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1 NÚMEROS RACIONALES
E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S
Arquímedes nació en el año 287 a. C. en Siracusa (Sicilia). ¿Cuántos años han transcurrido desde su na- cimiento?
2008 (287) 2295 años
¿De qué número es 6 la tercera parte? ¿Y la sexta?
Si x es el número buscado, entonces 3
x 6, luego x 18.
Y 6
x 6, luego x 36
Sergio recorre en bicicleta los —
— (^) del trayecto de una prueba deportiva. Si aún le faltan 18 kilómetros, ¿cuántos kilómetros tiene la carrera?
Si ha recorrido
del trayecto, le quedan por recorrer
, que corresponden a 18 km.
Por tanto,
del trayecto es
km 9 km
Luego los
equivalen a: 9 9 81 km.
Medida del trayecto: 81 km
En un centro de acogida de animales se recogen perros y gatos callejeros. Los perros representan — 1
— del total. Si el número de animales es de 120, ¿cuántos perros y gatos hay?
Número de perros: 1
Número de gatos: 120 56 64
Una urbanización en la costa recicla 65 000 metros cúbicos de agua para el riego de sus calles y jardi- nes. Si esta cantidad representa los — 1
— del total, ¿cuántos metros cúbicos quedan sin reciclar?
de las toneladas recicladas es: 65 000 ^10 6500.
Toneladas sin reciclar, 1
3 6500 19 500 m^3.
El agua, al helarse, aumenta aproximadamente — 1
— su volumen y, por eso, el hielo flota en el agua. Si se tiene un metro cúbico de agua, ¿cuánto aumenta su volumen?
1 metro cúbico 1000 dm^3
Volumen de un dm 3 de agua helada: 10 1
Volumen de un m 3 de agua helada:
1000 dm^3 1100 dm^3 Por tanto, aumenta 100 dm 3.
Amplifica la fracción — 1
— (^) a una que tenga por numerador 77 y a otra con denominador 99.
a) Se amplifica multiplicando por 11: 1
b) Se amplifica multiplicando por 9: 1
Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes.
a) —
— y —
— b) —
— y — 1
— (^) c) — 2
— y — 1
— d) — 1
— y —
a) 3 20 5 12 ⇒ No son equivalentes. b) 4 10 5 8 ⇒ Sí son equivalentes. c) 7 100 20 40 ⇒ No son equivalentes. d) 6 49 14 21 ⇒ Sí son equivalentes.
Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones.
a) —
— b) —
— c) — 2
— d) — 3
— e) —
— f) — 1
a) m.c.d.(270, 990) 90 ⇒
d) m.c.d.(72, 360) 72 ⇒ 3
b) m.c.d.(150, 225) 75 ⇒
e) m.c.d.(111, 393) 3 ⇒
c) m.c.d.(80, 240) 80 ⇒ 2
f) m.c.d.(39, 195) 39 ⇒ 1
Indica si son correctas las siguientes desigualdades.
a) —
— b) —
Se calcula el m.c.m. para conseguir que todas las fracciones tengan el mismo denominador y poder comparar los numeradores.
a) La desigualdad no es correcta porque m.c.m.(12, 10, 14) 420.
b) La desigualdad no es correcta porque m.c.m.(18, 39, 54) 702.
Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: —
Para ordenar las fracciones se transforman a otras con igual denominador entre ellas.
Ordenación:
Escribe tres fracciones, si existen, comprendidas entre:
—
— y —
¿Existen tantas fracciones como queramos? ¿Por qué?
Observa el proceso:
Entre las fracciones centrales podemos escribir 9 fracciones de denominador 50. Fracciones intermedias:
Hay infinitas fracciones.
Indica, sin hacer la división, el tipo de expresión decimal de las siguientes fracciones.
a) —
— b) —
— c) —
— d) —
a) Denominador: 6 2 3 c) Denominador: 14 2 7 Fracción mixta, ya que tiene los factores 2 y 3 Fracción mixta, ya que tiene los factores 2 y 7.
b) Denominador: 21 3 7 d) Denominador: 50 2 5 5 Fracción periódica pura, ya que tiene los factores 3 y 7. Fracción exacta, ya que tiene los factores 2 y 5.
