Formulari de Matem`atiques: models matricials
J. Ripoll, Universitat de Girona, Facultat de Ciencies.
1. El rang d’una matriu, rang(A), ´es el m`axim n´umero de files (o columnes) linealment independents.
2. Determinant i inversa 2 ×2: a c
b d −1
=1
det d−c
−b a ,det = a d −b c.
3. Determinant i inversa 3 ×3:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
−1
=1
det
A1−A2A3
−B1B2−B3
C1−C2C3
T
,
adjunts:A1=
b2b3
c2c3
,A2=
b1b3
c1c3
,A3=
b1b2
c1c2
,. . . . det = (a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3)
−(a3b2c1+b3c2a1+c3a2b1).
4. El determinant d’una matriu triangular (L, U oD) ´es el producte dels elements de la diagonal principal.
5. La inversa d’una matriu triangular (L, U oD= (di)) tamb´e ´es triangular (L−1, U −1oD−1= (1/di)).
6. Vector amb origen Pi extrem Q:−−→
P Q =Q−P.
7. `
Area determinada per dos vectors al pla: |det(~u,~v)|. Triangle: (1/2) paral·lelogram.
Exemple: l’`area del triangle de v`ertexs P= (−4,−2), Q= (8,4) i R= (3,8) ´es |det(−−→
P Q, −→
P R)|/2 = 39.
8. Volum determinat per tres vectors a l’espai: |det(~u, ~v , ~w)|. Tetraedre: (1/6) paral·lelep´ıpede.
Exemple: el tetraedre de v`ertexs P= (−1,0,−3), Q= (1,−2,−1), R= (8,1,4) i S= (3,8,1) t´e un
volum de |det(−−→
P Q, −→
P R, −→
P S)|/6 = 8.
9. Propietats: det(A·B) = det(A)·det(B), det(A·B−1) = det(A)
det(B),det(c A) = cn·det(A),det(A) = det(AT).
10. N´umero de solucions d’un sistema lineal: o no t´e soluci´o, o t´e soluci´o ´unica, o t´e infinites solucions.
11. Sistemes lineals quadrats: si det 6= 0, soluci´o ´unica; si det = 0, infinites solucions o no t´e soluci´o.
12. Sistemes lineals quadrats homogenis: si det 6= 0, soluci´o ´unica ~x =~
0; si det = 0, infinites solucions.
13. La tra¸ca d’una matriu, tr(A), ´es la suma dels elements de la diagonal principal.
14. Definici´o de vector propi ~v i valor propi λd’una matriu A:A~v −λ~v =~
0, ´es a dir, un vector no-nul
que al multiplicar per la matriu d´ona un m´ultiple del vector A ~v =λ~v.
15. C`alcul dels vaps λk: resoldre l’equaci´o caracter´ıstica det(A−λI d) = 0. 2×2: equaci´o de segon grau
λ2−tr(A)λ+ det(A) = 0. 3 ×3: equaci´o c´ubica (un factor com´u i una equaci´o de 2n grau).
Exemple: la matriu 1−1
2 4 t´e tr(A) = 5 i det(A) = 6, llavors λ2−5λ+6 = 0 i vaps λ1= 2,λ2= 3.
16. C`alcul dels veps ~vk: per cada vap λkresoldre el sistema lineal homogeni (A−λkId)~x =~
0 i triar
una de les infinites solucions no-nul·les ~vk=~x. En dimensi´o 2 i 3:
a−λkc
b d −λk x
y=0
0.
a1−λka2a3
b1b2−λkb3
c1c2c3−λk
x
y
z
=
0
0
0
17. Suma dels vaps: λ1+. . . +λn= tr(A) i producte dels vaps: λ1·. . . ·λn= det(A).
18. Els vaps d’una matriu triangular (L, U oD) son els elements de la diagonal principal.
