¡Descarga Limite y continuidad y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Material de Estudio de Matemática I. Encuentro 1.
1er. Año. Todas las carreras.
Tema I: Límite y continuidad de funciones reales de variable real.
Objetivo: Calcular límite de funciones reales de variable real cuando la variable
independiente tiende a x (^) 0 , siendo x (^) 0 un número real, + ∞ ó − ∞, aplicando las definiciones,
propiedades, teoremas y reglas relativas al límite funcional.
Contenido: Conceptos preliminares. Límite funcional para funciones reales de variable real
cuando la variable independiente tiende a un valor finito. Interpretación Geométrica.
Propiedades. Límites laterales. Teorema de Unicidad (S/D). Límite funcional para funciones
reales de variable real cuando la variable independiente tiende a un valor infinito. Formas
Indeterminadas 0
∞ (^). Eliminación del factor de indeterminación. Regla de Leibnitz.
Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite es, a no
dudarlo, el más importante, y quizás también el más difícil, como bien dijera Michael Spivak,
más el decía que la definición de límite es tan importante, que todo lo que emprendamos a
partir de ahora va a depender de ella, que sería vano pasar adelante sin saberla. ¡Apréndala
de memoria si es necesario, como si fuese un poema! Esto es, por lo menos, mejor que
emplearla incorrectamente; quien haga esto, irremediablemente llegará a resultados
incorrectos, fin de la cita.
Antes de definir límite de una función, es necesario puntualizar algunos conceptos
preliminares que nos ayudarán a la comprensión correcta de dicha definición:
Examinemos los siguientes conjuntos de números dados en notación constructiva.
A 1 (^) = { x : 2 < x < 5 }, A (^) 2 = { x : 2 ≤ x ≤ 5 }, A (^) 3 = { x : 2 < x ≤ 5 }, A 4 = { x : 2 ≤ x < 5 }
Los cuatro conjuntos contienen solamente los números reales que están entre 2 y 5 con las
excepciones posibles de 2 y/o 5. Estos conjuntos se llaman intervalos y los números 2 y 5
son los extremos de cada intervalo. Por otra parte, A 1 es un intervalo abierto, pues no
contiene los extremos; A (^) 2 es un intervalo cerrado ya que contiene a ambos extremos; A (^) 3 y
A (^) 4 son abierto – cerrado y cerrado – abierto respectivamente.
Se representan gráficamente estos conjuntos sobre la recta real como sigue:
Observe que en cada diagrama se
encierran con un círculo los extremos 2
y 5 y que se repinta el segmento entre
dichos puntos.
Cuando un intervalo incluye un
extremo, esto se hace ver llenando el
círculo del extremo. Como los
intervalos aparecen con mucha
frecuencia en las matemáticas, se
emplea generalmente una notación
abreviada para designarlos, llamada
notación de intervalos, los intervalos
anteriores se denotan, a veces por:
A 1 (^) = ] 2 ; 5 [, A (^) 2 =[ 2 ; 5 ], A 3 (^) =] 2 ; 5 ]y A (^) 4 =[ 2 ; 5 [. Note que se usa un corchete al revés para
designar un extremo abierto, es decir, un extremo que no pertenece al intervalo, y que se usa
un corchete para designar un extremo cerrado que pertenece al intervalo. Los intervalos son
subconjuntos de números reales.
A 1
A 2
A 3
A 4
Punto medio de un intervalo: El punto medio x (^) 0 , de un intervalo con extremos a y b , a < b ,
es el punto que equidista de ambos extremos, luego
2
0
a b x
Ejemplo: Sea ] − 4 ; 7 [, entonces 2
a b x
Semiamplitud de un intervalo : La semiamplitud δ de un intervalo con extremos a y b , a < b ,
es la distancia entre el punto medio x (^) 0 y cualquiera de sus extremos, luego
2
b − a δ =.
Ejemplo: Sea ] − 4 ; 7 [, entonces
( )
b a δ
Vecindades: Se denomina vecindad del punto x (^) 0 , a todo intervalo abierto cuyo punto medio
es el punto x (^) 0. Ejemplos:
- Son vecindades de x (^) 0 = 2 los intervalos abiertos: ] 0 ; 4 [, ] − 2 ; 6 [, etc.
