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ECONOMÍA APLICADA IV
GuÌa Matem·ticas II
1 C·lculo Diferencial
1.1 Conceptos fundamentales.
NociÛn de conjunto en IR y IRn. Un conjunto es una colecciÛn de objetos que se denominan elementos.
Para deÖnir un conjunto se especiÖcan sus elementos entre llaves o alternativamente se pueden enumerar las propiedades que cumplen sus elementos. La gran mayorÌa de los conjuntos que se estudiar·n estar·n formados por elementos de IR Û IRn, sobre todo IR^2.
Bolas abiertas. El concepto de bola abierta sirve para referirnos a los puntos que est·n muy cerca de un punto dado. La bola abierta centrada en el punto x de IRn^ y de radio r es el conjunto formado por los puntos que est·n a una distancia del punto x menor que r. Se escribe Br (x), es decir
Br (x) = fy 2 IRn^ = d(x; y) < rg;
donde d(x; y) representa la distancia entre x e y.
En el caso de IR, las bolas son intervalos abiertos centrados en el punto x y en el de IR^2 , corresponden a cÌrculos centrados en x y de radio r.
Punto frontera, punto interior. Un punto frontera de un conjunto A de IRn^ es un punto en el que todas las bolas abiertas centradas en dicho punto tienen elementos que pertenecen al conjunto A y elementos que no pertenecen al conjunto A. Un punto frontera de A puede pertenecer o no al conjunto.
La frontera de un conjunto A es el conjunto de sus puntos frontera y se escribe F r(A).
Un punto interior de un conjunto A de IRn^ es un punto que es del conjunto y no es punto frontera. El conjunto de los puntos interiores de un conjunto A se llama interior de A y se escribe Int(A).
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Conjuntos cerrados, abiertos, acotados y compactos. Los conceptos de conjunto cerrado y abierto son generalizaciones de las nociones de intervalo cerrado y abierto de la recta real.
Un conjunto A de IRn^ se dice que es cerrado si todos los puntos de su frontera pertenecen tambiÈn al conjunto. Un conjunto A de IRn^ se dice que es abierto si no contiene ning˙n punto de su frontera. Puede ocurrir que un conjunto no sea ni abierto ni cerrado. Un conjunto A de IRn^ se dice que es acotado si se puede incluir en una bola abierta centrada en el origen. Puede ocurrir que un conjunto acotado no sea ni abierto ni cerrado. En el caso especial en el que un conjunto A es cerrado y acotado se llama compacto.
Conjuntos convexos. La nociÛn de conjunto convexo es frecuente en los modelos econÛmicos. Recoge la idea de que si dos opciones son factibles, entonces tambiÈn es factible una opciÛn intermedia.
Una combinaciÛn convexa entre dos puntos es cualquier punto que est· en el segmento que los une. Formalmente, un punto z es una combinaciÛn convexa de x e y, si se puede encontrar un n˙mero real 2 [0; 1] tal que z = x + (1 )y.
Un conjunto A de IRn^ se dice que es convexo si todas las combinaciones convexas de cualquier pareja de puntos del conjunto est·n tambiÈn en el conjunto. Es decir, el segmento que une dos puntos del conjunto nunca sale del conjunto.
1.2 FunciÛn real de varias variables.
NociÛn de funciÛn real de varias variables.
Una funciÛn real de dos variables x e y es una forma de asignar a cada elemento (x; y) de un conjunto D de IR^2 un ˙nico n˙mero real z. Se dice que la variable z depende de las variables independientes x e y, y esta dependencia se escribe asÌ: z = f (x; y), o simplemente f (x; y). An·logamente se puede deÖnir una funciÛn de tres o m·s variables.
Dominio.
El dominio, o campo de existencia, de una funciÛn f de varias variables es el conjunto de puntos para los que la funciÛn est· deÖnida. Se suele designar por Dom(f ).
ECONOMÍA APLICADA IV
1.3 LÌmite y continuidad.
LÌmite de una funciÛn de varias variables Se dice que el lÌmite de una funciÛn f (x; y) en un punto (x; y) es un n˙mero , lim(x;y)!(x;y) f (x; y) =; si cuando se toman puntos cada vez m·s prÛximos a (x; y) el valor de la funciÛn en esos puntos se aproxima al valor ` (d
(x; y); (x; y)
tiende a 0 implica d
f (x; y); `
tiende a 0). En general, esta deÖniciÛn resulta poco operativa en la la pr·ctica. De hecho para determinar el lÌmite de una funciÛn resultan ˙tiles las siguientes propiedades que no se demostrar·n.
Operaciones con lÌmites:. Si lim(x;y)!(x;y) f (x; y) = y lim(x;y)!(x;y) g(x; y) =^0 , entonces:
a) (^) (x;ylim)!(x;y)
f (x; y) + g(x; y)
= +^0
b) (^) (x;ylim)!(x;y)
f (x; y) g(x; y)
= ^0
c) (^) (x;ylim)!(x;y) f (x; y) g(x; y) =
d) (^) (x;ylim)!(x;y) f (x; y)=g(x; y) = =^0 siempre que `^0 6 = 0,
e) (^) (x;ylim)!(x;y)
f (x; y)
n = `n, para cualquier n natural.
