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LOGICA MATEMÁTICA
Introducción
El lenguaje puede emplearse de distintas formas: para pedir algo, o para avisar a alguien, para describir algo que hemos visto o simplemente para expresar una sensación, como cuando gritamos al quemarnos. La lógica es un uso especial del lenguaje que está relacionado con el sentido y la exactitud de lo que decimos. En concreto, es la disciplina que estudia la estructura, fundamento y uso de las expresiones del conocimiento humano.
Aristóteles, que es considerado el pionero en el estudio de la Lógica y su creador en su forma clásica, la consideraba como el arte de la argumentación correcta y verdadera. A los libros que trataban los temas de lógica los tituló "Organon" , que significa "instrumento". Estos se centran en el estudio del silogismo , un conjunto de tres presupuestos o juicios que tienen entre sí la siguiente relación: el tercero se deriva -se deduce o concluye- de los dos primeros. A los dos primeros les llamamos "premisa" y al último le llamamos "conclusión". Un ejemplo clásico de silogismo es: "Todos los hombres son mortales; Sócrates es un hombre; por lo tanto, Sócrates es mortal".
Aristóteles era un filósofo griego
Nació en Estagira, Macedonia, en 384 adC y murió en Calcis en 322 adC
Cuando tenía dieciocho años se trasladó a Atenas para formarse como filósofo en la Academia de Platón, donde permaneció durante los siguientes veinte años. Tras la muerte de Platón, Aristóteles dejó Atenas y vivió durante algún tiempo en Asia Menor.
Posteriormente Filipo, rey de Macedonia, lo llamó a su corte y le encargó la educación de su hijo Alejandro. Poco después de iniciar Alejandro su reinado, Aristóteles regresó a Atenas y allí fundó su propia escuela, el Liceo, donde desplegó una importante labor de investigación y enseñanza en las distintas ramas del saber. Con la temprana muerte de Alejandro, Aristóteles , protegido suyo, tuvo que hacer frente al sentimiento antimacedonio que estalló en Atenas. Acusado de ateísmo, Aristóteles tuvo que exilarse y se refugió en Calcis (capital de la isla de Eubea), donde moriría al año siguiente, el 322 adC, a los 62 años de edad.
Siguiendo la definición clásica de lógica, podemos decir que se trata de la ciencia -o el estudio- que trata sobre los razonamientos correctos. Durante muchos siglos se desarrolló también un importante desarrollo sobre los razonamientos incorrectos o falacias, emitidos muchas veces con el ánimo de confundir el razonamiento o el debate con otros interlocutores.
La lógica, palabra derivada del griego clásico logos (la razón, principio que gobierna al Universo), son las reglas usadas para hacer deducciones creíbles.
Hoy en día, y gracias a los trabajos de un gran número de matemáticos y filósofos, entre los que podemos destacar a George Boole (1815-1864), G. Peano (1858-1932), Georg Cantor (1845- 1918), Gottlob Frege (1848-1925) y Bertrand Russell (1872-1970), se ha desarrollado la lógica simbólica o lógica formal, que se caracteriza por el uso de un lenguaje formal, símbólico, como el que se usa en las matemáticas, así como unas reglas estrictas de transformación entre distintas proposiciones. En ella podemos diferenciar tres ramas principales: Teoría sintáctica, Teoría semántica y Teoría axiomática.
Además de la lógica clásica (simbólica), actualmente existen unas lógicas llamadas divergentes como: la lógica difusa, lógica probabilística, lógica modal y lógicas no monótonas
La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una dueña de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.
La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.
El objetivo de la lógica es que el estudiante aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo y el método por contradicción. Ya que la mayoría de los libros comerciales únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí el estudiante aprende lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias exacta y por ejemplo será capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver n problema determinado.
Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautologías que el estudiante seleccione, pero definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.
La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
1.1 Proposiciones y operaciones lógicas.
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: p = q ∧ r
Representaremos todas las situaciones posibles y construiremos una tabla que resuma la ocurrencia de los casos
Q r (^) p = q ∧ r Tiene bencina el tanque
Tiene corriente la batería.
El auto parte cuando tiene bencina en el tanque y tiene corriente la batería.
Verdadero Verdadero
El auto parte cuando tiene bencina en el tanque y tiene corriente la batería.
Podemos concluir que esta afirmación es:
Verdadera
Verdadero Falso
El auto parte cuando tiene bencina en el tanque y no tiene corriente la batería.
Podemos decir entonces que el auto no es capaz de partir, luego la proposición es
Falsa
Falso Verdadero
El auto parte cuando no tiene bencina en el tanque y tiene corriente la batería.
Podemos decir entonces que el auto no es capaz de partir, luego la proposición es
Falsa
Falso Falso
El auto parte cuando no tiene bencina en el tanque y no tiene corriente la batería.
Podemos decir entonces que el auto no es capaz de partir, luego la proposición es
Falsa
Se puede notar que si q o r son falsos implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede partir.
En general diremos que si p y q son dos proposiciones, unidas por el conectivo “y” los valores de verdad se resumen en la sig uiente tabla y recibe el nombre de tabla de verdad.
p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F
2) Disyunción.
Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio del símbolo ∨ y se lee o.
Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”. Definamos las proposiciones:
p: Entra al cine.
q: Compra su boleto.
r: Obtiene un pase.
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: p = q ∨ r
Representaremos todas las situaciones posibles y construiremos una tabla que resuma la ocurrencia de los casos
q r La única manera en la que no puede ingresar al cine, es que no compre su boleto y que no obtenga un pase.
p =q ∨ r
Verdadero Verdadero
Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase
Verdadero
Verdadero Falso
Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u no obtiene un pase
Verdadero Falso Falso
Falso Verdadero
No salió electo Presidente de la República entonces recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año
Verdadero
Falso Falso
No salió electo Presidente de la República entonces no recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año
Verdadero
La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:
Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior. Cuando p = Verdadero; significa que salió electo, q = Verdadero y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p → q =Verdadero; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p = Verdadero y q = Falso significa que p→ q = Falso; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p = Falso y q = Verdadero significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que p → q =Verdadero.
Por lo tanto la tabla de verdad del condicional está dada por:
p q p → q V V V V F F F V V F F V
4) Proposición bicondicional.
Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera: p ↔ q. Se lee “p si sólo si q”
Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es.
Ejemplo. Considere el enunciado siguiente:“Es buen estudiante si y solo si tiene promedio siete”
Donde: p: Es buen estudiante.
q: Tiene promedio de siete.
La proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas.
5) Negación.
Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador no se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se
representa por medio de los siguientes símbolos:∼p , ¬p, p
Ejemplo.
La negación de está lloviendo en este momento (p=Verdadero), es no está lloviendo en este momento (∼p=Falso)
p (^) ∼p Verdadero Falso Falso Verdadero
Ahora representaremos con notación lógica enunciados más complejos. Por ejemplo: El enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar matemáticas o no aprobaré el curso”. Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:
Sean las proposiciones:
p: Hoy es domingo.
q: Tengo que estudiar matemáticas.
r: Aprobaré el curso.
p ∧ q ∨ r
p q p ↔ q
Verdadero Verdadero
Es buen estudiante si y solo si tiene promedio siete
Verdadero
Verdadero Falso
Es buen estudiante si y solo si no tiene promedio siete
Falso
Falso Verdadero
No es buen estudiante si y solo si tiene promedio siete
Falso
Falso Falso
No es buen estudiante si y solo si no tiene promedio siete
Verdadero
Como asegurarse que aparezcan todas ellas, la regla dice: para la primera proposición en la primera columna de su tabla escriba 4 veces Verdadero y luego 4 veces falso (también puede hacerlo al revés)
p V V V V F F F F p F F F F V V V V
Para la segunda proposición, supongamos q escriba los valores de vedad de dos en dos, es decir, 2 verdaderos y dos falsos hasta completar la columna (o al revés dos falsos y luego dos verdaderos)
p q V V V V V F V F F V F V F F F F
Para la tercera proposición, supongamos r escriba los valores de vedad de uno en uno, es decir, un verdadero y un falso hasta completar la columna (o al revés un falsos y luego un verdadero)
p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
Con cualquiera de las tablas que trabaje, siempre obtendrá todas las combinaciones de valores de verdad
Retomando el ejemplo: [(p→q)∨ (∼q∧r) ] ↔ (r→q)
La siguiente pregunta es por donde partir determinando los valores de verdad, la respuesta es por los paréntesis, para ello primero resolveremos (p→q)
p q r (^) p→q V V V V V V F V V F V F V F F F F V V V F V F V F F V V F F F V
p q F F F F F V F V V F V F V V V V
p q r F F F F F V F V F F V V V F F V F V V V F V V V
1. 3 Tautología y contradicción.
Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta o verdadera para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.
Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre Verdadero. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.
A continuación citaremos una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales.
Teoremas del álgebra proposicional
1)Si p es una proposición entonces:
a) b) c) d)
- Si es una proposición, entonces.
a) (principio de identidad) b) (principio de (no) contradicción) c) (principio de tercero excluido) d) (doble negativo, doble negación) e) f)
- Si son proposiciones, entonces
a) (simplificación) b) (adición)
p q ∼p ∼q p→q ∼q→∼p (p→q)↔(∼q→∼p) V V F F V V V V F F V F F V F F V V V V V F V V F V V V
- Si son proposiciones, entonces.
a) (conmutatividad) b) (conmutatividad)
- Si son proposiciones, entonces
a) (asociatividad). b) (asociatividad). c) (distributividad ). d) (distributividad).
- Si son proposiciones, entonces.
a) (Ley de De Morgan) b) (Ley de De Morgan)
- Si son proposiciones, entonces
a) b) c) (contra-reciprocidad, contraposición)
- Si son proposiciones, entonces
a) b) c)
- Si son proposiciones, entonces.
a) (absorción). b) (absorción).
- Si son proposiciones, entonces
a) (exportación) b)
Ejemplo. Demostrar
Demostración:
1.3.1 Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es p∧p’. Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.
p ∼p p∧∼p F V F V F F
Consideremos la proposición: p: La puerta es verde.
