¡Descarga Límites y continuidad de funciones reales de variable real - Prof. 26 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Cap´ıtulo 1
Funci´ons dunha variable real
1.1. Introduci´on. Gr´aficas das funci´ons elementais
Dominio e acotaci´on
Definici´on 1. Unha funci´on real de variable real ´e calquera aplicaci´on do tipo f : D ⊂ R −→ R. O conxunto D denom´ınase dominio da funci´on f. Cando o dominio da funci´on non se especifica ent´endese que ´e o maior posible. O conxunto {f (x) : x ∈ D} ch´amase rango ou imaxe da funci´on f.
Exemplos 2. 1. Se nos dan a funci´on f (x) = x+3, ent´endese que o seu dominio ´e todo o conxunto R, sen embargo, se nos dan f : [2, 10] −→ R, f (x) = x + 3, ent´endese que o seu dominio ´e o intervalo [2, 10].
- Se nos dan a funci´on h(x) =
x + 2, ent´endese que o seu dominio ´e o maior posible, esto ´e, conxunto D = {x ∈ R : x + 2 ≥ 0 } = [− 2 , +∞)
- As funci´ons polin´omicas son aquelas que ve˜nen dadas por unha expresi´on polin´omica, coma por exemplo f (x) = 3x^5 − 7 x^4 + 2x − 2 ou g(x) = x^20 − 58 x^8 + 2x. Est´an definidas en todo o conxunto R.
- As funci´ons racionais son aquelas que ve˜nen dadas por un cociente de d´uas expresi´ons polin´omi- cas, coma por exemplo f (x) = 7 x
(^5) −x (^2) − 2 x^2 − 9. Est´an definidas no conxunto formado polos n´umeros reais que non anulan o denominador. No noso exemplo, o dominio de f e Dom´ f = R \ {− 3 , 3 }.
- Obviamente, non todas as funci´ons ve˜nen determinadas pola mesma expresi´on para todolos va- lores reais. Tam´en son exemplos de funci´ons reais de variable real as seguintes:
F (x) =
2 x + 2 se x ≤ 1 − 4 x^2 se x > 1
G(x) =
4 − x^2 se x ≤ 0 4 − x se 0 < x ≤ 4 ln(x − 3) se x > 4
Exercicio 3. Determina o dominio das seguintes funci´ons: f (x) = (^) (x+3)^12 , g(x) = |x − 3 |, h(x) = √ 5 + 2x, k(x) = 3
5 + 2x, l(x) = ln(5 − x^2 ), m(x) = ln(5 + x^2 ), n(x) = − √ 12 −x 2 , p(x) = (^) 2+^1 |x|.
Definici´on 4. Diremos que f : D ⊂ R → R ´e unha funci´on acotada se o seu rango ´e un conxunto acotado, ´e dicir, se existe M > 0 tal que |f (x)| ≤ M , para todo x ∈ D. Ou, equivalentemente, se existen m, M ∈ R tales que m ≤ f (x) ≤ M , para todo x ∈ D.
1
2 Grado en ADE: Matem´aticas
Exemplos 5.
- A funci´on f (x) = cos x e acotada pois´ | cos x |≤ 1 , para todo x ∈ R. Obviamente tam´en son acotadas f (x) = cos(x^3 + 8x) ou g(x) = sen
3 x^9 − 5 x+
- A funci´on f (x) = arc tg x e acotada xa que´ | arc tg x |< π 2 , para todo x ∈ R.
- A funci´on f (x) = x^2 non ´e acotada porque, para todo M > 0 , sempre ´e posible atopar xo ∈ R de xeito que | x^2 o |= x^2 o > M. De feito, o seu rango ´e [0, +∞)
- O rango da funci´on f (x) = x + 3 e´ Im f = R e o de h(x) =
x + 2 e´ Im h = [0, +∞). Polo tanto nengunha delas ´e unha funci´on acotada.
