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Derivación Direccional
(Introducción)
¿Cómo cambia el valor de una función multivariable a medida
que mueves el valor de entrada en alguna dirección
específica?
¿Qué vamos a construir?
➢ Si tienes una función de varias variables,
f x y ,
, y un
vector en el espacio de entradas de la función,
v , la
COMPESP N° 01
Define e interpreta la
derivada direcccional.
ACTIVIDAD N° 01
Estudie la siguiente información sobre
derivada direccional de
f
a lo largo del vector
v te dice
la razón de cambio
f
a medida que la entrada se mueve
con el vector de velocidad
v
.
Cambio en la entrada en la dirección de
v
¿Existe alguna operación que nos indique cómo se compara la
altura de la gráfica por encima de la punta de
v con la altura
de la gráfica por encima de su cola?
Cambio en la entrada en la dirección de
v
Como seguro habrás adivinado, hay un nuevo tipo de derivada,
llamada la derivada direccional , que responde esta pregunta.
Igual que como se toma la derivada parcial con respecto a
alguna variable, por ejemplo
x
o
y
, la derivada direccional
se toma a lo largo de algún vector
v en el espacio de entrada.
Una manera muy útil de pensar acerca de esto es imaginar un
punto en el espacio de entrada de la función que se mueve
con una velocidad
v
. La derivada direccional de
f a lo largo
de
v es la razón de cambio resultante en la salida de la
función. Así que, por ejemplo, multiplicar el vector
v
por dos
duplicaría el valor de la derivada direccional, ya que todos los
cambios ocurrirían el doble de rápido.
Notación
Existen varias distintas notaciones para este concepto:
v
f
f
v
v
f
v
f
Por ejemplo, la derivada parcial
f
y
nos da la razón de cambio
f
a medida que movemos la entrada en la dirección de
y
En otras palabras, a medida que nos movemos a lo largo del
vector
j
. Por lo tanto, podríamos escribir la derivada parcial
con respecto a
y
de la siguiente manera: j
f
f
y
=
Simplemente estamos jugando con la notación. Lo más
importante es tener una imagen mental clara de lo que la
notación representa.
Pregunta para Reflexionar
Supón que
v = i + j
. ¿Cuál es tu mejor estimación de
v
f
Respuesta v
f f
f
x y
Cómo calcular la Derivada Direccional
Digamos que tienes una función multivariable
( )
f x y z , ,
que
toma tres variables de entrada,
x y z , ,
, y quieres calcular su
derivada direccional a lo largo del siguiente vector:
v
Resulta que la respuesta es
( )
2 3 1
v
f f f
f
x y z
= + + −
Esto debería tener sentido porque un pequeño
desplazamiento a lo largo del vector
v
se puede dividir en dos
pequeños movimientos en dirección de
x
, en tres en la
dirección de
y
y uno hacia atrás, por
− 1
, en la dirección de
z.
En general, podemos escribir el vector
v de manera abstracta
como sigue:
1
2
3
v
v v
v
=
v
f = f v
Tómate un momento para disfrutar el hecho de que una sola
operación, el gradiente, contiene suficiente información para
calcular la razón de cambio de una función en ¡cualquier
dirección posible! ¡Esas son muchísimas direcciones!
Izquierda, derecha, arriba, abajo, nornoreste,
39 en sentido
de las manecillas del reloj a partir del
eje x
... ¡La locura!
Ejemplo 2
Problema
Eche un vistazo a la siguiente función:
( )
2
f x y , = x − xy
¿Cuál es la derivada direccional de
f
en el punto
( )
en la
dirección del vector
v = 0, 6 i +0,8 j
Solución
Puedes pensar acerca de la derivada direccional como una
suma ponderada de derivadas parciales, como se muestra a
continuación:
0, 6 0,
v
f f
f
x y
= +
O bien, puedes pensar acerca de ella como el producto punto
del gradiente con el vector, como se muestra a continuación:
v
f = f v
La primera notación es más rápida, pero para practicar, vamos
a ver cómo se desarrolla la interpretación del gradiente.
Comenzamos por calcular el propio gradiente:
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
f f
x y x xy
x y
x x
f x y
f f
x
x y x xy
y y
A continuación, sustituye el punto
( )
x y , = (2, −3)
ya que este
es el punto que el problema nos está preguntando.
( )
( ) ( )
f
Corta la gráfica en una dirección que no sea paralela a las direcciones x ó y
Puedes utilizar la derivada direccional, pero hay algo
importante que debes recordar:
Si se usa la derivada direccional para calcular la pendiente,
entonces
v debe ser un vector unitario o debes recordar
dividirlo entre
v
.
En la definición y el cálculo hecho anteriormente, duplicar la
longitud del vector
v
duplicaría el valor de la derivada
direccional. En términos del cálculo, esto se debe a que
f 2 v = 2 f v
Sin embargo, la pendiente de la gráfica en la dirección de
v ,
depende sólo de la dirección de
v
, y no de la magnitud
v
.
Veamos por qué:
¿Cómo podemos imaginar a esta pendiente? Corta la gráfica
de
f
con un plano vertical que corte al
plano xy
en la
dirección de
v
. La pendiente en cuestión es la de una recta
tangente a la curva resultante. Como con cualquier
pendiente, buscamos el desplazamiento vertical entre el
horizontal.
Calcular la pendiente usando la Derivada Direccional
Se observa que si
v es un vector unitario, o sea que
v = 1
,
entonces la derivada direccional sí da la pendiente de la
gráfica a lo largo de esa dirección. De lo contrario, es
importante recordar dividir entre la magnitud de
v
.
Algunos autores van tan lejos que incluyen la normalización
en la definición de
v
f
Definición alternativa de la Derivada
Direccional
0
lim
v
h
f x hv f x
f x
h v
→
=
Personalmente, creo que esta definición pone demasiado
énfasis en el caso de uso particular de encontrar la pendiente,
así que prefiero usar la definición original y normalizar
v
cuando sea necesario.
Ejemplo 3 Pendiente
Problema
En el escenario para este problema tenemos tres jugadores.
Jugador 1 , la función:
( ) ( )
f x y , =sin xy
Jugador 2 , el punto:
( )
0 0
x y
Jugador 3 , el vector:
v = 2 i + 3 j
¿Cuál es la pendiente de la gráfica de
f
en el punto
( )
0 0
x , y
a lo largo del vector
v
?
Solución
Como estamos buscando la pendiente, primero debemos
normalizar el vector dado. La magnitud
2 2
v = 2 + 3 = 13
,
2 3
13 13
v
u i j
v
= = +
y
3
1
4
,
3 2
3
6
f
=
Procediendo se tiene lo siguiente:
( )
3
2 13 1 3 1 2 3
4
,.
3 2 13 13 2 13 3 3 13
6
f i j
+ = =
Resumen
➢ Si tienes una función de varias variables,
( )
f x y ,
, y un
vector en el espacio de entradas de la función,
v
, la
derivada direccional de
f
a lo largo del vector
v
te dice
la razón de cambio
f
a medida que la entrada se mueve
con el vector de velocidad
v
.
➢ La notación aquí es
v
f
, y se calcula al tomar el
producto punto entre el gradiente de
f
y el vector
v .
➢ Cuando uses la derivada direccional para calcular la
pendiente, primero asegúrate de normalizar el vector
v
.
