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Lógica y Proposiciones
Tema 0.- Introducción. Lógica es el estudio del Razonamiento; y de poder evaluar si este razonamiento es correcto o no. El razonamiento es evaluado con expresiones, las cuales pueden ser FALSAS o VERDADERAS ; y en base a esto es posible determinar si un razonamiento es correcto o no lo es. Suponga las siguientes expresiones. a) Todos los programadores son inteligentes b) Cualquiera que sea inteligente es introvertido c) Por lo tanto, todos los programadores son introvertidos ¿ Como podemos aplicar la Lógica para saber si el razonamiento aplicado, el cual es expresado en la tercera expresión es correcto? Primeramente debemos de aprender que con la Lógica NO ES POSIBLE determinar si las 2 primeras expresiones son VERDADERAS ; pero si nos ayuda a saber si el RAZONAMIENTO utilizado para realizar la IMPLICACIÓN o la DEDUCCIÓN de la tercera expresión es VERDADERA o FALSA. En un planteamiento como el anterior; si NOSOTROS determinamos que las 2 primeras expresiones son VERDAD la Lógica NOS PERMITE determinar que la TERCERA también lo es. En el ejemplo anterior; NOSOTROS sabemos que: a) Todos los Programadores son inteligentes; es VERDAD b) Cualquiera que sea inteligente es introvertido; es FALSA La Lógica nos dice que si las 2 expresiones anteriores son VERDAD ; entonces la Tercera es VERDAD. Como la segunda es FALSA ; entonces la Lógica nos permite DEDUCIR o IMPLICAR que: c) Todos los programadores son introvertidos; es FALSA. Otro ejemplo. jaor
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a) Las Halcones son Aves b) Las Aves tienen Alas c) Por lo tanto los Halcones tienen Alas En el ejemplo anterior: a) Los Halcones son Aves; es VERDAD b) Las Aves tienen Alas; es VERDAD c) Por lo tanto , los Halcones tienen ALAS; es VERDAD En las 2 primeras expresiones, NOSOTROS DETERMINAMOS que son VERDAD. La DEDUCCIÓN o IMPLICACIÓN de la tercera expresión; puede ser determinada por la Lógica; sin que intervengamos nosotros. Si las 2 expresiones previas son VERDAD , entonces la tercera expresión es VERDAD. Veamos otro ejemplo: a) 10 es mayor que 8 b) 8 es mayor que 5 c) Entonces, 10 es una letra El anterior ejemplo, sirve para demostrar que las expresiones utilizadas en el Razonamiento; tienen que tener relación; y que la Implicación final, debe estar relacionada con las 2 expresiones anteriores. En el ejemplo anterior, las 2 expresiones iniciales son VERDAD , pero la implicación no está relacionada con estas 2 expresiones; por lo que no podemos determinar si la Implicación es FALSA o VERDADERA ; en base a las 2 expresiones anteriores. Ejercicios: Evalúe las siguiente expresiones, y determine si el Razonamiento aplicado al final es correcto; o si es un razonamiento que no puede aplicarse en base a las expresiones. 1.- a) 10 es mayor que 8 jaor
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algo que puede ser VERDAD o FALSO. Observemos las siguientes expresiones a) El Sol está fuerte b) La Luna es Redonda c) Vete a dormir d) Has descansado bastante e) Reloj, no marques las horas. f) ¿ Mañana es Viernes? g) Hoy es Lunes h)! Que Felicidad! i) Las Rocas Las expresiones a), b), d), y g) son expresiones declarativas que pueden tener el valor de VERDAD o FALSO ; por lo cual podemos determinar que son Proposiciones o Declaraciones. Las expresiones c), e), f), h) e i) no son Proposiciones ; ya que no pueden evaluarse como VERDADERAS o FALSAS. Si observamos; estas son son órdenes, preguntas, exclamaciones o expresiones sustantivas. “Las órdenes, preguntas, exclamaciones o expresiones sustantivas; no pueden ser evaluadas como VERDAD o FALSO .” Si nosotros cambiáramos “un poco” la expresión e) de la siguiente forma: e) El Reloj no marca las horas Entonces, ya sería un Proposición que pudiéramos determinarle el valor de VERDAD o FALSO. A las anteriores Proposiciones se les conoce como Proposiciones Primitivas o Simples. “Una Proposición es Primitiva cuando no es posible separarla en varias Proposiciones Primitivas” jaor