2)Son vecindades de 2
x (^) 0 =− los intervalos abiertos: ] − 2 ; 1 [, ⎢⎣
(^13) , etc.
Una vecindad de radio δ del punto x (^) 0 es el conjunto de puntos que se encuentran a una
distancia menor que δ del punto x (^) 0 , esto es, una vecindad del punto x (^) 0 es el conjunto:
V = { x ∈ℜ: x − x 0 < δ}
Vecindad reducida de un punto: Una vecindad reducida de x (^) 0 , es una vecindad de x (^) 0 , de la
que se excluye precisamente el punto x (^) 0 , esto es, un conjunto de la forma:
V = { x ∈ℜ: x − x 0 <δ , x ≠ x 0 } ó V = { x ∈ℜ: 0 < x − x 0 < δ}
Definición de límite de una función en un punto : Lo que vamos a definir no es la palabra
“límite”, sino la noción de función que tiende hacia un límite, es decir, analizaremos el
comportamiento de una función alrededor de un punto x = x 0 donde x (^) 0 es un número real,
Definición: Dada una función f definida en una vecindad reducida del punto x (^) 0 , se dice
que f tiene límite L , cuando x tiende hacia x (^) 0 , si para todo número positivo ε , existe un
número positivo δ tal que: si 0 < x − x 0 < δ entonces f ( x )− L <ε.
Notación: lím f ( ) x L x x
→ (^0)
, y se lee límite de f ( x )cuando x tiende a x (^) 0 es igual a L.
Simbólicamente: ( ) = ∀ε > ∃δ> < − <δ⇒ ( )− <ε →
lím f x L si x x f x L x x
0
Teorema de Unicidad del Límite : Si la función f tiene límite cuando x tiende hacia x (^) 0 , dicho
límite es único.
Propiedades fundamentales sobre límites: Sean f y g dos funciones, x (^) 0 un número real
y (^) c una constante. Si ( ) (^1)
0
lím f x L x x
→
y ( ) (^2)
0
lím g x L x x
→
entonces:
- lím c c x x
→ (^0)
- [ ( ) ( )] ( ) ( ) (^12)
0 0 0
lím f x g x lím f x lím g x L L x x x x x x
→ → →
- [ ( ) ( )] ( ) ( ) (^12)
0 0 0
lím f x g x lím f x lím g x L L x x x x x x
→ → →
- [ ( )] ( ) (^1)
0 0
lím c f x c lím f x c L x x x x
→ →
Teorema : Dada una función f definida en una vecindad reducida del punto x (^) 0 el límite de
f cuando x tiende hacia x (^) 0 existe, si y sólo sí existen y son iguales ambos límites laterales
en (^) x (^) 0. En este caso: lím f ( ) x lím f ( ) x lím f ( ) x
x x x x x x
(^000)
Ejemplo: Calcule el lím f ( ) x
x → 1
si ( )
⎩
2 x para x
x para x f x.
Solución: Para calcular el lím f ( ) x
x → 1
, tenemos que analizar los límites laterales derecho e
izquierdo, pues la función está definida por tramos, es decir, para las x > 1 y para las x < 1 ,
luego calculemos el ( ) 1
1 1
→ →
lím f x lím x x x
y
( ) 1 1
2 2
1 1
− − → →
lím f x lím x x x
, por tanto ( ) 1 1
→
lím f x x
, pues
( ) ( ) 1 1 1
lím f x lím f x x x
, estos resultados pueden ser
verificados a través del análisis gráfico de la función
y = f ( ) x anteriormente planteada.
Definición de límite finito cuando la variable independiente tiende al infinito: Dada una función
f , definida en el intervalo ] a ;+∞[, se dice que el límite de f cuando x tiende hacia +∞
es L , si para todo número ε positivo, existe un número M positivo, tal que si x > M
entonces f ( ) x − L <ε. Simbólicamente:
( ) = ∀ε > ∃ > > ⇒ ( )− <ε →+∞
lím f x L si M si x M f x L x
Ejemplo: = 0
−
→+∞
x
x
lím e. Verifique este resultado auxiliándote
de la gráfica de la función
x y e
− =.