Escribe en forma fraccionaria estos números. a) 2,222… c) 7,1 e) 0,66 g) 0,155…
b) 10,555… d) 6,2525… f) 2,15 h) 0,3333…
a) 2,222…
c) 7,1
e) 0,66
g) 0,155… 4
b) 10,555…
d) 6,2525…
f) 2,15
h) 0,3333…
Suma los números decimales 0,3333… y 0,5555…, pasando previamente a fracciones. ¿Se obtiene el mis- mo resultado?
Observa que es también la suma de los dos números decimales.
R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S
Carlos ha vuelto a ir de compras. Ahora ha gastado dos quintas partes de su dinero en fruta, los tres séptimos de lo que le quedó, en yogures, y 18 euros en leche, gastando todo su dinero. ¿Cuánto gastó en total?
Carlos gastó en leche cuatro séptimas partes de lo que tenía después de comprar fruta. Si esa cantidad fueron 18 euros, tras
comprar fruta le quedaron 18 ^
31,50 euros. Como en fruta gastó dos quintos de su dinero, esa cantidad es igual a los
tres quintos del dinero con el que salió de casa. Por tanto, Carlos gastó en total 31,50 ^
52,50 euros.
Los amigos de Carlos salieron a pasear. Después de una hora, la sexta parte del grupo decidió regresar, y los tres quintos de los que quedaban pararon para hacer un descanso. Los otros cuatro amigos si- guieron andando hasta llegar a su destino. ¿Cuántos formaban el grupo?
Los cuatro amigos son las dos quintas partes de los que no dieron la vuelta. Por tanto, entre estos cuatro y los que pararon a descansar eran 10 personas. Como esa cantidad correspondía a las cinco sextas partes del grupo, inicialmente salieron a pasear 12 personas.
A C T I V I D A D E S
E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E
Números fraccionarios. Números racionales
Escribe la fracción que corresponde a estas expresiones: a) Alba ha resuelto bien 4 de los 5 ejercicios del examen. b) El 15% de los habitantes de una ciudad son inmigrantes. c) La octava parte de los 96 participantes de un maratón no terminó la prueba. d) En una empresa, 8 de cada 10 empleados llegan puntualmente al trabajo.
a)
b) 1
c)
d) 1
Calcula el valor de x para que sean equivalentes las siguientes fracciones:
a) — 2
x 6
— y — 1
— b) —
— y —
x
— c) — 5
x 0
— y —
x
a) 2
x 6
⇔ 13 x 8 26 ⇔ x 16
b)
x ⇔ 42 x 7 54 ⇔ x 9
c) 5
x 0
x ⇔ x^2 2 50 ⇔ x 10
Halla, mediante amplificación, cuatro fracciones equivalentes a cada una de las dadas.
a) —
— b) —
— c) —
— d) — 1
a)
c)
b)
d) 1
Simplifica las siguientes fracciones.
a) —
— b) —
— c) —
— (^) d) —^3 3
a)
b)
c)
d)
Escribe, para cada apartado, cinco fracciones que representen el mismo número racional dado.
a) —
— b) —
— c) —
— d) —
a)
c)
b)
d)
Fracciones y decimales
Indica cuáles de los siguientes números decimales se pueden expresar en forma de fracción. Justifica tu respuesta. a) 3,14 c) 82,7777… b) 8,010010001… d) 4,08939393…
Todos menos el del apartado b, porque no tiene período.
Sin hallar su expresión decimal, indica si los siguientes números son exactos, periódicos puros o perió- dicos mixtos. Justifica tu respuesta.
a) —
— b) —
— c) — 1
— d) —
a) Exacto, porque el denominador sólo tiene los factores 2 y 5. b) Periódico puro, porque el denominador no tiene los factores 2 y 5. c) Exacto, porque el denominador sólo tiene el factor 2. d) Periódico mixto, porque el denominador tiene los factores 2 y 3.
