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Escuela Polit´ecnica Nacional
Departamento de Formaci´on B´asica
Curso de Fundamentos de Matem´atica
Ejercicios resueltos y propuestos de L´ogica matem´atica
C´atedra de Fundamentos de Matem´atica
Semestre 2022 - B
1 Ejercicios resueltos
1. Seg´un la sintaxis de la l´ogica, indique cu´ales de los siguientes literales representan
proposiciones y cu´ales no. Adem´as, explique el por qu´e.
(a) A
(b) A ⇒ ¬C
(c) A ⇔ (¬C ∨ B)
(d) ¬(A ⇔ B)¬C
(e) ⇒ (B ∧ ¬C )
(f) A m ¬B
Soluci´on. Observemos cada una de las expresiones propuestas:
(a) Para este caso, A s´ı representa una proposici´on porque, por la regla 1, las letras may´usculas del alfabeto espa˜nol se utilizar´an como signos para representar proposiciones. (b) Por la regla 3 literal a, ¬C representa una proposici´on, la negaci´on de C ; luego como A repre- senta una proposici´on por la regla 1, A ⇒ ¬C representa una proposici´on por la regla 3 literal b. La proposici´on estudiada es la implicaci´on de A y la negaci´on de C. (c) A ⇔ (¬C ∨ B) representa una proposici´on. Como vimos, A , C y B son proposiciones por regla 1. Ahora, ¬C es una proposici´on por regla 3 literal a; luego (¬C ∨ B) es una proposici´on. Finalmente, A ⇔ (¬C ∨B), que se lee la doble implicaci´on de A y, la disyunci´on de la negaci´on de C y B, representa una proposici´on por regla 3 literal b y regla 5. N´otese que la regla 5 es importante ya que sin par´entesis habr´ıa la ambig¨uedad de que si la proposici´on fuese (A ⇔ ¬C ) ∨ B o A ⇔ (¬C ∨ B). (d) Siendo ¬(A ⇔ B) y ¬C proposiciones, la regla 3 literal b nos dice que las conectivas con- junci´on, disyunci´on, implicaci´on y doble implicaci´on se escriben entre proposiciones, pero no la conectiva negaci´on ¬, la cual se escribe solamente como prefijo de una proposici´on. Por lo tanto, ¬(A ⇔ B)¬C no representa una proposici´on, ya que esta faltando una de estas conectivas entre ¬(A ⇔ A ) y ¬C. (e) No representa una proposici´on porque la ´unica conectiva que se sit´ua como prefijo de una proposici´on y no entre proposiciones es la negaci´on. (f) A m ¬B no representa una proposici´on debido a que m no ha sido definida como una conectiva.
2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
(a) B ∧ ¬B
(b) A ⇔ C si el valor de verdad de A es v y de ¬C es v.
(c) B ⇒ (¬A ∨ C ) si el valor de verdad de A es f.
Soluci´on. (a) El valor de verdad de esta proposici´on es siempre f, sin importar el valor de verdad de la proposici´on B. Esto es debido a que si B es v, por el axioma de la negaci´on, ¬B es f, y si B es f, ¬B es v. Por lo tanto, por el axioma de la conjunci´on, siempre B ∧ ¬B ser´a f. (b) Como el valor de verdad de ¬C es v, por el axioma de la negaci´on, R es f. Luego por el axioma de la doble implicaci´on , como A y C tienen valores de verdad opuestos, la proposici´on A ⇔ C es f. (c) Si el valor de verdad de A es f, por el axioma de la negaci´on, ¬A es v. Luego, independien- temente del valor de verdad de C , como ¬A es v se tiene que (¬A ∨ C ) es v. Esto, por el axioma de la disyunci´on. Ahora, como el consecuente es v, independientemente del valor de verdad del antecedente B, la proposici´on B ⇒ (¬A ∨ C ) es v, por el axioma de la implicaci´on.
3. Identifique las proposiciones mediante las que se expresa la siguiente proposici´on:
Si f es un sistema de coordenadas para la recta l, entonces −f tambi´en es
un sistema de coordenadas para l.
Soluci´on. La proposici´on est´a expresada mediante las proposiciones
i) f es un sistema de coordenadas para la recta l; y ii) −f tambi´en es un sistema de coordenadas para l
y las palabras si, entonces y la coma:
Si f es un sistema de coordenadas para la recta l, entonces−f tambi´en es un sistema de coordenadas para l.
En la teor´ıa de la l´ogica que estamos estudiando, podemos expresar simb´olicamente la proposici´on de este ejemplo de la siguiente manera. Si A representa la proposici´on
f es un sistema de coordenadas para la recta l,
B representa
−f tambi´en es un sistema de coordenadas para l,
y las palabras si, entonces y la coma , se representan mediante la conectiva ⇒, entonces la proposici´on dada se representa as´ı: A ⇒ B.
4. ¿Los siguientes signos representan una proposici´on?
(A ⇒ (¬C ∨ D)) ∧ B
y la segunda proposici´on es
la conjunci´on de las negaciones de x=4 y x=-
lo cual cumple la forma de la Ley De Morgan para la negaci´on de la disyunci´on. Si representamos las proposiciones por A y B respectivamente:
i) x=4 ; ii) x=-2 ;
la proposici´on ¬(x = 4 ∨ x = −2) se puede simbolizar as´ı ¬(A ∨ B) y, la proposici´on ¬(x = 4) ∧ ¬(x = −2) se simboliza ¬A ∧ ¬B de nuevo, por la Ley De Morgan de la disyunci´on se conoce que
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
lo cual afirma que las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad verdadero.