La proposición p∧∼p equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.
Una proposición compuesta cuyos resultados en sus diferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado Verdaderos y Falsos se le llama contingencia.
1.3.2 Equivalencia lógica.
Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p ≡ q.
Un el ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p→q) y (∼q→ ∼p) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p →q) ≡ (∼q→∼p)
Ejemplo: Supongamos ahora que desea simplificar la expresión:
para ello debe recurrir a los teoremas antes enunciados.
Se procede como sigue, entendiéndose que cada paso es una equivalencia
(usaremos absorción):
p q (^) ∼p ∼q p→q ∼q→∼p (p→q)↔(∼q→∼p) V V F F V V V V F F V F F V F F V V V V V F V V F V V V
Note la interesante aplicación de la ley de absorción en los últimos pasos. (Si se sigue trabajando sin ella, el ejemplo, en lugar de simplificarse, crecerá bastante, línea a línea).
Es muy interesante aprender a mirar ocasionalmente una proposición de modo que la regla de substitución evite una cantidad de cálculos sin mayor provecho.
Ejercicios
Sean p:”El es amable'' y q: “El es inteligente''. Describir con un enunciado verbal las siguientes aserciones:
~ p Solución: El no es amable
p v q Solución: El es amable o inteligente
p ∧ q Solución: El es amable e inteligente
q ⇔ p Solución: El inteligente si y sólo si es amable
p ⇒ ~ q Solución: Si el es amable entonces no es inteligente
q ∧ ~ p Solución: El es inteligente y no es amable.
~ p v ~ q Solución: El no es amable o no es inteligente
p ⇔ ~ q Solución: El es amable si y sólo si no es inteligente
~ ~ q Solución: El es inteligente
(p v ~ q) ⇒ p Solución: Si el es amable o no es inteligente entonces es amable.
Construya tablas de verdad para las siguientes frases lógicas:
i) (p ⇒ q) ∧ (~ q v r) ii) ((p ∧ r) ⇔ [p ⇒ q] ⇔ r) iii) ~ (p ∧ q) v ~(r ⇔ q)
- ¿ Qué condiciones debe satisfacer p y q para que la siguiente proposición sea :
a) [ ( q ⇔ p ) ∧ ∼ q ] ⇒ ( p ∧ ∼ q ) Falsa b) [ (∼ p ⇒ q ) ⇒∼ r ] v [ ∼ q ⇒r ] Falsa c) { ~p ∧ ( p v q ) } ∧ [ p ⇔ q ] Verdadera
- Cuál de las siguientes expresiones son lógicamente equivalentes a (∼ p v ∼ q ) ∧ r
a) p ⇒ ( ∼ q ∧ r )
Solución: Transformando el implica se tiene ∼p v ( ∼ q ∧ r ) aplicando distributividad se tiene (∼p v ∼ q) ∧ ( ∼p v r ) por lo tanto no es equivalente a la proposición dada.
b) ( p ⇒ q ) ∧ r
Solución: Transformando el implica se tiene (∼p v q) ∧ r por lo tanto no es equivalente a la proposición dada.
c) ( p ⇒ ∼ q ) ∧ r
Solución: Transformando el implica se tiene (∼p v ∼q) ∧ r por lo tanto si es equivalente a la proposición dada.
d) p ⇒ ( q v r )
Solución: Transformando el implica se tiene ∼p v (q ∨ r ) por lo tanto no es equivalente a la proposición dada.
- Si la proposición “p” es verdadera y la proposición “q” es falsa , entonces de las siguientes afirmaciones es ( son ) correcta ( s ):
a) p ⇒ q es un proposición verdadera
Solución p q p →q V F F Por lo tanto la afirmación no es correcta.
b) p ⇔ q es un proposición falsa
Solución p q (^) p ↔ q V F F
Por lo tanto la afirmación es correcta
c) ∼p v q es un proposición verdadera.
Solución p q ∼p ∼p ∨ q V F F F
Por lo tanto la afirmación no es correcta
- La negación de la proposición p v q es :
a) ∼p v q b) ∼p ∧ ∼q c) ∼p v ∼q
Solución la respuesta correcta es b)
- Si p y q son dos proposiciones distintas, si p v q es falsa entonces cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera.
a) p es verdadera y q es falsa b) p es verdadera y q es verdadera c) p es falsa y q es falsa d) p es falsa y q es verdadera e) Ninguna de las anteriores
Solución: p v q es falsa si y sólo si p y q son falsas luego la respuesta correcta es c)
- Dada la proposición p = " Todos los hombres son altos" , q = Hay hombres morenos, escriba la negación de la proposición ∼q ∨ p en lenguaje lógica y en lenguaje natural.
Solución
Primero se debe negar la proposición dada, usando las leyes de De Morgan: ∼(∼q ∨ p) ≡ q ∧ ∼p En lenguaje natural Hay hombres morenos y no inteligentes.
- Si la proposición p es verdadera ( V ) y la proposición q es verdadera ( V ). De las expresiones siguientes cuál (es) es(son) correcta(s) :
