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E.P.S. DE JAÉN. DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICAS AREA DE ÁLGEBRA. CURSO 2000/01.
EXAMEN DE ÁLGEBRA I.
INGENIERÍA TÉCNICA DE INFORMÁTICA DE GESTIÓN.
3 DE FEBRERO DE 2001.
1.- (a) Comprobar si la siguiente argumentación es válida o inválida: ((p∧q) → (r∨s)), (q↔p), (r→q); ∴ (r→s).
(b) Dada la siguiente correspondencia: f: Z 2 x Z 4 → Z 2 definida por f(x, y) = xy. Comprobar si es una aplicación y si lo es comprobar si es inyectiva y si es sobreyectiva.
2.- (a) Dada la función boolena g: B 2 x B 2 → B 2 definida por: g(x,y)=1 si x=y, g(x,y)=0 en otro caso, se define f: B 2 x B 2 x B 2 → B 2 por f(x,y,z) = x↑ (g(y,z)). Calcular:
a.1)Tabla de verdad de f. a.2)Forma canónica en maxtérminos y mintérminos de f. a.3)Polinomio de Gegalkine de f a.4) Dibujar un circuito que represente a f.
(b) Razona tu respuesta, ¿es (Z 2 , +, ·) una Algebra de Boole?
3.- (a) Resuelve y calcula todas las soluciones del siguiente sistema de congruencias:
x ≡ 0 mod 2 2+x ≡ -3 mod 3 -10x ≡ 6 mod 1001
(b) Dados los siguientes polinomios:
P(x) = 7x^4 + 42x^3 + 70x^2 + 42x + 63 Q(x) = x^4 – 2x^3 –14x^2 –2x –
Factorizarlos y calcular m.c.d y m.c.m en Z 2 [x], Z[x], Q[x], R[x] y C[x].
E.P.S. DE JAÉN. DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICAS AREA DE ÁLGEBRA. CURSO 2000/01.
EXAMEN DE PRACTICAS DE ÁLGEBRA I.
INGENIERÍA TÉCNICA DE INFORMÁTICA DE GESTIÓN.
17 DE JULIO DE 2001.
NOMBRE:____________________________________________________________
1.- Comprobar si la siguiente argumentación es válida o inválida: ((p∧q) → (r∞s)), (q↔p), (r→q); ∴ (r→s).
2.- Resuelve y calcula todas las soluciones del siguiente sistema de congruencias:
x ≡ 0 mod 2 2+x ≡ -3 mod 3 -10x ≡ 6 mod 101
E.P.S. DE JAÉN. DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICAS AREA DE ÁLGEBRA. CURSO 2000/01.
EXAMEN DE ÁLGEBRA I.
INGENIERÍA TÉCNICA DE INFORMÁTICA DE GESTIÓN.
8 DE SEPTIEMBRE DE 2001.
1.- Razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
(a) Dada una aplicación f: X → Y entre dos conjuntos arbitrarios y dados A, B ⊆ X se tiene: f* (A ∪ B) = f* (A) ∪ f* (B).
(b) En un conjunto bien ordenado los minimales son los mínimos.
(c) 2 [x] es un cuerpo.
(d) [x] es un cuerpo.
2.- (a) Calcular la forma normal conjuntiva y la forma normal disyuntiva de la siguiente expresión: (p → q) ∧ (r ↓ (∼ q))
(b) En un álgebra de Boole (L, ∧,∨) se define la siguiente operación:
a ⊗ b = ( a ∧b ) ∨ ( b ∧a ) Se pide: (b.1) ¿Es la operación ⊗ una ley de composición interna? (b.2) Demostrar que (a ⊗ b) = (a ∨ b) ∧ (b ∨a ), para cualquier a, b ∈ L. (b.3) Demostrar que (a ∨ c ) ⊗ (b ∨ c) = (a ⊗ b) ∧c, para cualquier a, b y c ∈ L.
3.- Un grupo de arqueólogos ha descubierto recientemente un manuscrito del famoso profeta Nosotrum, en el nos predice el año en el que tendrá lugar el fin del mundo y dice así: “El final de los días tendrá lugar en un año par para el mundo occidental. 730 días después de dicha fecha, nadie quedara sobre la faz de la tierra para comprobar que en este día, el año hubiese sido múltiplo de 3. El año de mi nacimiento estará relacionado con el Apocalipsis pues sobraran 600 años para que dicho año sea un múltiplo de mi nacimiento” Sabiendo que Nosotrum nació en el año 1001 después de Cristo y que era muy aficionado a las matemáticas, ¿sabrías decirnos en que año predecía que tendrá lugar el fin del mundo? Según ultimas informaciones se equivoco en +600 años. ¿En que año será el fin del mundo?
EXAMEN DE ÁLGEBRA I.