Compara estas fracciones:
a) —
— y — 2
— b) —
— y —
— c) —
— y —
— d) —
— y —
a)
c)
b)
d)
Expresa los números decimales en forma de fracción y luego compara las fracciones.
a) 1,318 y —
— (^) b) —^1 9
y 2,5 v^ c) — 1
— (^) y 0,16 w (^) d) 5,36 y —^1 2
—^1
a) 1,318
c) 0,16w^
⇒ 1,318 y
0,16w
b) 2,5v
d) 5,36
2,5v^
Descompón las fracciones en suma de un entero más una fracción propia (el valor de una fracción pro- pia es siempre menor que la unidad) e indica entre qué dos valores enteros quedarían representadas so- bre la recta.
a) —
— b) —
— c) —
— d) —
a)
b)
c)
d)
Representa en la recta numérica:
a) —
— b) —
— c) —
— d) —
— e) —
a)
b)
c)
d)
e)
0 1 2
11 6
- –^8 3 –3 –2 –1 0
- –^49 –1 0
(^0 )
-^3 5
0 1
-^27
Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.
a) —
b) —
c) —
d) —
a)
b)
c)
d)
Operaciones con números racionales
Realiza las siguientes sumas y restas.
a) —
— —^3
— —^1
d) — 3
— —^8
b) —
— —^1
— —^4
— —^8
— (^) e) — 2
— 2 —^1
— —^3
c) — 1
— —^3
— —^5
— f) —^1
— —^9
— —^1
a)
b)
c)
d) 3
e) 2
f)
Operaciones combinadas
Halla el resultado de las siguientes operaciones con números racionales.
a) —
— c) —
b) —
— —^2
— —^4
2 —
— —^1
— (^) d) 2 3 : —^5 6
— —^1
—^7
3
a)
b)
2
c)
^
^ (5)
^ (5)
d) 2 3 ^
3 2
Realiza las siguientes operaciones.
a) —
b) 3 —
3
c) 4 2 —
— —^2
— —^4
— : —^7
d) — 1
— 1 —^3
e) 8 —
2
a)
^
b) 3
3
^1
3
^1
^
c) 4 2
^
d) 1
e) 8
2
^3
2
^3
^
^
^
Expresa los números decimales en forma de fracción y luego haz los cálculos. a) 0,42 3,1 10,8 8 v 1,52 w c) 19,85 v 13,2 4,5 8,16 w b) 7,16 (1,17 v^ 3,8 7,2 2 v ) d) 2,84 5,1 v^ (0,503 w^ 4,96 w )
a) 0,42 3,1 10,8v^ 1,52w^ 1
b) 7,16 (1,17v 3,8 7,2v)
c) 19,85v 13,2 4,5 8,16w
d) 2,84 5,1v (0,503w 4,96w)
C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E
Al representar en la recta dos fracciones equivalentes, ¿cuántos puntos se dibujan sobre ella? Como conclusión al resultado anterior, y teniendo en cuenta que un número racional es un conjunto de infinitas fracciones equivalentes entre sí, ¿cuántos puntos de la recta se necesitan para representar un número racional?
Al representar en la recta dos fracciones equivalentes, solo se dibuja un punto sobre ella. Para representar un número racional, solo es necesario un punto de la recta.
Para decir la hora que es cuando han pasado 15 minutos de la hora en punto se utiliza un valor frac- cionario. Por ejemplo, se dice “las ocho y cuarto” en lugar de “las 8 y 15”. Explica si es correcta la frac- ción utilizada.
Sí, porque 15 minutos de una hora equivalen a la fracción
Escribe: a) Un número racional que no sea entero. c) Un número entero que no sea racional. b) Un número racional que sea entero. d) Un número decimal que no sea racional.
a)
c) Es imposible: todos los números enteros son racionales.
b)
d) 1,320332033320…
Explica, utilizando ejemplos, si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Todas las fracciones representan cantidades inferiores a la unidad. b) Un número racional es una fracción. c) Cualquier número decimal se puede expresar en forma fraccionaria. d) Los números enteros también son racionales.
a) Falso:
representa una cantidad mayor que 1.
En un pueblo hay dos centros escolares de Secundaria, uno de ellos de reciente construcción. La elección de la asignatura de Matemáticas de los alumnos de 4. o^ de ESO en cada uno de ellos es la que se observa en el cuadro siguiente.