7. Describa cu´al es la forma de la tautolog´ıa Modus Ponens
((A ⇒ B) ∧ A ) ⇒ B.
Adem´as, escriba otra proposici´on que tenga esa misma forma.
Soluci´on. Su “forma” es la implicaci´on de:
i. la conjunci´on de la implicaci´on de dos proposiciones y el antecedente de esta implicaci´on; y ii. el consecuente de la implicaci´on.
Otra proposici´on que tenga la misma forma ser´ıa:
((¬D ⇒ A ) ∧ ¬D) ⇒ A
8. Describa cu´al es la forma de la tautolog´ıa Implicaci´on-disyunci´on
(A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B)
Adem´as, escriba otra proposici´on que tenga esa misma forma.
Soluci´on. Su “forma” es la doble implicaci´on de:
i. la implicaci´on de dos proposiciones; y ii. la disyunci´on de la negaci´on del antecedente y del consecuente.
Otra proposici´on que tenga la misma forma ser´ıa:
((D ∨ C ) ⇒ ¬B) ⇔ (¬(D ∨ C ) ∨ ¬B)
9. Se dice que las conectivas conjunci´on y disyunci´on son conmutativas porque las pro-
posiciones
(A ∧ B) ⇔ (B ∧ A ) y (A ∨ B) ⇔ (B ∨ A )
son tautolog´ıas. ¿Se podr´ıa decir que la conectiva implicaci´on tambi´en es conmutativa?
Soluci´on. No; no podemos decir que la conectiva implicaci´on es conmutativa. En efecto, es f´acil ver que la proposici´on
(A ⇒ B) ⇔ (B ⇒ A )
no es una tautolog´ıa. Basta con que el valor de verdad de A sea v y el de B, f. En este caso, por el axioma de la implicaci´on, el valor de verdad de A ⇒ B es f y el de B ⇒ A , v. En otras palabras, los valores de verdad de las proposiciones
A ⇒ B y B ⇒ A
no son, necesariamente, iguales para los mismos valores de verdad de A y de B. Debe estar claro que si A y B tienen el mismo valor de verdad, entonces ambas implicaciones s´ı tienen el mismo valor de verdad. A la proposici´on B ⇒ A se le conoce como la rec´ıproca de la proposici´on A ⇒ B. Luego, como hemos visto, la rec´ıproca de una implicaci´on no tiene, necesariamente el mismo valor de verdad que la implicaci´on.
10. Si la proposici´on
(A ⇒ B) ⇒ (B ∨ C )
es falsa. Determine los valores de verdad de A , B y C.
Soluci´on. Como la implicaci´on de A ⇒ B y B ∨ C es falsa, por el axioma de la implicaci´on podemos asegurar que A ⇒ B es verdadera y B ∨ C es falsa. Luego, si B ∨ C es falsa, por axioma de la disyunci´on podemos decir que B y C son proposiciones falsas. Finalmente, como A ⇒ B es verdadera y se conoce que B es falsa, del axioma de la implicaci´on se puede concluir que A solo puede ser falsa. Es decir, A es f ,B es f y C es f.
12. ¿Cu´al es la forma de la tautolog´ıa Negaci´on de la implicaci´on:
¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B)?
13. Complete la siguiente tabla de verdad:
P B B ⇒ P ¬(B ⇒ P) P ∨ B ¬(B ⇒ P) ⇔ (P ∨ B)
f v v v v
v f v v
v v v f
f f v f f v
y justifique cada uno de los valores de verdad que ubique en la tabla.
14. Identifique los errores en la siguiente tabla de verdad
P B ¬B B ∧ P P ⇒ ¬B (P ⇒ ¬B) ∧ (B ∧ P)
v f v f v f
v v f f f f
f v v v f f
f f v f v v
15. Si P es f y T es v,
a) ¿cu´al es el valor de verdad de ¬P ∨ T?
b) ¿cu´al es el valor de verdad de ¬T ∨ P?
c) ¿cu´al es el valor de verdad de (P ∧ T ) ∨ ¬T?
16. Si P, T y R son proposiciones, determine el valor de verdad de la proposici´on
P ⇒ (T ∨ ¬R)
si R es falsa.
17. Sean A , B, C y D son proposiciones. Si el valor de verdad de la proposici´on
(B ⇔ C ) ∨ D
es falso y el valor de verdad de la proposici´on
¬A ⇒ (B ⇔ C )
es verdadero. Determine el valor de verdad de la proposici´on
(¬D ⇔ A ) ∧ ¬(B ⇔ C ).
Justifique su respuesta.
18. Si el valor de verdad de la proposici´on A ⇒ (B ∨ C ) es falso, determine el valor de verdad
de la siguiente proposici´on
(A ∧ B) ∨ ¬C
⇒ (¬A ⇔ B),
Justifique su respuesta con los axiomas de valor de verdad. No utilice tablas de verdad.
19. Si el valor de verdad de la proposici´on
(R ⇔ T ) ∧ ¬
S ⇒ (R ∨ T )
es verdadero, determine el valor de verdad de la proposiciones R, S y T.
20. Si se indica que la proposici´on
(A ⇒ B) ∧ ¬B
⇒ ¬A
es falsa, ¿cu´al ser´ıa el inconveniente con esta afirmaci´on?.
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