¡Descarga Lógica proposiciones y más Apuntes en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity!
LOGICA PROPÒSICIONAL
LÓGICA. - Es el estudio de los métodos que aplican definiciones y leyes con el propósito de determinar la validez o invalidez del razonamiento. En la lógica, debemos considerar los conceptos siguientes: ENUNCIADO. - Es la frase u oración que utilizamos en el lenguaje común. Aplicaciones:
- Entrañable amigo. Mi caballo es un hermoso sayno.
- 3 +12 < 8 ¿Tienes frío?
- Tardes de lluvia de mi linda tierra. El cuadrado tiene cuatro lados iguales. Dentro de los enunciados consideramos a: ENUNCIADO CERRADO.- Mas conocido como PROPOSICIÓN LÓGICA o simplemente PROPOSICIÓN, es una expresión coherente que se caracteriza por el hecho de poseer un único valor de verdad (V) o falsedad (F), en un determinado contexto. Aplicaciones:
- Juanito es un buen jinete.
- La carretera Sicuani – Cusco está totalmente asfaltada.
- 3 + 9 = 25
- Esta noche está muy lluviosa y frígida. Algunas exclamaciones:
- ¿Cómo te llamas?
- ¡Viva el Perú ¡
- ¿Vienes mañana a ver a mamá?
- Rafael, ayúdame. VARIABLES LÓGICAS. - En el lenguaje de la lógica los enunciados cerrados o proposiciones se denotan por lo general con las siguientes letras del alfabeto: p, q, r, s, t, etc. Aplicaciones:
- p: Martín es Cusqueño.
- q: 6 + 8 = 14
- r: El perro murió con rabia. ENUNCIADO ABIERTO.- Son expresiones que contienen variables y que no tienen la propiedad de ser verdadero o falso. Aplicaciones:
- x + 4 = 5, Es un enunciado abierto en la variable “x”
- x + y > 10, Es un enunciado abierto en las variables “x” e “y”
- Él tiene muchísimo dinero. Es un enunciado abierto en la variable él.
- Ella toma bastante leche. Es un enunciado abierto en la variable ella.
N Noo ssee ccoonnssiiddeerraann pprrooppoossiicciioonneess aa llaass pprreegguunnttaass,, eexxccllaammaacciioonneess,,
ó órrddeenneess,, iimmpprreessiioonneess,, ddeesseeooss,, sseennttiimmiieennttooss oo aallggoo qquuee nnoo iinnddiiqquuee uunnaa
v veerrddaadd oo ffaallsseeddaadd..
TTooddaa^ pprrooppoossiicciióónn^ eess^ uunn^ eennuunncciiaaddoo^ ppeerroo^ nnoo^ ttooddoo
eennuunncciiaaddoo^ eess^ pprrooppoossiicciióónn..
OBSERVACIONES
En un enunciado abierto las variables representan a personas u objetos no especificados. Cuando la variable es reemplazada por un objeto (valor) específico, el enunciado se convierte en una proposición CLASES DE PROPOSICIONES.- Existen dos clases de proposiciones: 1º.- PROPOSICIÓN SIMPLE O ATÓMICA.- Son aquellas que están compuestas de una sola proposición. Así:
- p: Juanito tiene un par de zapatos nuevos.
- q: El clima está muy cambiado.
- r: 32 – 12 = 25
- s: el triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. CONECTIVOS LÓGICOS.- Son aquellas palabras o símbolos que enlazan proposiciones simples, sin formar parte de ellas. Los más conocidos son: Sean “p” y “q” las proposiciones: SÍMBOLO OPERACIÓN LÓGICA ESQUEMA SIGNIFICADO Negación p no p
^ Conjunción^ p^ q p y q
^ Disyunción^ p^ q p o q
Condicional p q si p entonces q
Bicondicional p^ q p si y sólo sí q
2º.- PROPOSICIÓN COMPUESTA O MOLECULAR.- Viene a ser la combinación de dos o más proposiciones simples, enlazados por medio de conectivos. Aplicaciones:
- Emilio trabaja y Lucas estudia.