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Proposiciones Compuestas. Una Proposición Compuesta , es aquella que está formada por mas de una Proposición Simple, las cuales se encuentran unidas por las palabras “y”, “o”; las cuales son conocidas como Conectivos. Ejemplos: a) Juan es alto y moreno b) El día está Soleado y tranquilo. c) María está estudiando o trabajando y es bella. d) Juan está trabajando y María está estudiando e) La Noche es fresca, obscura y silenciosa. Analicemos: a) Juan es alto y moreno; está formada por:
- Juan es alto
- Juan es Moreno b) El día está soleado y tranquilo; está formado por:
- El día está soleado
- El día está tranquilo c) María está estudiando o trabajando y es bella; esta formada por:
- María está estudiando
- María está trabajando
- María es bella d) Juan está trabajando y María está estudiando; está formada por:
- Juan está trabajando
- María está estudiando e) La Noche es fresca, obscura y silenciosa; está formada por:
- La Noche es fresca
- La Noche es obscura
- La Noche es silenciosa Además de los conectivos “y”,”o” la Lógica utiliza la palabra “no” para jaor
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- No me quiero levantar d) El niño está llorando y! que llanto! Esta no es proposición compuesta, ya que “!que llanto !” no lo es. e) El niño está llorando y ¿Cuando se dormirá? El mismo caso que el anterior. f) Una Mañana linda y !que felicidad! No es proposición compuesta. g) Vete a dormir y descansa. No es proposición compuesta; es una orden. h) Ve a la escuela y estudia No es proposición compuesta; es una orden. i) ¿Será que alguna vez estuve enamorado, ciego y tonto? No es proposición compuesta; es una pregunta. j) La Lógica es sencilla, y la entiendo bien
- La lógica es sencilla
- Entiendo bien la Lógica l) La proposición es falsa o verdadera y no ambas
- La proposición es falsa
- La proposición es verdadera
- La proposición no es ambas m) La proposición es falsa o verdadera o no lo es
- La proposición es falsa
- La proposición es verdadera
- La proposición no lo es Tema 2.- Operaciones Lógicas Así como en las Matemáticas podemos realizar Operaciones como lo son la suma y la resta; para la Lógica; también existen Operaciones, las cuales son llamadas Operaciones Lógicas. Las Operaciones Lógicas, están basadas en los conectivos que ya vimos; jaor
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“y”, “o” y en la palabra “no”. Estas 3 palabras, “y”,”o” y “no” también son conocidos como Operadores Lógicos. A la Operación Lógica con Operador “y” se le conoce como Conjunción. A la Operación Lógica con el Operador “o” se le conoce como Disyunción. Finalmente, a la Operación Lógica con el Operador “no” se le conoce como Negación. En Matemáticas, las Operandos con los que se realizan las Operaciones son Números, Constantes o Expresiones que representan una cantidad. Por ejemplo: 5+10; x-7; etc. En Lógica, los Operandos con los que se realizan las Operaciones son los Valores de las Proposiciones, las cuales solo deben tener un valor de VERDAD o FALSO. De lo anterior, podemos deducir entonces, que los Operandos que se utilizan en una Operación Lógica; son solamente 2: VERDAD o FALSO. Operación Conjunción. La Operación de Conjunción se realiza cuando se unen dos Proposiciones utilizando el conectivo “y”. Ejemplo: Juan es alto y Pedro es blanco Para representar al conectivo “y” en Notación Lógica, se utiliza el símbolo “ ”.