Hasta aquÌ se han considerado ˙nicamente funciones de dos variables, pero la extensiÛn del concepto de lÌmite y de sus propiedades a funciones con m·s variables es inmediata.
Continuidad de una funciÛn de varias variables. La nociÛn de continuidad para funciÛn de varias variables extiende el mismo concepto ya estudiado para las funciones de una variable. La idea es que una funciÛn f (x; y) es continua en un punto (x; y) si no se producen ìsaltos" o ìfracturas" en los valores de la funciÛn al aproximarse al punto. Es decir, si los valores que toma la funciÛn en puntos cada vez m·s cercanos al punto (x; y) tambiÈn se aproximan al valor f (x; y). Por eso el concepto de continuidad es paralelo al concepto de lÌmite.
Se dice que la funciÛn f (x; y) es continua en el punto (x; y) del dominio si se cumple
(x;y^ lim)!(x;y) f^ (x; y) =^ f^ (x;^ y):
Si una funciÛn no es continua en un punto se dice que es discontinua en dicho punto.
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Cuando una funciÛn es continua en todos los puntos de un conjunto se dicee que es continua en ese conjunto. En la siguiente proposiciÛn se especiÖcan unas reglas que suelen ser ˙tiles para determinar si una funciÛn es continua.
ProposiciÛn: Si dos funciones son continuas, entonces tambiÈn es continua la suma, dife- rencia y multiplicaciÛn de estas funciones, y su cociente tambiÈn es continua si no se anula el denominador. Adem·s la composiciÛn de dos funciones continuas es continua.
Por ejemplo las funciones polinÛmicas, exponenciales y logarÌtmicas son continuas. Y las funciones trigonÛmetricas tambiÈn son continuas donde est·n bien deÖnidas.
1.4 C·lculo diferencial.
DeÖniciÛn de derivada parcial. Sea f : D IR^2! IR y (x; y) 2 Int(D). Llamaremos derivada parcial de la funciÛn f con respecto a la variable x en (x; y), y lo denotamos f 1 (x; y), a la derivada de la funciÛn de una variable resultante de Öjar la otra variable en el valor constante y, si es que existe. Formalmente, f 1 (x; y) = lim h! 0 f^ (x^ +^ h;^ y h)^ ^ f^ (x;^ y);
si existe este lÌmite.
Otras notaciones para la derivada parcial f 1 (x; y) son:
fx(x; y); @f@x (x; y)
An·logamente, llamaremos derivada parcial de la funciÛn f con respecto a la variable y en (x; y), y lo denotamos f 2 (x; y), a la derivada de la funciÛn de una variable resultante de Öjar la otra variable en el valor constante x. Es decir:
f 2 (x; y) = lim h! 0 f^ (x;^ y^ +^ h h)^ ^ f^ (x;^ y);
si existe el lÌmite.
Otras notaciones para la derivada parcial f 2 (x; y) son:
fy (x; y); @f@y (x; y)
Diremos que f es derivable en (x; y) si existen las dos derivadas parciales de la funciÛn f en (x; y):
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Diremos que la funciÛn f : D IR^2! IR es de clase k (k = 1; 2 ; 3 ; : : :) en el recinto D, y lo denotamos f 2 Ck(D), si existen y son continuas todas las derivadas parciales hasta el orden k en todos los puntos de D.
De la deÖniciÛn, se concluye obviamente que si f 2 C^2 (D) entonces f 2 C^1 (D), y si f 2 Ck(D) entonces f 2 Ck ^1 (D):
Teorema(Schwarz) Si f 2 C^2 (D), entonces sus derivadas parciales cruzadas son iguales, es decir, f 12 (x; y) = f 21 (x; y) para todo (x; y) 2 D:
DerivaciÛn logarÌtmica. Ejercicios de aplicaciÛn matem·ticas I (derivaciÛn logarÌtmica con una variable) al caso de m·s de una variable.
La regla de la cadena. Se supone que todas las funciones a las que se reÖere este apartado son de clase C^1. Caso 1: Sea la funciÛn z = f (u; v), donde u = g(x) y v = h(x). Entonces: dz dx =^
@z @u ^ g
(^0) (x) + @z @u ^ h
(^0) (x):
Caso 2: Sea la funciÛn z = f (u), donde u = g(x; y). Entonces: @z @x =^ f^
(^0) (u) @u @x =^ f^
(^0) (u)g 1 (x; y); @z @y =^ f^
(^0) (u) @u @y =^ f^
(^0) (u)g 2 (x; y):
Caso general: Sea la funciÛn z = f (u; v), donde u = g(x; y) y v = h(x; y). Entonces: @z @x =^
@z @u ^
@u @x +^
@z @v ^
@v @x =^ f^1 (u; v)g^1 (x; y) +^ f^2 (u; v)h^1 (x; y); @z @y =^
@z @u ^
@u @y +^
@z @v ^
@v @y =^ f^1 (u; v)g^2 (x; y) +^ f^2 (u; v)h^2 (x; y):
Estas fÛrmulas se extienden de forma inmediata a funciones de m·s variables.
