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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCI ´ON
FACULTAD POLIT´ECNICA C ´ALCULO V - EJERCITARIO 5 - A ˜NO 2018
- Hallar el desarrollo en serie de Taylor centrado en z 0 = 0 de la funci´on:
f (z) =
z^2 + 4
Rta: f (z) =
∑^ ∞
n=
(−1)n^ z^2 n 4 n+^ (|z| < 2)
- Hallar el desarrollo en serie de Maclaurin de la funci´on f (z) =
z^4 + 9
Rta: f (z) =
∑^ ∞
n=
(−1)n^
z^4 n 32 n+^ (|z| <
- Deducir el desarrollo en serie de Maclaurin sen^3 z =
∑^ ∞
n=
(−1)n^ · 3(1 − 32 n)z^2 n+ 4(2n + 1)!
(|z| < ∞) de la funci´on f (z) = sen^3 z, utilizando la identidad
sen^3 z =
sen z −
sen 3 z
- Hallar el desarrollo en serie de Maclaurin de la funci´on f (z) = z e^2 z
Rta: f (z) =
∑^ ∞
n=
2 n−^1 (n − 1)! zn^ (|z| < ∞)
- Desarrollar la funci´on f (z) =
3 − z en potencias de z − 2 y la funci´on
f (z) =
1 + z en potencias de z − i
Rta:
∑^ ∞
n=
(z − 2)n^ (|z − 2 | < 1) y
∑^ ∞
n=
(−1)n^ (z − i)n (1 + i)n+^ (|z − i| <
- Deducir el desarrollo en serie de Maclaurin z^2 cosh (z^2 ) =
∑^ ∞
n=
z^4 n+ (2n)! (|z| < ∞)
de f (z) = z^2 cosh (z^2 )
- Hallar la representaci´on en serie de potencias de la funci´on f (z) =
(z − 3)(z − 2) en el dominio |z| < 2
Rta: f (z) =
∑^ ∞
n=
[(
)n+ −
)n+1] zn^ (|z| < 2)
- Hallar la representaci´on en serie de potencias de la funci´on f (z) = −
(z − 1)(z − 2) en cada uno de los sgtes. dominios:
a) |z| < 1 b) 1 < |z| < 2 c) 2 < |z| < ∞
Rta:
a) f (z) =
∑^ ∞
n=
(2−n−^1 − 1) zn^ (|z| < 1)
b) f (z) =
∑^ ∞
n=
zn 2 (n+1)^
∑^ ∞
n=
zn^ (1 < |z| < 2)
c) f (z) =
∑^ ∞
n=
(1 − 2 n−^1 ) zn^
(2 < |z| < ∞)
- Hallar la representaci´on en serie de potencias de la funci´on f (z) =
(z − 3) en cada uno de los sgtes. dominios:
a) |z| < 3 b) 3 < |z|
Rta:
a) f (z) = −
∑^ ∞
n=
zn 3 n+^ (|z| < 3)
b) f (z) =
∑^ ∞
n=
3 n zn+^ (|z| > 3)
- Hallar la representaci´on en serie de Laurent de la funci´on f (z) =
(2 − z)(1 + z) en cada uno de los sgtes. dominios:
a) |z| < 1 b) 1 < |z| < 2 c) 2 < |z|
Rta:
a) f (z) =
∑^ ∞
n=
[
(−1)n^ + 2−n−^1
]
zn^ (|z| < 1)
b) f (z) =
∑^ ∞
n=
zn 2 n+^
∑^ ∞
n=
(−1)n+ zn^ (1 < |z| < 2)
c) f (z) =
∑^ ∞
n=
(−1)n+1^ − 2 n−^1 zn^ (|z| > 2)
- Deducir el desarrollo en serie de Laurent
2 z − 1
∑^ ∞
n=
(1/2)n zn^ (|z| > 1 /2)
- En cada caso, evaluar la integral de f (z) sobre la cia. |z| = 3 orientada en sentido positivo.
a) f (z) =
z^4 + z^3 − 2 z^2 Rta: 0 b) f (z) = (3z + 2)^2 z(z − 1)(2z + 5) Rta: 9π i
c) f (z) = z^3 − z^2 + z − 1 z^3 + 4z Rta: − 2 π i d) f (z) = 4 − 3 z z^2 − z Rta:− 6 π i
- Evaluar cada integral, donde C es la cia. |z| = 2 orientada en sentido positivo.
18.1.
C
cot z dz Rta:2π i 18.2.
C
csc z dz Rta:2π i
C
tanh z dz Rta:4π i 18.4.
C
sech z z^2 dz Rta:
18.5.
C
sen z z^2 + 1 dz Rta:2πi senh 1 18.6.
C
sec z dz Rta:
C
(z + 1)^3 dz Rta:0 18.8.
C
ez^ − 1 dz Rta:2π i
Elaborado por: Lic. Mercedes Ruiz D´ıaz.
Revisado por: MSc. Teresa Alderete.
