⟶( 0 ;𝟎)
2
2
= lim
𝑥⟶ 0
2
2
= lim
𝑥⟶ 0
Trayectoria 𝑦 = 0
lim
(𝑥;𝑦)⟶( 0 ; 0 )
2
2
= lim
(𝑥;𝟎)⟶( 0 ; 0 )
2
2
= lim
𝑥⟶ 0
∄ lim
(𝑥;𝑦)⟶( 0 ; 0 )
2
2
En este ejemplo vemos que no existe el límite y decimos que la función es discontinua esencial, en otro
caso la discontinuidad se llama evitable y podemos redefinir la función. Veamos un ejemplo.
𝑖𝑖) lim
(𝑥;𝑦)→( 0 ; 0 )
𝑓(𝑥; 𝑦) = lim
( 𝑥;𝑦
) →
( 0 ; 0
)
2
2
Redefinimos 𝑓
∗
2
2