Definición de límite infinito ( + ∞)en un punto: Dada una función f , definida en una vecindad
reducida del punto x (^) 0 , se dice que el límite de f , cuando x tiende hacia x (^) 0 , es + ∞, si para
toda N > 0 , existe un δ > 0 tal que, si 0 < x − x 0 < δ entonces: f^ (^ x )^ >^ N.
Simbólicamente: lím f ( x ) si N x x f ( ) x N x x
→
0 , δ 0 : 0 0 δ
0
Ejemplos: a) =+∞
→
x
lím x
0
b) =−∞ − →
x
lím x
0
c) x
lím x
→ 0
no existe.
Definición de límite infinito en el infinito: De forma análoga, estudiaremos el caso en que los
valores de una función f son cada vez mayores en valor absoluto, cuando la variable
independiente tiende hacia + ∞.
En este caso tenemos:
( ) =+∞ →+∞
lím f x x
, ( ) =−∞ →+∞
lím f x x
, ( ) =+∞ →−∞
lím f x x
y ( ) =−∞ →−∞
lím f x x
y
0 x
x y e
−
y
0 x
x
y =^1
0 1 x
y
y = f ( ) x
f ( x ) = x
( )
2 f x = x
Ejemplos de cálculo de límites a través del gráfico de algunas funciones:
→
lím x x
cot 0
cot 0
2
→
lím x x^ π
→
lím x x
cot π
− →
lím x x
cot π
lím x no existe x
cot → π
cot 0
2
3
→
lím x x^ π
Otros ejemplos: a) ( − + ) =−∞ →+∞
lím x x x
2 5 , b) ( − ) =−∞ →−∞
lím x x x
3 , c) (− + ) =+∞ →−∞
lím x x x
5
Regla de Leibnitz: Sea ( )
( )
Q ( ) x
Px R x = una función racional con P ( ) x un polinomio de
grado n y Q ( ) x un polinomio de grado m , entonces:
- Si n < m , entonces ( ) = 0 →±∞
lím R x x
- Si n = m , entonces ( )
m
n
x b
a lím R x = →±∞
siendo a (^) n y b (^) m los coeficientes de los términos
n x y
m x de los polinomios P ( ) x y Q ( x ) respectivamente.
( 3 +^4 ) = 3
→ +∞ x
lím x
y ( + ) =+∞
→+∞
lím x 2 x
, luego ( + ) ( + ) = ( +∞) =+∞
→+∞
3 4 .ln x 2 3 x
lím x
Por tanto: ( )
→+∞
x x
lím x
3 4 2 , pues la función exponencial tiende a + ∞ cuando su
argumento tiende hacia + ∞.