Gr´aficas das funci´ons elementais
Definici´on 6. Chamamos gr´afica dunha funci´on f : D ⊂ R −→ R a representaci´on do subconxunto de R^2 , {(x, f (x)) : x ∈ D}
Exemplo 7. AS RECTAS: Se f ´e unha funci´on polin´omica de grado un, f (x) = ax + b, a s´ua gr´afica ´e unha recta. A pendente da recta, esto ´e, a tanxente do ´angulo que forma co eixo X, ´e o valor a. As funci´ons polin´omicas de grado cero, esto ´e, as funci´ons constantes, corresp´ondense con gr´aficas de rectas paralelas o eixo de abscisas. As rectas paralelas o eixo de ordenadas non se corresponden con gr´aficas de funci´ons, pero responden ´a ecuaci´on x = cte.
−6 −4 −2 0 2 4 6
−
0
2
4
6
8
10
12
y=x+
−2−5 0 5
0
2
4
6
8
10 y=
−5−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−
−
−
−
0
1
2
3
4
5
x=−
Exemplo 8. AS PAR ´ABOLAS: Se f e unha funci´´ on polin´omica de grado dous, f (x) = ax^2 + bx + c, con a 6 = 0, a s´ua gr´afica ´e unha par´abola con eixo paralelo ´o de ordenadas.
−20−6 −4 −2 0 2 4 6
−
0
10
20
30
40
y=2x^2 +2x−
−4−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−
−
−
0
1
2
3
4
x=y^2 +y
As ramas da par´abola est´an orientados cara arriba se a > 0 e cara abaixo se a < 0. ¿Cales son os puntos de corte da par´abola co eixo X? As par´abolas con eixo paralelo o de ordenadas non se corresponden con gr´aficas de funci´ons, pero responden ´a ecuaci´on x = ay^2 + by + c, con a 6 = 0.
4 Grado en ADE: Matem´aticas
−2−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−1.
−
−0.
0
1
2 y=sen(x)
−2−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−1.
−
−0.
0
1
2
y=cos(x)
−6 −4 −2 0 2 4 6
−
−
−
0
2
4
6 y=tg(x)
- Se consideramos ´a tanxente definida s´o no intervalo (−π 2 , π 2 ), isto ´e consideramos a funci´on f : (−π 2 , π 2 ) −→ R, f (x) = tg x, ent´on a s´ua inversa ´e g : R −→ (−π 2 , π 2 ), g(x) = arc tg(x). Estas son as s´uas gr´aficas:
−10−2 −1 0 1 2
−
−
−
−
0
2
4
6
8
10
y=tg(x)
−2−10 −5 0 5 10
−1.
−
−0.
0
1
2
y=arc tg(x)
- Finalmente, ainda que non se trata propiamente da gr´afica dunha funci´on, debemos recordar que os puntos que verifican a ecuaci´on (x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2 son os da circunferencia de centro (a, b) e radio r.
Traslaci´ons e gr´aficas
Determinadas operaci´ons alxebraicas nas funci´ons resultan en traslacci´ons das s´uas gr´aficas. As´ı por exemplo, dada unha funci´on f (x), a gr´afica da funci´on g(x) = f (x) + 2 obt´ense da de f subindoa en bloque d´uas unidades. An´alogamente, a gr´afica da funci´on h(x) = f (x − 1) obt´ense da de f arrastr´andoa cara a dereita unha unidade.
−8−1 0 1 2 3 4 55
−
−
−
0
2
4
6
88
f(x)
f(x)+
−8−1 0 1 2 3 4 5
−
−
−
0
2
4
6
8
f(x)
f(x−1)
A gr´afica de p(x) = −f (x) e a imaxe especular sobre o eixo´ X da de f e a gr´afica de q(x) = f (−x) ´e a imaxe especular sobre o eixo Y da de f.
Curso 2011-2012 5
−8−1 0 1 2 3 4 5
−
−
−
0
2
4
6
8
f(x)
−f(x)
−8−5 −3 −1 1 3 55
−
−
−
0
2
4
6
88
f(−x) f(x)
Exercicio: ¿Como ser´a a gr´afica da funci´on v(x) = |f (x)| respecto da de f?
1.2. Exercicios
- Calcula a ecuaci´on da recta que pasa por (0, 0) e (3, 1), e a da que une (1, −1) con (0, 2).
- Representa gr´aficamente as seguintes funci´ons: y = 3 + sen x y = cos(x + 5) y = 7 − x^2 y = e|x|^ y = |x^2 − 6 x + 9| y = 4 − |x| y = ln |x| y =
3 − x^2 y = 3 − |x − 3 |
- Representa gr´aficamente as funci´ons F e G do exemplo 2.
