Ejercicios resueltos Tema 3. Versi´on 1
1. Calcula los siguientes l
´
ımites:
a) l´ım
x→0
sen x
x
b) l´ım
x→0
ex−1
x
c) l´ım
x→1
ln x
x2+x−2
d) l´ım
x→0
x−sen x
x2
e) l´ım
x→∞
ex
x2
f) l´ım
x→−∞
3x2+2x−1
4x2+6
g) l´ım
x→1−(x2−1) tg πx
2
h) l´ım
x→11
x−1−1
ln x
i) l´ım
x→0+
xx
j) l´ım
x→0(sen x)sen x
SOLUCIONES
1. a) l´ım
x→0
sen x
x=h0
0i
Aplicamos L´Hˆopital:
l´ım
x→0
dsen x/dx
dx/dx = l´ım
x→0
cos x
1=1
1= 1 ⇒l´ım
x→0
sen x
x= 1
b) l´ım
x→0
ex−1
x=h0
0i
l´ım
x→0
ex−1
x
L0H
= l´ım
x→0
ex
1= 1
c) l´ım
x→1
ln x
x2+x−2=∞
∞L0H
= l´ım
x→1
1/x
2x+1 =1
3
d) l´ım
x→0
x−sen x
x2=h0
0iL0H
= l´ım
x→0
1−cos x
2x=h0
0iL0H
= l´ım
x→0
sen x
2= 0
e) l´ım
x→∞
ex
x2=∞
∞L0H
= l´ım
x→∞
ex
2x=∞
∞L0H
= l´ım
x→∞
ex
2=∞
f) l´ım
x→−∞
3x2+2x−1
4x2+6 =∞
∞L0H
= l´ım
x→−∞
6x+2
8x=∞
∞L0H
= l´ım
x→−∞
6
8=3
4
g) l´ım
x→1−(x2−1) tg πx
2= [0.∞] Para aplicar L’Hˆopital tengo que transformar esta indeterminaci´on en
una h0
0io en una ∞
∞:
l´ım
x→1−(x2−1) tg πx
2= l´ım
x→1−
x2−1
1
tg πx
2
= l´ım
x→1−
2x
−1
(tg πx
2)2.1
cos2πx
2
.π
2
= l´ım
x→1−
2x
−π. cos2πx
2
2.sen2πx
2.cos2πx
2
= l´ım
x→1−
−4xsen2πx
2
π=
−4 sen2π
2
π=−4
π
1