∧ Es decir que la anterior expresión pudiéramos escribirlo utilizando esta notación como: Juan es alto ∧ Pedro es blanco Si asignáramos una letra a cada Proposición: p = Juan es alto q = Pedro es alto entonces podríamos escribir la expresión original en Notación Lógica, de la siguiente forma: jaor
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Ahora que ya conocemos como funciona el Operador de Conjunción, podemos entonces aplicarlo a Proposiciones, las cuales evaluaremos de acuerdo al valor de cada una de ellas. Ejemplo: a) El agua es incolora y es inodora. Separamos en proposiciones y les colocamos una letra que las identifique: p = El agua es incolora q = El agua es inodora Ahora veamos cual es el valor de cada una de las expresiones: p = VERDAD q = VERDAD Lo anterior nos lleva a la siguiente expresión: p ∧ q Si aplicamos las Reglas de la Conjunción o su Tabla de Verdad; el resultado de esta operación sería VERDAD ; ya que p y q son VERDAD. Otro ejemplo: a) El agua es inodora y tiene color Separamos en proposiciones y verificamos su valor p = El agua es inodora = VERDAD q = El agua tiene color = FALSO Si aplicamos la operación p ∧ q obtendremos que el resultado es FALSO ya que una de las 2 Proposiciones es FALSO. Operación Disyunción. La Operación de Disyunción se realiza cuando se unen dos Proposiciones utilizando el conectivo u Operador Lógico “o”. Ejemplo: Juan es moreno o María es delgada Para representar al conectivo “o” en Notación Lógica, se utiliza el símbolo “ ”.∨ Es decir que la anterior expresión pudiéramos escribirla utilizando esta notación como: jaor
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Juan es moreno ∨ María es delgada Si asignáramos una letra a cada Proposición: p = Juan es moreno q = María es delgada Entonces podríamos escribir la expresión original en notación lógica, de la siguiente forma: p ∨ q La cual podemos leer como “p o q” o “p disyunción q”. Reglas de la Disyunción. -Para que el resultado de una operación de Disyunción sea VERDAD ; por lo menos uno de los 2 operandos debe ser VERDAD. -Para que el resultado de una operación de Disyunción sea FALSO ; los 2 operandos deben ser FALSOS. Tabla de Verdad de Disyunción. p | q | p ∨ q
V | V | V V | F | V F | V | V F | F | F Ahora evaluemos algunas proposiciones con este operador. Ejemplo: a) El agua es insípida o es incolora. Separamos en proposiciones y les colocamos una letra que las identifique: p = El agua es insípida q = El agua es incolora jaor
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Para representar al conectivo “no” en Notación Lógica, se utiliza el símbolo “¬”. Es decir que la anterior expresión pudiéramos escribirla utilizando esta notación como: ¬ Juan es moreno Si asignamos una letra a la Proposición: p = Juan es moreno Entonces podríamos escribir la expresión original en notación lógica, de la siguiente forma: ¬ p La cual podemos leer como “no p” o “negar p” o “no es verdad p”. Reglas de la Negación. -Si el Operando es FALSO el resultado es VERDAD. -Si el Operando es VERDAD el resultado es FALSO. Tabla de Verdad de Conjunción. p | ¬p