¿En cuál de los centros, el número de alumnos que ha elegido la opción A respecto del total de alum- nos matriculados en 4. o^ de ESO es mayor?
En el instituto antiguo:
es la fracción de alumnos matriculados en la opción A.
En el instituto nuevo: 1
Hay que comparar las fracciones obtenidas.
Se han matriculado más alumnos en el instituto nuevo que en el antiguo.
Se está probando un nuevo tratamiento para una determinada enfermedad en 320 personas y se ha comprobado que en 15 de ellas produce un intenso dolor de cabeza. Aunque los efectos secundarios de- berían ser nulos, este tratamiento se aceptará como válido si el porcentaje de personas en el que se ma- nifiestan es inferior a un 0,01%. Con los datos experimentales anteriores, ¿el tratamiento será aceptado o rechazado?
Produce dolor de cabeza en 3
, que equivale a un porcentaje del 0,0487%.
Como ese porcentaje es superior al válido para que sea aceptado, el tratamiento será rechazado.
El consumo de un televisor encendido es de 45 vatios a la hora. Si se apaga con el mando a distancia, su consumo se reduce a 15. Si a lo largo de un día, el televisor está encendido durante cuatro horas y se apaga con el mando: a) ¿Qué gasto total de energía se produce? b) ¿Qué cantidad se podría ahorrar desconectando el aparato de la corriente? c) ¿Qué fracción y qué porcentaje de ahorro se produciría en ese caso?
a) 4 45 20 15 400 W se gastan en un día. b) 20 15 300 W se podrían ahorrar.
c) La fracción:
El porcentaje: 75%
En un invernadero se han sembrado 500 plantas de tomates, 400 de pimientos y 350 de calabacines. Se sabe que se pierden por término medio 1 de cada 60 plantas de tomates, 2 de cada 25 de pimientos y 6 de cada 11 de calabacines. a) ¿Cuál de las tres plantas es más resistente? b) ¿Cuántas de cada clase se espera que crezcan? c) Si en este invernadero se han conseguido 490 plantas de tomates, 320 de pimientos y 318 de cala- bacines, ¿en cuál de ellas se ha dado un aumento de producción superior a la media? ¿En qué por- centaje ha aumentado?
a) Hay que comparar las fracciones 6
y 1
Se pierden menos plantas de tomates. Por tanto, son las más resistentes.
Matemáticas A Matemáticas B Instituto antiguo
Instituto nuevo
b)
500 491,67 491 plantas de tomates
400 368 de pimientos
350 159,09 159 de calabacines
c) En los calabacines. El número de plantas que ha aumentado la producción es: 359 159 200. Se ha producido un aumento del 100%.
De los habitantes de una población, la cuarta parte son personas mayores de 60 años; las —
— (^) partes del resto tienen entre 25 y 60 años, y de los que quedan, solo la sexta parte son niños menores de 8 años. a) ¿Qué fracción de la población tiene entre 8 y 25 años? b) ¿Qué porcentaje de la población representan los mayores de 60 años? c) Si el total de habitantes es 8640, ¿cuántos pertenecen al mayor grupo poblacional?
a) 1
es la fracción de población
que tiene entre 8 y 25 años.
b)
c)
8640 2160 son mayores de 60 años.
8640 5184 tienen entre 25 y 60 años.
8640 3456 tienen entre 8 y 25 años.
8640 1080 son niños menores de 8 años.
El mayor grupo poblacional es el de las personas entre 25 y 60 años.
R E F U E R Z O
Números fraccionarios. Números racionales
Dadas las siguientes fracciones, ¿cuáles de ellas son equivalentes a —
a) — 1
— b) —
— c) —
— d) —
— e) — 1
a)
⇔ 18 120 24 90 ⇔ 2160 2160. Es equivalente.
b)
⇔ 18 4 24 3 ⇔ 72 72. Es equivalente.
c)
⇔ 18 98 24 72 ⇔ 1764 1728. No es equivalente.
d)
⇔ 18 9 24 6 ⇔ 162 144. No es equivalente.
e)
⇔ 18 12 24 9 ⇔ 216 216. Es equivalente.