1.3. L´ımites de funci´ons reais de variable real
Estudaremos nesta secci´on aspectos xerais do comportamento das funci´ons reais de variable real. O concepto de l´ımite prov´e unha estupenda terminolox´ıa para describir este comportamento. Usaremos tam´en este concepto para estudar o comportamento asint´otico dalgunhas funci´ons. Comezamos coa definici´on m´ais b´asica de l´ımite para funci´ons. No que segue, denotaremos por I calquera intervalo en R e por xo ∈ I′^ calquera n´umero real xo o que nos podemos achegar con puntos de I.
Definici´on 10. Sexan f : I ⊂ R → R, xo ∈ I′^ e ∈ R. ´e o l´ımite da funci´on f no punto xo (e den´otase l´ım x→xo
f (x) = `) se, para cada ε > 0 , existe δ > 0
tal que se x ∈ I, x 6 = xo, x ∈ (xo − δ, xo + δ), se verifica que f (x) ∈ (− ε, + ε).
Polo tanto o concepto l´ım x→xo f (x) = ` reflexa a idea de que, conforme x toma valores cada vez m´ais
pr´oximos a xo, as s´uas imaxes est´an tan perto como queiramos de `.
Exemplos 11. 1. Se f e a funci´´ on constante f (x) = 7, ent´on l´ım x→xo
f (x) = 7, para todo xo ∈ R.
En xeral, se f (x) = k, ent´on l´ım x→xo
f (x) = k, para todo xo ∈ R.
- Se f (x) = x, para todo x ∈ R, ent´on l´ım x→xo f (x) = xo, para todo xo ∈ R.
Observaci´on. 1. Se na definici´on 10, sustituimos x 6 = xo, x ∈ (xo − δ, xo + δ) por x ∈ (xo − δ, xo), estar´ıamos estudando o comportamento da funci´on f cando x se achega a xo exclusivamente con valores menores ca xo. Este concepto denom´ınase l´ımite pola esquerda da funci´on f no punto xo, e den´otase l´ım x→x− o
f (x).
An´alogamente, se na mesma definici´on sustituimos x 6 = xo, x ∈ (xo − δ, xo + δ) por x ∈ (xo, xo + δ), estar´ıamos estudando o comportamento da funci´on f cando x se achega a xo con
Curso 2011-2012 7
- l´ım x→+∞
x + 1 x^2
= l´ım x→+∞
x x^2 +^
1 x^2 x^2 x^2
- l´ım x→+∞
x^3 + x^2 cos x x^3
= l´ım x→+∞
x^3 x^3 +^
x^2 cos x x^3 x^3 x^3
Proposici´on 15. Sexan f, g : I ⊂ R → R e xo ∈ I′. Se g e unha funci´´ on acotada e l´ım x→xo f (x) = 0 , ent´on verif´ıcase que l´ım x→xo f (x)g(x) = 0
Exemplos 16.
- l´ım x→ 0 (x^2 − 2 x) sen
x^3
= 0, posto que l´ım x→ 0 (x^2 − 2 x) = 0 e g(x) = sen (^) x^13 e unha funci´´ on acotada.
- l´ım x→+∞
sen x x
= 0 porque l´ım x→+∞
x
= 0 e g(x) = sen x e unha funci´´ on acotada.