V | F F | V Ahora evaluemos algunas proposiciones con este operador. Ejemplo: a) El agua NO es incolora. Separamos la proposición de la negación p = El agua es incolora = VERDAD Entonces ¬ p = FALSO jaor
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Otro ejemplo: a) La Tierra NO es un satélite Separamos la proposición de la negación p = La Tierra es un satélite = FALSO Entonces ¬ p = VERDAD Ejemplo Combinando los Operadores. a) El agua no es incolora y es inodora Separamos las proposiciones y negaciones p = El agua es incolora = VERDAD q = El agua es inodora = VERDAD ¬p = FALSO Entonces ¬p ∧ q = FALSO ∧ VERDAD = FALSO Otro ejemplo: a) El agua no es incolora o es inodora Separamos las proposiciones y negaciones p = El agua es incolora = VERDAD q = El agua es inodora = VERDAD ¬p = FALSO Entonces ¬p ∨ q = FALSO ∨ VERDAD = VERDAD jaor
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“El Número de combinaciones o de renglones que deberá tener una Tabla de Verdad; es igual a 2 elevado a “n” Proposiciones”. Precedencia de Operadores. Cuando evaluamos una expresión en Matemáticas; solemos hacerlo de izquierda a derecha y respetando la Precedencia que existe entre los operadores. En Matemáticas sabemos que el operador “+” y el “-” tienen la misma precedencia; y que el operador “” y el operador “/” tienen la misma precedencia entre ellos; pero mas que el operador “+” y el operador “-”. Veamos el siguiente ejemplo: 5 + 6 * 3 Si alguien no conoce la precedencia de operadores; realizará las operaciones de izquierda a derecha sin importar la precedencia. 5+6=11 y 113 = 33 La operación anterior es errónea. Lo correcto es: 63 = 18 y 5+18 = 23 Al tener mayor precedencia el operador “” que el operador “+”; debe de ejecutarse primero la multiplicación y después la suma. Cuando 2 operadores tiene la misma precedencia; simplemente se evalúan de izquierda a derecha. Con los Operadores Lógicos; es algo similar. El Operador Negación “¬”; tiene mayor precedencia que el Operador Conjunción “ ”;∧ y este a su vez, tiene mayor precedencia que el operador “ ”.∨ Cuando evaluemos una Operación Lógica; lo realizaremos de Izquierda a Derecha; pero respetando la Precedencia de Operadores. Ejemplos a) p ∨ q ∨ ¬r En esta expresión, las operaciones se ejecutan de la siguiente forma:
- p ∨ q
- ¬r
- p ∨ q ∨ ¬r jaor
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b) ¬(¬q ∨ r ∧ p) ∧ q En esta expresión, las operaciones se ejecutan de la siguiente forma:
- ¬q
- r ∧ p
- ¬q ∨ r ∧ p
- ¬(¬q ∨ r ∧ p)
- ¬(¬q ∨ r ∧ p) ∧ q Realice la tabla de verdad de la expresión:¬(¬q ∨ r ∧ p) ∧ q p | q | r | ¬ ( ¬ q ∨ r ∧ p) ∧ q
V | V | V | | | V | | V | | V | | V V | V | F | | | V | | F | | V | | V V | F | V | | | F | | V | | V | | F V | F | F | | | F | | F | | V | | F F | V | V | | | V | | V | | F | | V F | V | F | | | V | | F | | F | | V F | F | V | | | F | | V | | F | | F F | F | F | | | F | | F | | F | | F
PASO | 4 | 1 | | 3 | | 2 | | 5 | p | q | r | ¬ ( ¬ q ∨ r ∧ p) ∧ q
V | V | V | | F | V | | V | | V | | V V | V | F | | F | V | | F | | V | | V V | F | V | | V | F | | V | | V | | F V | F | F | | V | F | | F | | V | | F F | V | V | | F | V | | V | | F | | V F | V | F | | F | V | | F | | F | | V F | F | V | | V | F | | V | | F | | F F | F | F | | V | F | | F | | F | | F
PASO | 4 | 1 | | 3 | | 2 | | 5 | p | q | r | ¬ ( ¬ q ∨ r ∧ p) ∧ q
V | V | V | | F | V | | V | V | V | | V V | V | F | | F | V | | F | F | V | | V jaor
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V | F | F | F | V | F | V | F | F | V | F | F
F | V | V | V | F | V | F | V | F | F | V | V