Ordena de forma creciente los siguientes números racionales.
a) —
— b) —
— c) — 1
a)
b)
c) 1
Representa en la recta numérica los números: —
Operaciones con números racionales
Calcula las siguientes potencias.
a) —
2
b) —
3
c) —
4
d) —
2
a)
2 8
b)
3
c)
4 2
d)
2
2
Opera y simplifica.
a) —
— c) —^7
— —^1
— —^3
— —^5
— (^) e) —^7 2
— —^4
— —^1
— : —^5
b) —
— d) 1 —
— :^ 2 —
— f) —
— :^ —
a)
b)
c)
d) 1
^ 2
^
^
e)
f)
0 1 2 3
-^7 3 1
10 –^9 0
–2 –1^0
A M P L I A C I Ó N
Representa en la recta real los siguientes números, expresando previamente los decimales en forma frac- cionaria, y luego ordénalos de menor a mayor.
—
— , 3,16 v , 2,35 v , —
Expresa como una única potencia:
a) —
4
3
2 : (^) —^8 7
— b) —
2
6
: —^4
5
c) —
4
: —^3
6
1
a)
4
3
2
4
6
1
11
b)
2
6
^4
5
2
6
^4
5
^
18
^4
5
13
c)
4
^3
6
1
^
4
^3
6
4
^3
7
3
Realiza las siguientes operaciones con números racionales y simplifica el resultado.
a) —
3 —
— —^4
— —^1
— : —^
—^7
2 —
— 2 —^9
b) —
2
:^ —
3 — 1
c) —
2 : —
a)
3
2
3
^
^
b)
2
^
3 1
3 2
^
^
c)
2
2
2
^
–3 –2 –1 0
3 ,
–3 –2 –1 0
–2,
0 1 3 4
-^175 2
A U T O E V A L U A C I Ó N
Para cada apartado, calcula cinco fracciones que representen el mismo número racional dado.
a) —
— b) —
— c) —
— d) —
a)
c)
b)
d)
Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.
a) —
b) —
c) — 2
a)
b)
c) 2
Indica, sin hallarlo, el tipo de número decimal al que equivalen las siguientes fracciones.
a) —
— b) — 2
— c) —
— d) — 4
a) Periódico mixto porque el denominador tiene el factor 3 además del 2. b) Exacto porque el denominador sólo tiene el factor 5. c) Periódico puro porque el denominador sólo tiene el factor 3. d) Exacto porque el denominador tiene los factores 2 y 5.
Halla la fracción irreducible a la que equivalen los números decimales siguientes. a) 5,72 b) 8,340 v c) 16,09 v
a) 5,72
b) 8,340v
c) 16,09v
Halla el resultado de las siguientes potencias.
a) —
5
b) —
2
c) —
3
d) —
4
a)
5 1
b)
2
c)
3
d)
4
4
1.A
1.A
1.A
1.A
1.A
Opera y simplifica.
a) —
b) — 1
— 1 —^3
— —^7
— —^2
c) —
2
d) —
2
e) —
— —^1
2 —
— —^7
f) —
g) —
2 —
a)
b) 1
c)
2 1
d)
2
e)
2
2
f)
^
g)
2
M A T E T I E M P O S
Acercarse a un número
Elige dos números de dos y tres cifras decimales respectivamente. Multiplica, en tu calculadora, el primero de ellos por un número, de tal forma, que el resultado se aproxime al segundo. Si no lo consigues, no borres el resultado y vuelve a intentarlo partiendo ahora de ese nuevo número.
Solución:
La actividad tiene por finalidad trabajar el concepto de multiplicación por números mayores y menores que uno. El primer obstáculo que se presenta es que quieren borrar el resultado porque se pasaron del número, y es difícil que comprendan que existe un número (menor que uno) que con la multiplicación se obtiene un valor menor. Otro concepto importante es que al multiplicar por 1,1, el nú- mero se incrementa un 10%, y si, por el contrario, se multiplica por 0,9, el número disminuye un 10%. Se puede ampliar la actividad acercándose a un número con la división.
1.A