1.4. Exercicios
- Determina o valor dos seguintes l´ımites: a) (^) x→l´ım+∞
( (^1) 2
)x b) (^) x→−∞l´ım
( (^3) 4
)x c) (^) x→l´ım+∞
( (^5) 4
)x d) (^) x→−∞l´ım 3 x
- Comproba o valor dos seguintes l´ımites:
a) (^) xl´ım→ 2 x^2 + x − 6 x^2 − 4 = 5 4 b) (^) x→l´ım+∞(
√ x + 1 − √ x) = 0 c) (^) x→l´ım+∞ x^2 − 2 x − 7 2 x^2 − 6 x + 12 = 1 2
d) (^) xl´ım→ 0 4 x^3 + 2x^2 − x 5 x^2 + 2x = − 12 e) (^) xl´ım→ 1 x^5 − 1 x − 1 = 5 f) (^) x→l´ım+∞ x sen x x^2 + 1 = 0
g) (^) x→l´ım+∞
( 1 + 3 x
)x = e^3 h) (^) xl´ım→ 0 sen x tg x = 1 i) (^) xl´ım→ 0
√ 1 − x − 1 x = − (^12)
j) (^) xl´ım→ 0
( (^) 8 + x 8
) (^1) x = e (^18) k) (^) x→l´ım+∞
( 1 + 1 x
) 4 x = e^4
- Proba que os seguintes l´ımites non existen
a) (^) xl´ım→ 0 |x| x^2 + x b)^ xl´ım→ 3
1 x − 3 c)^ xl´ım→ 0 e^
sen^1 x
d) (^) xl´ım→ 1 x^2 − 3 x x − 1 e) (^) xl´ım→ 2 x^2 − 2 x x^2 − 4 x + 4
1.5. Continuidade de funci´ons reais de variable real
Definici´on 17. Sexan f : I ⊂ R → R e xo ∈ I. Diremos que f ´e continua no punto xo se l´ım x→xo f (x) = f (xo). Diremos que f ´e continua en I se ´e continua en cada punto de I.
Observaci´on. Diremos que f e´ continua pola esquerda no punto xo se l´ım x→x− o
f (x) = f (xo). An´alo-
gamente, diremos que f e´ continua pola dereita no punto xo se l´ım x→x+ o
f (x) = f (xo). Obviamente, f e continua en´ xo ∈ A se, e s´o se, f e continua pola esquerda e pola dereita en´ xo.
Proposici´on 18. Sexan f, g : I ⊂ R → R e xo ∈ I. Verif´ıcase:
8 Grado en ADE: Matem´aticas
- Se f, g : A ⊂ R → R son continuas en xo, as funci´ons f + g, rf (con r ∈ R), (f g) e
f g
(se g(xo) 6 = 0) tam´en son continuas en xo.
- Sexan f : I ⊂ R → R e g : J ⊂ R → R tales que Imf ⊂ J. Se f e continua en´ xo e g ´e continua en f (xo), ent´on g ◦ f e continua en´ xo.
Exemplos 19. 1. Se k ∈ R, a funci´on dada por f (x) = k e continua en´ R.
- A funci´on identidade f (x) = x ´e continua en R.
- As funci´ons polin´omicas son continuas en R.
- As funci´ons racionais son continuas no seu dominio.
- As funci´ons logaritmica, exponencial e trigonom´etricas son continuas no seu dominio.
Cando estudamos se unha funci´on ´e continua nun punto xo realmente s´o nos fixamos no comporta- mento da funci´on nun entorno do punto xo, ´e por esto que se a funci´on que estamos a estudar coincide nun intervalo centrado en xo con outra determinada funci´on, as d´uas te˜nen as mesmas caracter´ısticas respecto da continuidade en xo ou de calquera outra propiedade local. Plasmamos esta idea dun xeito m´ais formal na seguinte proposici´on.
Proposici´on 20. Sexan f : I ⊂ R → R, g : J ⊂ R → R e C ⊂ I ∩ J. Se f (x) = g(x), para todo x ∈ C, C ´e un intervalo aberto e g e continua en´ C, ent´on f ´e continua en C.
Exemplos 21. 1. Consideremos a funci´on f (x) =
3 x − 2 se x ≤ 2
−x + 6 se x > 2 No intervalo aberto (−∞, 2) , f coincide coa funci´on polin´omica y = 3x − 2 , polo tanto f e continua en ´ (−∞, 2). An´alogamente, no intervalo aberto (2, +∞) , f coincide coa funci´on polin´omica y = −x + 6, polo tanto f ´e continua tam´en neste conxunto.
S´o nos queda estudar a continuidade de f no punto xo = 2, pero como f non coinci- de cunha funci´on da que podamos afirmar a priori a s´ua continuidade en ning´un intervalo aberto que conte˜na a 2 , teremos que estudar a continuidade usando a definici´on.
Como l´ım x→ 2 −^
f (x) = l´ım x→ 2 −
(3x − 2) = 4, l´ım x→ 2 +^
f (x) = l´ım x→ 2 +
(−x + 6) = 4 e adem´ais f (2) = 4, ent´on f e continua en´ x 0 = 2. Daquela, f e continua en´ R.