Ejercicios resueltos
Calcule los siguientes límites:
x x
x lím x (^) 5
2
2
→
. Solución: 24
2
2
3
→ (^) x x
x lím x
2
5
1
→ x
senx e lím
x
x
. Solución:
1 5 6
2
5
1
sen e e
x
senx e lím
x
x
→
3) lím f ( ) x
x 4
→^ π
, si ( )
⎪ (^ )
cos 4
tan
π π π
π
x x para x
x para x
f x
Solución: Tenemos que calcular los límites laterales:
tan tan
4 4
− − → →
π
π π
lím f x lím x
x x
[ ( )] ( ) cos 0 1
cos 4 4 4
cos 4
4
→
π π π π π π
π
lím x x
x
Como ( ) ( ) 1
4 4
lím f x lím f x
x π x^ π
entonces ( ) 1
4
→
lím f x x^ π
3 2
→ − x x
x lím x
. Solución: 0
3 2
→ − x x
x lím x
F.I
Entonces
3 2 3 3
→ − →− →− x
lím x x
x lím
x x
x lím x x x
2
→ (^) x
x lím x
. Solución: 0
2
→ (^) x
x lím x
F.I. Observe que para hallar el factor que
indetermina debemos antes racionalizar, multiplicando numerador y denominador por la
conjugada del denominador. Luego
4 2 2 4
2
→ → → x
x x x lím
x
x x x lím x
x
x
x lím x x x
4 4
→ →
lím x x x
x x x lím x x
→
x x
lím x
(^1) cos 2 0
. Solución: (^) ⎟=+∞+ =+∞ ⎠
→
(^1) cos 1 2 0
x x
lím x
x
lím e
x
x
(^2) +tan 3
→+∞
. Solución: ( + ) =+∞+ =+∞+ =+∞
→+∞
tan^3 tan 0 0
2
x
lím e
x
x
→ 5
cot 0
x lím x x
. Solución: (^) ⎟=+∞− =+∞
⎠
→ 5
cot 0
x lím x x
- ( ) x
lím e
x
x
1 +^1
→+∞
. Solución: ( (^) + ) (^) =+∞( (^) + ) (^) =+∞ →+∞
x
lím e
x
x
- ln [( 1 ) ( 3 )]
2 − + →−∞
x
x
lím x e. Solución: [( − ) ( + )] =+∞( + ) =+∞ →−∞
ln 1 3 0 3
2 x
x
lím x e
3 (^0 )
x
e lím
x
x
− →
. Solución: − − →
− 0
3 (^0) x
e lím
x
x
entonces =+∞
− →
3 (^0 )
x
e lím
x
x
2
→ (^) x
x x lím x
. Solución: 0
2
→ (^) x
x x lím x
F.I, racionalizando: 2
2
→ (^) x
x
x
x x lím x
( )( )
( )
( )( ) 2 0 2
2 2
2
2
2
→ → →
límx x x
x x x lím
x
x x x lím x x x
2
→ ∞ n
n lím n
. Solución: ∞
→∞
2 n
n lím n
F.I. Entonces aplicando Leibnitz 0 1
2
→ ∞ n
n lím n
3 2
3
n n
n n lím n (^) +
→∞
. Solución: ∞
→∞
3 2
3
n n
n n lím n
F.I. Aplicando Leibnitz 3
3 2
3
=
→ ∞ n n
n n lím n
2
3
n
n n lím n
→∞
. Solución: ∞
→∞
2
3
n
n n lím n
F.I. Aplicando Leibnitz (^) =∞
→ ∞^2
3
n
n n lím n
2
3
n
n n lím n
→−∞
. Solución: ∞
→−∞
2
3
n
n n lím n
F.I. Entonces aplicando la regla de
Leibnitz =−∞
→ −∞^2
3
n
n n lím n
g x
f x lím x →∞
, si ( )
x x
f x
10
2
= y ( ) x
g x
Solución:
∞
→∞ →∞ →∞
2
2
x x
x lím
x
x x lím g x
f x lím x x x
F.I, pero
x x
x lím x 10
2
→∞
2
2
= =
→ ∞ x x
x lím x
, por tanto 1 ( )
→ ∞ g x
f x lím x
f x
g x lím x →∞
, si ( ) x
x f x 2
= y ( ) 1 2
x
x g x.
Solución:
( )
( ) ∞
→∞ +
→∞ →∞
1
1
x
x lím x
x
lím f x
g x lím x
x
x
x
x
x x
F.I, pero
( )
2 ( 2 1 )
1 −
→ ∞ + x
x lím x
x
x
( )
( )
( )
( ) 2
→ ∞ →∞ x
x lím
x
x lím x x
x
x
, por tanto 2
→ ∞ f x
g x lím x
- [ ] x
x
lím f x
1 ( ) →+ ∞
si ( ) x x
f x = 1.
