Prácticas de Cálculo: Ejercicios de Derivadas, Límites y Series, Apuntes de Gestión de Recursos Humanos

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Prácticas de Cálculo

con

wxMaxima

Escuela Politénica

de Ingeniería

GIJÓN

UNIVERSIDAD DE OVIEDO

A nuestos compañeros de Granada:

J. Alaminos Prats; C. Aparicio del Prado, J. Extremera Lizana, P. Muñoz Rivas, A.R. Villena Muñoz

por pasarnos su manual de wxMaxima, incluso con el código fuente y en cual nos hemos basado.

A los traductores de la Ayuda del wxMaxima, el mejor manual existente.

A todos los desarrolladores del Maxima que, a lo largo de los años, han ido aportando sus

conocimientos de forma desinteresada.

AGRADECIMIENTOS:

misma licencia libre que el trabajo original. El mecanismo genérico que utilizan las licencias tipo GPL para conseguir estas garantías fue llamado copyleft

wxMaxima

Ò wxMaxima no es más que una interfaz gráfica de Maxima, que permite el manejo de éste de una forma visual, dando acceso a gran parte de los comandos de Maxima con el simple uso del ratón. Existen más interfaces gráficos para Maxima, pero creemos que wxMaxima es el más interesante. Puede descargarse desde su página web: http://wxmaxima.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page

Gijón, 28 de Junio de 2010

Tabla de contenidos

• 1 Aprendiendo Maxima
  • 1.1 Introducción
  • 1.2 Primeros pasos con WxMaxima
    • 1.2.1 Operaciones básicas
    • 1.2.2 Constantes
    • 1.2.3 Atajos
    • 1.2.4 Resultados numéricos
    • 1.2.5 Funciones preconstruidas en Maxima
    • 1.2.6 Otras funciones
  • 1.3 Insercción de texto
  • 1.4 Reinicio de Maxima
  • 1.5 Variables
    • 1.5.1 Evaluar letras en una variable y borrado de variables
  • 1.6 Expandir y simplificar
    • 1.6.1 Funciones para expandir una expresión:
    • 1.6.2 Funciones para simplificar una expresión:
    • 1.6.3 Expandir y simplificar expresiones trigonométricas
  • 1.7 Factorización de polinomios
  • 1.8 Descomposición en fracciones simples
  • 1.9 Listas, vectores y matrices
    • 1.9.1 Listas
    • 1.9.2 Vectores
    • 1.9.3 Matrices
  • 1.10 Ejercicios
• 2 Funciones. Representaciones gráficas. Ecuaciones. Límites y continuidad
  • 2.1 Funciones
    • 2.1.1 Gráfica de una función
    • 2.1.2 Funciones definidas a trozos
  • 2.2 Gráficos con draw
    • 2.2.1 Opciones locales
    • 2.2.2 Opciones globales
    • 2.2.3 Objeto gráfico
    • 2.2.4 Representaciçon gráfica de puntos
  • 2.3 Resolución de ecuaciones y sistemas
    • 2.3.1 Sistemas lineales
    • 2.3.2 Soluciones aproximadas
  • 2.4 Límites
  • 2.5 Continuidad
  • 2.6 Ejercicios
• 3 Derivación. Aplicaciones de la derivada. Polinomios de Taylor
  • 3.1 Derivadas
  • 3.2 Los operadores comilla y doble comilla
  • 3.3 Aplicaciones de la derivada
    • 3.3.1 Recta tangente y recta normal
    • 3.3.2 Extremos relativos
    • 3.3.3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento
    • 3.3.4 Intervalos de concavidad y convexidad
  • 3.4 Resolución de desigualdades
    • 3.4.1 Asíntotas
  • 3.5 Polinomios de Taylor
  • 3.6 Algo sobre programación
    • 3.6.1 Operadores lógicos
    • 3.6.2 Operadores relacionales
  • 3.7 Bucles
  • 3.8 Ejercicios
• 4 La integral de Riemann. Integrales impropias
  • 4.1 Cálculo de integrales
    • 4.1.1 Integración numérica
  • 4.2 Teorema fundamental del Cálculo integral
  • 4.3 Aplicaciones de la integral
    • 4.3.1 Cálculo de áreas
    • 4.3.2 Longitudes de curvas
    • 4.3.3 Volúmenes de revolución
    • 4.3.4 Áreas de superficies de revolución
  • 4.4 Integrales impropias
  • 4.5 Ejercicios
• 5 Sucesiones y series. Series de potencias
  • 5.1 Sucesiones
    • 5.1.1 Sucesiones recurrentes
  • 5.2 Series
    • 5.2.1 Criterios de convergencia absoluta
    • 5.2.2 Series sumables
    • 5.2.3 Series telescópicas
    • 5.2.4 Series alternadas
    • 5.2.5 Productos finitos e infinitos
  • 5.3 Series de potencias
    • 5.3.1 Cálculo del radio de convergencia
  • 5.4 Desarrollo de una función en series de potencias. Series de Taylor
  • 5.5 Ejercicios
• 6 Funciones de varias variables. Parte I
  • 6.1 Funciones de varias variable
    • 6.1.1 Gráficas de funciones reales de dos variables
    • 6.1.2 Gráficas con Plot3d
    • 6.1.3 Gráficas con draw3d
  • 6.2 Límites y continuidad
    • 6.2.1 Límites
    • 6.2.2 Continuidad
  • 6.3 Derivadas parciales
  • 6.4 Derivadas direccionales
  • 6.5 El vector gradiente
  • 6.6 Funciones diferenciables
  • 6.7 Plano tangente
  • 6.8 Funciones vectoriales
  • 6.9 Ejercicios
• 7 Funciones de varias variables. Parte II
  • 7.1 La regla de la cadena
    • 7.1.1 Esquemas para la regla de la cadena
  • 7.2 Extremos relativos
    • 7.2.1 Extremos para dos variables
  • 7.3 Extremos condicionados por igualdades
  • 7.4 Extremos absolutos en conjuntos compactos
  • 7.5 Ejercicios