La derivada parcial y la variaciÛn de una funciÛn. De la deÖniciÛn de la derivada parcial se deduce que cuando h es muy pequeÒo, el valor de la expresiÛn cuyo lÌmite es f 1 (x; y) est· muy prÛximo a este lÌmite. Es decir, para valores de h suÖcientemente prÛximos a 0 se cumple: f (x + h; y) f (x; y) h
= f 1 (x; y)
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Por eso se dice que la derivada parcial f 1 (x; y) nos indica aproximadamente la tasa de variaciÛn de la funciÛn f para pequeÒas variaciones en la primera variable.
Vamos a ver que el signo y el valor de las derivadas parciales informan sobre el crecimiento (aumento o disminuciÛn), y la magnitud de la variaciÛn que tiene sobre el valor de la funciÛn un ligero aumento o disminuciÛn de una variable cuando la otra variable permanece constante.
La expresiÛn anterior para valores de h suÖcientemente prÛximos a 0, tambiÈn se puede expresar asÌ
f (x + h; y) f (x; y) = h f 1 (x; y)
Como consecuencia:
Si f 1 (x; y) > 0 , entonces se deduce que: si h > 0 : f (x + h; y) f (x; y) > 0 si h < 0 : f (x + h; y) f (x; y) < 0 O lo que es lo mismo, cuando f 1 (x; y) > 0 , si se aumenta el valor de la primera variable, el valor de la funciÛn tambiÈn aumenta, y si el valor de la primera variable disminuye, tambiÈn disminuye la funciÛn. Si f 1 (x; y) < 0 , entonces se deduce que: si h > 0 : f (x + h; y) f (x; y) < 0 si h < 0 : f (x + h; y) f (x; y) > 0 O equivalentemente, cuando f 1 (x; y) < 0 , al aumentar el valor de la primera variable, el valor de la funciÛn disminuye, y si el valor de la primera variable disminuye, la funciÛn aumenta.
Si f 1 (x; y) = 0, entonces no se puede aÖrmar nada sobre la variaciÛn de la funciÛn.
An·logamente se puede decir que la derivada parcial f 2 (x; y) nos indica aproximadamente la tasa de variaciÛn de la funciÛn f para pequeÒas variaciones en la segunda variable. Razonando de forma an·loga al caso de la derivada parcial respecto de la variable x :
Si f 2 (x; y) > 0 entonces si se aumenta el valor de la segunda variable, el valor de la funciÛn tambiÈn aumenta, y si el valor de la segunda variable disminuye, tambiÈn disminuye la funciÛn.
Si f 2 (x; y) < 0 , al aumentar el valor de la segunda variable, el valor de la funciÛn disminuye, y si el valor de la segunda variable disminuye, la funciÛn aumenta.
Si f 2 (x; y) = 0, entonces no se puede aÖrmar nada sobre la variaciÛn de la funciÛn.
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La derivada direccional de la funciÛn f en la direcciÛn (v 1 ; v 2 ) en el punto (x; y) veriÖca:
Si una direcciÛn forma un ·ngulo de menos de 90 grados con el vector gradiente entonces es una direcciÛn de crecimiento de la funciÛn f en el punto (x; y). Si una direcciÛn forma un ·ngulo de m·s 90 grados con el vector gradiente entonces es una direcciÛn de decrecimiento de la funciÛn f en el punto (x; y).
Si una direcciÛn tiene 90 grados con el vector gradiente entonces no se puede asegurar nada. Si el gradiente es nulo, entonces no se puede asegurar nada.
ProposiciÛn:
Si f 2 (x; y) 6 = 0, entonces la pendiente de la recta tangente a la curva de nivel en el punto (x; y) se calcula como f f^12 ((x;x;yy)) : Si el gradiente es no nulo, entonces el gradiente es un vector perpendicular a la recta tangente a la curva de nivel en el punto (x; y).
1.5 Algunos casos especiales de funciones.
Funciones lineales. Una funciÛn lineal de varias variables tiene la forma
f (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + + anxn:
Es decir es un polinomio de grado 1. Las derivadas parciales de una funciÛn lineal son constantes. Se llama funciÛn afÌn a la suma de una funciÛn lineal y una constante.
Formas cuadr·ticas. Una forma cuadr·tica de varias variables tiene la forma
f (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) =
X^ n i;j=
aij xixj
Funciones homogÈneas. Una funciÛn f (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) se dice que es homogÈnea de grado si para cualquier t > 0 se cumple:
f (tx 1 ; tx 2 ; : : : ; txn) = t f (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn)
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Las funciones lineales son homogÈneas de grado 1 y las formas cuadr·ticas son de grado 2. Si f (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) es homogÈnea de grado , entonces se cumple que las funciones derivadas parciales son homogÈneas de grado 1.
Teorema de Euler: Para que f; de clase C^1 ; sea una funciÛn homogÈnea de grado es necesario y suÖciente que se veriÖque la igualdad:
x 1 f 1 (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) + x 2 f 2 (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) + + xnfn(x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) = f (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn):