F | V | F | V | F | V | F | F | F | F | V | V
F | F | V | F | V | F | V | V | F | F | F | F
F | F | F | F | V | F | V | F | F | F | F | F
PASO | 4 | 1 | | 3 | | 2 | | 5 |
Como podemos observar, la Tabla de Verdad de la Expresión, se fue resolviendo de la misma forma como definimos que deberían de realizarse cada una de las operaciones. Es obvio pero hay que mencionarlo. Cuando se presenta la resolución de expresiones muy largas; uno como alumno suele sentir temor al ver la expresión tan grande; pero esto no debe ser así; ya que todo el proceso se centra en tener bien aprendido las Reglas de cada una de las Operaciones; y las operaciones siempre son entre 1 operando (Negación) o 2 Operandos (Conjunción y Disyunción) En el caso de una expresión muy grande, solo hay que tener mucho cuidado con leer adecuadamente las columnas involucradas en cada operación; en esto es donde suele uno equivocarse. Interpretando las Tablas de Expresiones. Antes de comenzar a interpretar las Tablas de Verdad de las Expresiones; vamos a analizar con un poco mas de profundidad; las Reglas Operativas de la Conjunción, Disyunción y Negación. La Regla de la Disyunción menciona que para que un resultado con este operador sea VERDAD; ambos Operandos deben ser VERDAD. En la Vida Real, cuando nosotros Expresamos o Declaramos algo; y esta expresión tiene 2 enunciados que están unidos por la palabra “y”; para que este enunciado sea VERDAD; los 2 enunciados debe ser ciertos. Ejemplo: “El Sol es una Estrella y El Sol Emite Calor” Ante la anterior expresión; NADIE puede afirmarnos que es FALSA; y todo MUNDO estará de acuerdo en que NUESTRA EXPRESIÓN es VERDADERA; ya que es VERDAD que “El Sol es una Estrella y también es VERDAD que “El Sol jaor
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Emite Calor”. Ahora veamos un expresión como la siguiente: “El Sol es una Estrella y El Sol es un Satélite” Cualquier persona que escuche esta expresión; nos dirá que estamos EQUIVOCADOS; porque aunque “El Sol es una Estrella” es una expresión VERDADERA; la otra expresión “El Sol es un Satélite” NO LO ES. Por lo tanto NUESTRA EXPRESIÓN ES FALSA; a pesar de que una las partes sea VERDADERA. Si usamos una expresión como la siguiente: “El Sol es una Planeta y El Sol es mas pequeño que la Tierra” definitivamente TODOS afirmarán que estamos equivocados; porque ambas expresiones unidas por la palabra “y” son FALSAS. Lo anterior nos lleva comprobar el Motivo de la Tabla de Verdad de la operación Conjunción; la cual menciona que para que el Resultado de la operación sea VERDAD; ambos operandos deben ser VERDAD. Ahora analicemos la Disyunción. La Regla de la Disyunción nos dice que para que un resultado de una operación con este operador sea VERDAD; con que un OPERANDO sea VERDAD; es suficiente para que el resultado sea VERDAD. Para explicar la Disyunción con un ejemplo de la Vida Real; debemos de ser un poco mas profundos. En Lógica; estas operaciones se utilizan para que; dependiendo del resultado de la operación; se ejecute una acción. Veamos la siguiente expresión. Si yo digo “El Sol es una Estrella o El Sol emite Calor” Alguien pudiera argumentar que NUESTRA EXPRESIÓN no es ADECUADA porque no DEBERÍAMOS de usar la palabra “o” en esta expresión ya que ambos enunciados son VERDAD; y sugeriría que deberíamos usar “y” para que nuestra expresión fuera ADECUADA. Para la Disyunción; a la Lógica no le interesa que la EXPRESIÓN sea ADECUADA; lo que le interesa es que SEA VERDAD; y para este caso como AMBAS EXPRESIONES SON VERDAD; la jaor