1.2. Primeros pasos con WxMaxima Prácticas de Cálculo

Nada más abrir el programa, nos encontramos con algo parecido a la figura de arriba El panel de comandos que aparece en la parte superior derecha, lo abrimos yendo en el menú a Maxima— > Paneles— > Matemáticas generales. El panel es desplazable a lo largo de toda la pantalla mediante el ratón en la forma habitual de Windows. Bien, y llegó la hora de usar el programa. Veamos en primer lugar las operaciones básicas:

1.2.1 Operaciones básicas

• Suma

• Producto / Cociente ∧ Potencia sqrt( expr ) raíz cuadrada de expr Y pasamos a ver el manejo del programa. Simplemente pinchamos en la pantalla y

efectuemos una operación básica. Por ejemplo 5 · 8 + 23 Tecleamos 5*8+23 y pulsamos

a la vez MAYUSC-ENTER. Encontramos:

(%i1) 5*8+23;

( %o1 ) 63

De momento, no es mucho. Pero fíjese que hay una entrada (lo que se teclea) numerada con una etiqueta %i1 de entrada (indicado por la letra "i") y una etiqueta de salida, %o que es lo que devuelve el programa (indicado por la letra "o"). En cualquier momento, podemos referirnos a esas etiquetas para no tener que repetir lo que pone al lado.

NOTA: Para agrupar expresiones sólo se usan paréntesis, las veces que hagan falta. Nunca se usan corchetes, que están reservados para listas y vectores.

1.2.2 Constantes

Las constantes más usuales usadas en Cálculo, se escriben así: %pi El número π %e El número e %i La unidad imaginaria

1.2. Primeros pasos con WxMaxima Prácticas de Cálculo

1.2.3 Atajos

Si queremos referirnos a algo que ya tenemos escrito en pantalla, podemos hacerlo (aparte del consabido copiar-pegar) así, por ejemplo: %i23 La entrada numerada con la etiqueta 23 %o12 La salida numerada con la etiqueta 12 % La última salida

1.2.4 Resultados numéricos

Como habíamos comentado, nos interesa sobre todo el cálculo simbólico. Pero imag- inemos que queremos saber una aproximación decimal de alguna operación, por ejemplo

3 √^2 + 25. Tenemos tres formas fundamentales para hacerlo:

float( número ) Expresión decimal de número número ,numer Expresión decimal de número bfloat( número ) Expresión decimal larga de número

También podemos poner el programa en modo numérico. Para ello en el menú Numérico— > Conmutar salida numérica. Hay que acordarse de volver a cambiarlo si queremos seguir con el cálculo simbólico.