II) Calcule los siguientes límites:
3
3
x x
x x lím x (^) −
→+∞
8
4 3
2
−
→+∞
x
x
x
lím e
2
2
ln x
x x lím x (^) +
→+∞
2 0
3 cos
x
x lím x →
x
senx lím x^3
0
− →
( )
3 (^2 )
→ (^) x
lím x
x
x lím x
2 2 tan
→π
- lím x senx
x
− →
tan
2
π
- ( )
3 1
→
x
x
lím x
( ) 2 2 2
→ (^) x
x lím x
- ( )
x
x
lím x
tan
2
− →π
x
x
lím x
cot
→ π
2 − +
→−∞
x x lím x
x x
x x lím x (^) 7 3
2
3
→−∞
2
4
x
x x lím x (^) −
→+∞
2 (^1) − −
→ − x x
x x lím x
x
x lím x (^) − −
4
→ (^) x
x lím x
2
3 2
→ − x x
x x x lím x
- ( ) ( )
→
2
3 2
2
2
2
3
para x
x
x x
para x
x x
x
lím f x si f x x
- ( )^ ( )
→
2
4 8
2
2
2
2
2
para x
x x
x x
para x
x
x x
lím f x si f x x
- ( ) ( )
⎪ ⎩
→
2
cos 2
cos
2 π
π
π x para x
para x e
senx x
lím f x si f x
x
x
x
lím x −
→ 3
3
x
lím x −
− → 3
3
- [ ] x x
lím f x
1 ( ) →+ ∞
, si ( ) x
x
x
f x
1 2
−
=
26.a) lím f ( x )
x →−∞
, b) ( )
f x
g x lím x →+∞
, si ( )
( 1 ) 1
2
x
f x y ( )
( 2 ) 1
2
x
g x
- a) lím f ( x )
x →+∞
, b) [ ] x x
lím f x
1 ( ) →+ ∞
, si ( )
2
x
x
x f x ⎟
⎠
g x
f x lím x →+∞
, si ( )
( )
2 3 1
x
f x y ( ) 2
x
g x =
g x
f x lím x →+∞
, si ( )
( 1 )
x x
f x y ( ) x
g x
30.a) lím f ( x ) x →−∞
, b) ( )
g x
f x lím x →+∞
, si ( )
x x
x x f x
2
3
2
= y ( ) x
g x
f x
g x lím x →+∞
, si ( ) x
f x
x 4 = y ( ) 1
1
x
g x
x
f x
g x lím x →+∞
, si ( ) x
x f x
4
2
= y ( )
( )
1
2
x
x g x
f x
g x lím x →+∞
, si ( )
( )
x
x f x
2
= y ( )
( )
1 2
x
x g x
34.a) lím f ( ) x
x →−∞
b) [ ] x x
lím f x
1 ( ) →+ ∞
, si ( )
x
x
x f x ⎟
⎠
- [ ] x
x
lím f x
1 ( ) →+ ∞
, si ( )
2 1
−
x
x
x f x.
36.a) lím f ( x )
x →−∞
b) ( )
g x
f x lím x →+∞
, si ( ) ( 4 − 3 )( 4 − 1 )
x x
x f x y ( ) x
g x
f x
g x lím x →+∞
, si ( ) x
x f x
2
= y ( ) 1 2
x
x g x
( )
f x
g x lím x →+∞
, si ( ) x
x
x
f x
5
10
1
−
y ( )
( )
10 1 1 5
x
x
x
g x
Respuestas a los ejercicios propuestos
I.a) 0 , b) 1 , c) 3 , d) no existe, e) 3 , f) no existe, g) 0 , h) − 1 , i) − 1 ,
j) − 1 , k) 2 , l) - 2.
II.1)
− 5 , 2) 1 , 3) 0 , 4) + ∞, 5) − ∞, 6) no existe, 7) 0 , 8) + ∞, 9) 16
- − ∞, 11) + ∞, 12) no existe, 13) + ∞, 14) + ∞, 15) − ∞, 16) 5
− , 20) no existe,^ 21)^ 4
(^3) , 22) no existe, 23) − ∞,^ 24)^ + ∞,^ 25)^0 ,
26.a) 0 , b) 1 , 27.a) + ∞, b) 6 2
(^1) , 29) 1 , 30.a) 0 , b) 4 , 31) 4 , 32) 4
, 34.a) + ∞, b) 2
(^1) , 36.a) 0 , b) 16