INGENIERÍA TÉCNICA DE INFORMÁTICA DE GESTIÓN.
8 DE FEBRERO DE 2002.
Apellidos y nombre:____________________________________________________
Señalar con una cruz los ejercicios de prácticas realizados y anotar la hora.
1.- (a) Dadas las siguientes proposiciones: (1) “Si x es un número real y z es un número entero, entonces y es racional si, y solo si z no es entero” (2) “Ningún número no nulo es a la vez positivo y negativo” Se pide: (a.1) Obtener el esqueleto lógico de (1) ¿Es una tautología, o una contradicción? (a.2) Calcular una forma enunciativa en la que solo figure las conectivas {∼, ∨}. (a.3) ¿Es la forma enunciativa obtenida en (a.1) equivalente a B: ((∼p) ∨ ( ∼q) ∨ ( ∼r))? ¿Quién es B? (a.4) Simbolizar el enunciado (2) usando el cuantificador universal y elexistencial.
(b) Diseñar un circuito que tenga como salida el número resultante de sumar tres números cualesquiera en Ù 2.
2.- Enunciar el teorema de descomposición canónica de una aplicación. Aplicarlo, si es posible, para calcular la descomposición canónica de la correspondencia dada en el siguiente grafico de las calificaciones obtenidas por los alumnos de una academia.
3.- (a) Calcula todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones en Ù 233 :
7x – 3y = 150 15x + 24y = 20
(b) Dados los siguientes polinomios:
p(x) = 2x^4 + 5x^3 + 6x^2 + 4x + 1 q(x) = 4x^6 + 8x^5 + 5x^4 – x^3 – 4x^2 – x + 1
(b.1) Calcular utilizando el algoritmo de Euclides el m.c.d. de p(x) y q(x) en Ù 3 [x].
Hora: Ejer. 1 Ejer. 2
Rosa Chenoa Manu
David Busta Veronica
Nina
Aprobado
Suspenso
Sobresaliente
Notable
E.P.S. DE JAÉN. DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICAS AREA DE ÁLGEBRA. CURSO 2002/03.
EXAMEN DE ÁLGEBRA I.
INGENIERÍA TÉCNICA DE INFORMÁTICA DE GESTIÓN.
13 DE FEBRERO DE 2003.
1.- (a) Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los polinomios p(x) = x^4 – 3x^2 – 4 q(x) = x^3 - 2x^2 + 1 en los anillos de polinomios Z[x] y Z 5 [x].
(b) Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a. La siguiente argumentación es válida: p∧q → r, (q↔p), p; ∴ r. b. Todo retículo con 0 y 1 es complementado. c. Los divisores positivos de 24 forman una álgebra de Boole con la relación de orden: a≤b si y sólo si a|b
2.- i.) Enuncia el Teorema de Descomposición Canónica. ii.) Sea f : Zn →Zm una correspondencia definida por f ( x)=x con m,n∈Z y m,n >1.
- Demostrar que si m|n entonces f es aplicación.
- Comprobar si f es inyectiva o sobreyectiva.
- Dada la siguiente relación de equivalencia definida en Zn x Ry⇔ x ≡ ymod m Comprobar que Zn/R y Zm son dos conjuntos biyectivos.
3.- Enuncia el Teorema Chino del Resto y utilízalo para resolver el siguiente problema: “En la Universidad de Jaén hay tres grupos de Informática, dos por la mañana y uno con turno de tarde, los dos grupos de la mañana juntos tienen el triple de alumnos que el grupo de tarde. En las aulas de ordenador cogen sólo 35 alumnos y todos los grupos de prácticas están completos excepto uno donde sobran 18 plazas. Sabiendo que el doble del número de alumnos matriculados es un múltiplo de 9 y que hay más de 1000 y menos de 2000 alumnos matriculados. ¿Cuántos alumnos hay matriculados en Informática?”
E.P.S. DE JAÉN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AREA DE ÁLGEBRA CURSO 2002/
EXAMEN DE ÁLGEBRA I
INGENIERÍA TÉCNICA INFORMÁTICA DE GESTIÓN
10 DE JULIO DE 2003
(A) Dados A, B, C subconjuntos de un conjunto arbitrario X, demostrar (A ∩ B)’ ∪ C’ = (A ∩ B ∩ C)’ (Nota: A’ = A = Ac, complementario de A).
(B) Dadas f: X → Y y g: Y → Z dos aplicaciones, demostrar:
(a) Si (g o f) es inyectiva entonces f es inyectiva,
(b) Si (g o f) es sobreyectiva entonces g es sobreyectiva.
2.-
(A) ¿Son las siguientes formas enunciativas lógicamente equivalentes A: (p → r) ∧ (r ↓ (∼ q)) y B: (p ↓ r) ∧ q? (Usar leyes de manipulación y sustitución).