(%i1) float(3*sqrt(2)+25);

( %o1 ) 29. 24264068711928

(%i2) 3*sqrt(2)+25,numer;

( %o2 ) 29. 24264068711928

(%i3) bfloat(3*sqrt(2)+25);

( %o3 ) 2. 924264068711929 b 1

La última expresión indica que lo que hay antes de la "b", hay que multiplicarlo por 10 elevado al número que hay después (en este caso,1). Se puede cambiar el no de cifras decimales en Numérico— > Establecer precisión (por defecto son 16 cifras decimales). Fijémosnos ahora en la salida que se pruce usando cálculo simbólico:

(%i4) 3*sqrt(2)+25;

( %o4 ) 3 √ 2 + 25

1.3. Insercción de texto Prácticas de Cálculo

1.2.6 Otras funciones

! Factorial de n binomial(m, n) El valor

( (^) m n

entier(x) Parte entera de x abs(x) Valor absoluto de x

random(x) Número aleatorio entre 0 y x

signum Signo de x

max{ x 1 , x 2 , · · · , xn } El valor máximo de x 1 , x 2 , · · · , xn

min{ x 1 , x 2 , · · · , xn } El valor mínimo de x 1 , x 2 , · · · , xn

(%i15) binomial(10,3);

( %o15 ) 120

(%i19) max(1/2, 224/87, 4,-15/4, 11/2);

( %o19 )^112

La lista de funciones es mucho más extensa y tiene muchos más parámetros que los aquí enunciados. Si fuera necesario, hay que consultar la ayuda del Maxima.

1.3 Insercción de texto

Podemos comentar resultados, explicaciones etc en Maxima. Para ello vamos a Celda— > Nueva celda de texto Nos inserta una celda con fondo verde-azulado donde pode- mos escribir. También podríamos elaborar un documento con secciones y subsecciones donde Maxima nos los numera automáticamente. Para una celda de sección, hay que ir a Celda— > Nueva celda de sección

1.4. Reinicio de Maxima Prácticas de Cálculo

1.4 Reinicio de Maxima

A medida que en una sesión de Maxima vamos definiendo variables, funciones, etc. no basta con borrar las celdas donde es- tán definidas, pues continuan vigentes en memoria, pudiendo llegar a obtener resulta- dos extraños debido a que, por ejemplo, a la variable x le habíamos dado un valor pre- vio y no nos acordamos de vaciarla. Por eso, quizás sea conveniente hacer un reinicio de Maxima y se olvide de todo lo anterior. Para ello, vamos a Maxima— > Reiniciar Maxima. Luego conviene ir a Celdas— > Evaluar to- das las celdas. También podemos limpiar memoria Maxima— > Limpiar memoria con parecidos resultados

1.5 Variables

En Maxima, cualquier letra es, en principio, una variable. Pero podemos definir variables más complejas mediante asignaciones que contengan números y letras. Esa asignación la hacemos mediante el símbolo ":". Las más sencillas son asignaciones numéricas, o sea, constantes en realidad.