- Sexa f (x) =
x^2 − 1 se x ≤ 0
−x^2 se x > 0
f e continua nos intervalos abertos´ (−∞, 0) e (0, +∞), por coincidir con funci´ons polin´omicas.
10 Grado en ADE: Matem´aticas
Consideremos agora o punto medio do intervalo, m = 12 , como f (^12 ) < 0 , o teorema de Bolzano (aplicado agora a f en [^12 , 1]) perm´ıtenos asegurar que existe c ∈ (^12 , 1) de xeito que f (c) = 0.
Temos localizada polo menos unha ra´ız da funci´on, o punto medio do intervalo [^12 , 1], m = 34 = 0, 75 e un-´ ha aproximaci´on dela cun erro inferior a 0 , 25. Se se quere dar unha mellor aproximaci´on, aplicamos o teorema de Bolzano a f no intervalo [^12 , 34 ], posto que f (^34 ) > 0 e f (^12 ) < 0 , de onde sabemos que existe c ∈ (^12 , 34 ) de xeito que f (c) = 0. Temos neste momento unha ra´ız do polinomio cun erro inferior a 18. Continuando este proceso obtemos cada vez mello- res aproximaci´ons da ra´ız buscada, pero se paramos aqu´ı dir´ıamos que o punto medio deste intervalo, 0 , 625 , ´e unha soluci´on da ecuaci´on x^3 + x − 1 = 0, cun erro inferior a 0 , 125.
Consecuencias do teorema de Bolzano son os teoremas dos valores intermedios e do punto fixo.
Teorema 24 (dos valores intermedios). Sexan f : I ⊂ R → R unha funci´on continua nun intervalo I ⊂ R e x 1 , x 2 ∈ I de maneira que f (x 1 ) 6 = f (x 2 ). Ent´on, se y 0 est´a entre f (x 1 ) e f (x 2 ), existe x 0 entre x 1 e x 2 tal que f (x 0 ) = y 0.
Teorema 25 (do punto fixo). Se f : [a, b] ⊂ R → [a, b] e unha funci´´ on continua en [a, b], ent´on existe c ∈ [a, b] verificando que f (c) = c.
Demostraci´on.-Se consideramos a funci´on continua g : [a, b] ⊂ R → R, g(x) = f (x) − x, temos que g(a) = f (a) − a ≥ 0 e g(b) = f (b) − b ≤ 0. Se alg´un destes valores ´e nulo, xa ter´ıamos atopado un valor c verificando que f (c) = c. En caso contrario, ´e dicir se g(a) > 0 e g(b) < 0 , o teorema de Bolzano aseguranos a existencia dun c ∈ (a, b) verificando que g(c) = 0 e, consecuentemente, f (c) = c.
Observaci´on. Calquera dos tres resultados enunciados asegura a existencia dun punto no dominio da funci´on verificando unha determinada propiedade, n´otese que ese valor pode non ser ´unico.
Exercicio 26. Fai unha interpretaci´on xeom´etrica dos teoremas dos valores intermedios e do punto fixo similar a pedida no exercicio 23 para o teorema de Bolzano.
1.8. Exercicios
- A funci´on h(x) = tg x toma valores de distinto signo nos extremos do intervalo [π 4 , 34 π ] e non se anula nel. ¿Contrad´ı isto o teorema de Bolzano?
- Demostra que o polinomio x^19 − 3 x^18 + 15x^6 − x^3 − 2 x − 3 ten, polo menos, unha ra´ız real.
- D´a, se ´e posible, unha funci´on f continua no intervalo [− 2 , 2] de xeito que f (−2) = 5, f (2) = − 5 e f non tome nunca o valor 1.
- Calcula, cun erro menor ca 0 , 05 , unha ra´ız de p(x) = x^3 − x^2 − 1.
- Unha persoa sae da s´ua casa ´as 8h para subir a un monte, chegando ´o cumio deste ´as 10h. Pasa al´ı o d´ıa e, ´a ma˜n´an seguinte, empeza o descenso (seguindo o mesmo cami˜no) ´as 8h, chegando a casa ´´ as 9h ... e asegurando que pasou por un certo punto do cami˜no os dous d´ıas ´a mesma hora. ¿ ´E iso posible? Razoa a resposta.