- Si 3+ 6 = 9 entonces 9 – 3 = 6.
- Calisto tiene recreo si y solo si hizo la tarea.
- Simón es agricultor o ganadero. Las proposiciones compuestas se pueden clasificar de acuerdo a su conectivo lógico:
1º.- CONJUNTIVAS () .- La conjunción es el resultado de unir dos o mas proposiciones con el
conectivo “y”. 5 es menor que 15 y 10 es múltiplo de 5
p q
p q
Tabla de verdad de la conjunción p q p^ q V V F F
V
F
V
F
V
F
F
F
4º CONDICIONAL ( ) .- Es la operación que vincula dos proposiciones mediante el conectivo
condicional si …… entonces…. , la proposición resultante se llama proposición condicional.
- “Si un animal es mamífero entonces es un vertebrado” p (antecedente) q (consecuente) Tabla de verdad de condicional
p q p^ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Observe que la condicional es falsa solamente cuando el antecedente es verdadero y la consecuente es falsa, siendo verdadero en todos los demás casos. Sinónimos de la condicional .”Si ..., entonces…”, ”luego” “por ello”, “por ende”, ”por lo tanto”, ”en conclusión”, “por consiguiente”, ”en consecuencia” Ejemplo:
- “Pablucha es Cusqueño por consiguiente es Qosqoruna”: p q
5º BICONDICIONAL ( ).- Es la proposición que vincula dos proposiciones mediante el conectivo “si y
solo si”. “Fernando comprará un automóvil si y solo si obtiene un préstamo de la cooperativa”
p q
Tabla de la verdad bicondicional
P Q p^ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
De donde se puede observar que la bicondicional es verdadera cuando las proposiciones componentes tienen el mismo valor veritativo, en otros casos es falso. Sinónimos de la bicondicional “si y solo si”, “siempre y cuando” “cuando y solo cuando” “entonces y solo entonces”, “es una condición necesaria y suficiente”
PARA REFORZAR:
Subraya en el texto las proposiciones y conectivos lógicos.
“Aquella mañana esperaba la combi más tiempo de lo normal, se propuso o bien
esperar en el paradero de siempre o caminar un poco más allá donde se encontraban
otras personas, sin embargo, no pudo concretar la acción porque un bus apareció en
ese instante.
“Cóbrate” le dijo al joven que ayudaba y éste le recibió el billete sin darle el vuelto.
Cansado de esperar tuvo que decirle “si no me das mi vuelto ahora me bajo del carro”,
pero quedó sorprendido cuando el cobrador le respondió “usted se queja sin motivos,
sin embargo yo no le diré nada pues ya le entregué el vuelto”. No podía soportarlo más,
estaba por increparle cuando metió la mano al bolsillo para demostrarle que no había
recibido el vuelto, sin embargo, ahí estaban las monedas”
UTILIZACIÓN DE LAS TABLAS DE VERDAD: Las tablas de verdad pueden servir como un método para demostrar la validez o contradicción de una proposición compuesta o inferencia. TAUTOLOGÍA : Es cuando en la matriz principal todos los valores son verdaderos. CONTRADICCIÓN : Es cuando en la matriz principal todos los valores son falsos. CONTINGENCIA : Es cuando en la matriz principal los valores son verdaderos y falsos. Por ejemplo: “Si Julio nació en Combapata entonces es Canchino. Pero, Julio no es Canchino. Por lo tanto, no nació en Combapata” p: Julio nació en Combapata q: Julio es Canchino. Simbolizando tenemos: p q ~ q ~ p Empleamos la tabla: p q p q ~ q ~ p V V V F F V F F
V F F
F F V
V F F
V V V
V
V
V
V
F
F
V
V
Se observa que los valores son verdaderos, por lo que representa una tautología y queda demostrada la validez de la inferencia propuesta. ACTIVIDADES
AHORA TE TOCA A TI DISTRAERTE RESOLVIENDO LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
1. Aplicando tu razonamiento lógico, desarrolla las siguientes situaciones. a. En un campo triangular se plantan un árbol en cada vértice y cinco en cada lado. ¿Cuántos árboles se plantaron? b. Divide la figura en cuatro partes y que tengan los mismos tamaños y las mismas formas que la original.