(%i2) a:-7;

( %o2 ) − 7

(%i3) a^2+3;

( %o3 ) 52

(%i4) b:(x+3)^2;

( %o4 ) (x + 3 )^2

(%i5) b^2;

( %o5 ) (x + 3 )^4

1.6. Expandir y simplificar Prácticas de Cálculo

1.6 Expandir y simplificar

1.6.1 Funciones para expandir una expresión:

expand( expr ) Expande expr productos y potencias

expand( expr,n, m ) Expande potencias de expr con grado entre − m y n

ratexpand( expr ) Expande expr con más eficiencia para polinomios

partfrac( frac,var )) Descomponela variable var^ frac en una expresión racional^ en fracciones simples respecto de

num( frac ) Numerador de frac

denom( frac ) Denominador de frac

1.6. Expandir y simplificar Prácticas de Cálculo

Todos estos comandos, son accesibles desde el menú de Max- ima en Maxima— > Paneles— > Matemátias generales. Tam- bién desde Maxima— > Simplificar. Existen muchos otros comandos de expansión y muchos parámetros para los mismos. Consulte en la ayuda de Maxima si es necesario.

(%i1) expand((x-2)^3+(x+3)^2);

( %o1 ) x^3 − 5 x^2 + 18 x + 1

(%i2) expand((x+5)^3/(x+3)^2);

( %o2 ) x

3

x^2 + 6 x + 9 +^

15 x^2

x^2 + 6 x + 9 +^

75 x

x^2 + 6 x + 9 +^

x^2 + 6 x + 9

(%i3) ratexpand((x+3)^5);

( %o3 ) x^5 + 15 x^4 + 90 x^3 + 270 x^2 + 405 x + 243

(%i4) expand((x+3)^100+(x-4)^30+(x+1)^2+1/(x+7)^5+9/(x-3)^3,3,4);

( %o4 ) x 3 − 9 x 2 +^9 27 x − 27 + (x +^1 7 ) 5 + (x + 3 )^100 + x^2 + 2 x + (x − 4 )^30 + 1

1.7. Factorización de polinomios Prácticas de Cálculo

(%i1) trigexpand(sin(a+b)+cos(2*a));

( %o1 ) cos (a) sin (b) + sin (a) cos (b) − sin (a)^2 + cos (a)^2

(%i2) trigexpand(xcos(2x)*sin(a+x));

( %o2 ) x ( cos (a) sin (x) + sin (a) cos (x))

cos (x)^2 − sin (x)^2

(%i3) p:cos(x)+sin(x+a)-2sin(x)cos(x);

( %o3 ) sin (x + a) − 2 cos (x) sin (x) + cos (x)

(%i4) trigreduce(p);

( %o4 ) sin (x + a) − sin ( 2 x) + cos (x)

1.7 Factorización de polinomios

Si todas las raíces de un polinomio son racionales o complejas de cualquier multiplici- dad, Maxima consigue factorizar ese polinomio de forma completa en R. De otra forma, sólo factorizará la parte correspondiente que cumpla lo anterior. factor( expr ) Escribe el polinomio expr como producto de factores más sencillos

1.8. Descomposición en fracciones simples Prácticas de Cálculo

(%i1) factor(x^3-x^2-8*x+12);

( %o1 ) (x − 2 )^2 (x + 3 )

(%i2) factor(x^6-(29x^5)/10+(63x^4)/20-(279x^3)/40+(54x^2)/5-243/40);

( %o2 ) (^2 x^ −^3 )

3 ( 5 x + 3 ) ( x 2 + x + 3 )

(%i3) factor(x^5+3x^4+3x^3+9x^2-10x-30);

( %o3 ) (x + 3 ) ( x^2 − 2 ) ( x^2 + 5 )

Observe que el factor (x^2 − 2 ) todavía se podría factorizar en (x −√^2 )(x +√^2 ) , que al

no ser raíces racionales, Maxima no factoriza.

1.8 Descomposición en fracciones simples

partfrac( expr, var ) Descompone expr respecto de la variable var

Ya sabemos que si tenemos un cociente de polinomios (^) Q(x)P (x) , es posible descompo- nerlo en una parte entera (polinomio) más sumas de fracciones más simples. Maxima es capaz de hacer esto siempre que sea ca- paz de descomponer Q(x) de forma fac- torial (véanse los comentarios hechos en la sección anterior). Podemos hacerlo desde el menú del Maxima en Análisis— > Frac- ciones simples. Nos sale una ventana donde introducimos la expresión y la variable respecto a la que queremos la descomposición: