¡Descarga Determinantes: Definición, propiedades y cálculo - Prof. Méndez Naya y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!
Tema 3: Determinantes
O determinante asocia a cada matriz cadrada un número real que denotaremos || ou
det() Eludiremos a definición rigorosa de determinante na que interveñen as permutacións, limi-
tándonos a dar as regras para o seu cálculo.
1 Cálculo de determinantes
1.1 Determinante de orde 2
1.2 Determinante de orde 3
Para recordar a expresión anterior utilizaremos unha regra, coñecida co nome de regra de
Sarrus, a cal se pode esquematizar da seguinte maneira:
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
Factores
con signo +
a 11 a 12 a (^13)
a 21 a 22 a (^23)
a 31 a 32 a (^33)
Factores
con signo -
Vemos que en dita suma aparecen todos os posibles produtos que se poden formar tomando un
elemento de cada fila e un de cada columna. Coa notación empregada, estanse tomando os elementos
ordenados por filas segundo a orde natural e variando de todas as maneiras posibles os índices de
columnas.
1.3 Determinante de orde superior a 3
Para determinantes de orde superior a tres non se usa unha regra de cálculo directa xa que o cómputo
é excesivamente longo e laborioso. Para calculalos utilizaremos o desenvolvemento do determinante
polos adxuntos dunha fila ou dunha columna, que permite reducir a orde do determinante unha
unidade en cada paso.
Definición 1 Sexa = ( ) ∈ Chámaselle menor complementario de e denótase
∗ ,
ao determinante da submatriz resultante de eliminar na matriz a fila -ésima e a columna -ésima.
Definición 2 Sexa = ( ) ∈ Chámaselle adxunto ou cofactor de a = (−1)
+
∗
Definición 3 Sexa = ( ) ∈ Denomínase adxunta de á matriz que ten por elementos os
adxuntos dos elementos de
1.3.1 Desenvolvemento por adxuntos dun determinante
Teorema 4 Sexa ∈ O determinante de é igual á suma dos produtos dos elementos dunha
fila ou columna polos seus respectivos adxuntos.
X^
=
(desenvolvemento do determinante de polos adxuntos da
-ésima fila).
X^
=
(desenvolvemento do determinante de polos adxuntos da
-ésima columna).
Exemplo 5 Calcular o seguinte determinante
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 0 1 − 1
2 3 0 − 1
Para facer o desenvolvemento por adxuntos utilizaremos sempre a fila ou columna que teña mais
ceros. Neste caso utilizaremos os adxuntos da segunda columna. Así:
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 0 1 − 1
2+ 3
4+ 1
2 Propiedades dos determinantes
- O intercambio de filas e columnas non afecta ao valor do determinante. É dicir, o determinante
dunha matriz e o da súa trasposta coinciden
Nótese que como consecuencia desta propiedade, calquera outra que se verifique para as filas,
tamén é certa para as columnas. Por isto, no que segue, enunciaranse unicamente para as filas.
- O intercambio de dúas filas calquera cambia o signo do determinante.
- Se unha fila ten todos os elementos iguais a cero, o determinante vale cero.
- Se a matriz posúe dúas filas iguais, o seu determinante vale cero.
- Se multiplicamos todos os elementos dunha fila dunha matriz por un escalar, o determinante
da matriz resultante é o da matriz orixinal multiplicado polo escalar. Como consecuencia tense
que
|| ∀ ∈
- Se unha fila é múltiplo doutra, o determinante vale cero.
construímos a matriz que ten por coeficientes as coordenadas dos vectores e calculamos o seu rango.
Este nos dará o número de vectores linealmente independentes.
⎛
Para calcular o rango da matriz, observamos que existen elementos non nulos, empezando polo
11 = 1 Orlamos este menor de orde 1 engadindo elementos da segunda fila e da segunda columna e
calculamos o determinante de orde 2 resultante:
¯ ¯ ¯ ¯
Posto que encontramos un menor de orde 2 non nulo, o rango será polo menos 2; é dicir, hai polo
menos dous vectores linealmente independentes. Orlamos este menor engadindo a terceira fila e a
terceira columna e obtemos (^) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
Dado que este menor de orde 3 é nulo, orlamos o menor de orde 2 coa cuarta fila e a terceira columna
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 − 1 6
Non existe ningún menor de orde 3 non nulo, logo o rango é 2. Só hai dous vectores linealmente
independentes e polo tanto o sistema de vectores é linealmente dependente.
4 Cálculo da inversa dunha matriz
Teorema 9 Sexa = ( ) ∈ invertible se e só se || 6 = 0 Ademais, se é invertible, entón
− 1
[()]
Exemplo 10 Calcular a inversa da matriz
O primeiro que facemos é comprobar que || = 6 6 = 0 e, polo tanto, a matriz é invertible. A
continuación calculamos a matriz adxunta:
Logo
[()]
e, polo tanto,
− 1
Problemas propostos do tema 3
- Calcular o valor dos seguintes determinantes:
(a)
(b)
- Empregar as propiedades dos determinantes para calcular os seguintes:
(a)
(b)
(c)
(d)
Solucións:
- (a) − 8 (b) 6
- (a) 1 2 · · · (b) 0 (c) 0 (d) 0
- (a) 3
2 (b) 2
− 1 3 (c) 18 (d)
− 1
− 1
− 1
- Non existe
− 1 cando = 0 Existe
− 1 para calquera ∈
- (a) e (b) Linealmente dependentes, (c) linealmente independentes.
- (a) 1 = {( ) ∈
3 20 + 9 − 4 = 0}
(b) 2 = {( ) ∈
4 3 + 5 − = 0 − = 0}