PARA REFORZAR:
Utilice las tablas de verdad para comprobar si existe validez, contradicción o contingencia en las
siguientes proposiciones:
a) p q q ~ q b) ~ p q p
Ahora simbolice las siguientes proposiciones y compruebe si son válidas empleando las tablas:
a) “Ángel estudia y trabaja, excepto que trabaja. Pero no trabaja”
b) Si me aumentan el sueldo entonces viajo al Cusco, sin embargo, hoy me aumentaron el
sueldo. Por lo tanto, viajo al Cusco.
b) Karina ama a Alan c) San Pedro no está en el departamento del Cusco d) No es verdad que hoy no sea sábado
3. Simboliza las siguientes proposiciones Proposiciones Simbolizaciones Si el río Salado esta contaminado entonces no hay truchas en abundancia. No es cierto que Cusco sea la capital del Perú y este en Europa Hoy es miércoles pero no jueves, entonces hoy no es feriado si y sólo si hoy es feriado, entonces no es verdad que hoy es miércoles y no es jueves Si te prepararas hoy, triunfaras en la evaluación. El Ministerio de Educación te brindará beneficios 4. Determinar si las proposiciones [ p → (r v ~q) ] y [ (q→ ~p) v (~r → ~p) ] son equivalentes. 5. De la falsedad de la proposición: (p → ~q) v (~r → s) determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares: a) (~p Λ ~q) v ~q b) (~r v q) ↔ (~q v r) Λ s 6. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) Lima es la capital del Perú y Bolivia se encuentra ubicada en América del Sur. b) Si 2 > 1 , entonces 3 > 2 ó 21 < 5 c) 24 es un número par y 42 es un número impar d) Si Bolivia limita con el Perú, entonces Perú limita con Chile. 7. Si p: “José vendrá”, q: “José ha recibido la carta” y r: “José está interesado todavía en el asunto”. Simbolizar los siguientes enunciados: “José vendrá, si ha recibido la carta, siempre que esté interesado todavía en el asunto”. “O José vendrá porque ha recibido la carta o no está interesado todavía en el asunto”. “José vendrá si y solo si ha recibido la carta o vendrá porque está interesado en el asunto”. “José vendrá y está interesado todavía en el asunto”. 8. Considerar las funciones proposicionales siguientes: P(x) : x es un numero irracional Q(x) : x es un divisor de 21 R(x) : x es primo Hallar el valor de verdad de: [ ~P(4) →Q(9)] v R(7) 9. Evaluar el siguiente esquema molecular: (p q) (p r) 10. Si se conoce que: (q r) p es FALSA Determinar el valor de verdad de: (r p) (p r)
11. Si es falsa, entonces indique el valor de verdad de las siguientes expresiones proposicionales:
I)
II)
III) (p⟶ q)
12. Si se sabe que: p#q= [ evaluar el esquema A≡[(p⇾q)#(q )]↔(q#p) a) Contradicción b) Contingencia c) Tautología d) Ninguno 13. Sean las proposiciones:
P: Hoy es domingo; q: Maria va al cine
Simboliza el siguiente enunciado: “Si hoy no es domingo, Maria va al cine. Maria no va al cine, en consecuencia, Maria va al cine”
14. Determinar si los esquemas A= y B= son:
a) Equivalentes b) no equivalentes c) Ninguno d) Ambivalentes
15. Usando las leyes lógicas simplifica la siguiente formula:
{[(p˅q)˅(p˄q)] ˅ } ˄ q
16. Transformar la siguiente proposición compuesta:
E=( )Δ( ) a su equivalente condicional más simple