(B) Diseñar y dibujar un circuito que detecte si los números enteros comprendidos entre 0 y 15 son múltiplos de 5 y de 7.
3.-
(A) Calcular el inverso de la clase del 27 en 1001. ¿Es congruente con 27 módulo 39?
(B) Dados los polinomios p(x) = x^7 + 2x^3 – x^2 – 5x y q(x) = x^2 + 8, usar el algoritmo de Euclides para calcular el m.c.d. y el m.c.m. de p(x) y q(x) en 7 [x].
E.P.S. DE JAÉN. DEPARTEMENTO DE MATEMÁTICAS AREA DE ÁLGEBRA. CURSO 2002/03.
EXAMEN DE ÁLGEBRA I.
INGENIERÍA TÉCNICA DE INFORMÁTICA DE GESTIÓN.
17 DE SEPTIEMBRE DE 2003.
1.- A. Se tienen las siguientes premisas:
Si Fernando tiene suerte y llueve entonces estudia. Fernando aprobará si y sólo si estudia o tiene suerte. Si Fernando no tiene suerte entonces no llueve.
Sabiendo que llueve, utilizar la lógica proposicional para responder a las siguientes preguntas: ¿Aprobará Fernando? ¿Tendrá suerte Fernando?
B. Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Z 3 [x] es un dominio de integridad. b) Z 3 [x] es un cuerpo. c) Si a∈Z es par y b∈Z es impar entonces (a, b)=(a/2,b).
2.- A. Definir el concepto de partición de un conjunto y calcular una partición del conjunto de los números naturales que tenga más de 4 conjuntos.
B. Si D es el conjunto de divisores positivos de 30 y consideramos el conjunto A = D-{1,15,30} con la relación de orden: a ≤ b ⇔ a|b Calcular máximos, mínimos, elementos maximales y minimales de A.
3.- Enuncia el Teorema Chino del Resto y utilízalo para resolver el siguiente sistema de congruencias:
3x + 3 ≡ -5 mod 4 2x ≡ -18 mod 9 x – 16 ≡ 1 mod 35
Calcular todas las soluciones que en base 5 tienen 5 cifras y sean positivas.
E.P.S. DE JAÉN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ÁREA DE ÁLGEBRA CURSO 2003/
EXAMEN DE ÁLGEBRA I
INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN
17 DE FEBRERO DE 2004
- Dado el conjunto G = {(x, y) / x^2 + y^2 = 16}. Se pide:
(a) Estudiar si G es un grafo de una correspondencia de Ñ en Ñ. En caso contrario reducir G para que lo sea. (b) Estudiar si la correspondencia del apartado (a) es una aplicación. En otro caso, reducir dominio y/o codominio para que lo sea. (c) ¿Es la aplicación obtenida en el apartado (b) inyectiva? En caso contrario, reducir dominio y/o codominio para que lo sea. (d) ¿Es sobreyectiva?. Reducir dominio y/o codominio para que lo sea.
(a) Obtener una forma enunciativa equivalente a A: (((∼p) ∧ q) ↓ (r ∨ s)) en la que solo aparezcan las conectivas {∼, →}.
(b) Definir una estructura de retículo en el conjunto de todos los múltiplos enteros de 6. ¿Es la estructura que acabas de definir un álgebra de Boole?
(c) Utilizar el sistema de numeración binario para diseñar un circuito que describa la siguiente aplicación f: Ù 7 → Ù 7 definida por f(u ) = u +1. (No es necesario dibujarlo).
(a) Pepito acaba de terminar sus estudios. Como aun no tiene trabajo y su padre está muy mayor decide hacerse cargo de la granja que está a su cuidado y así darle un descanso. Pepito nunca se ha dedicado a esto, solo sabe que tiene gallinas y cerdos y según le dijo su padre cada gallina pone una media de 7 huevos a la semana. El domingo pasado tocó matanza, después de la matanza el número de jamones más el número de paletillas menos el número de huevos que han puesto las gallinas durante la semana fue 17. Sabiendo que necesitó 8 cartones de huevos y que en la granja no cogen mas de 50 cerdos, ¿cuántos kilos de sal necesita comprar Pepito si cada jamón usa el doble de sal que una paletilla? Nota: Para salar una paletilla son necesarios 3 kg de sal y en cada cartón cogen 24 huevos.
(b) Dados los siguientes polinomios: p(x) = 5x^4 + 4x^3 + x^2 – 2x – 3 q(x) = 2x^4 – 2x^3 –10x^2 –2x –
Calcular el m.c.d. y m.c.m. en Z 5 [x] usando el algoritmo de Euclides.
E.P.S. DE JAÉN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AREA DE ÁLGEBRA CURSO 2003/
EXAMEN DE ÁLGEBRA I
INGENIERÍA TÉCNICA INFORMÁTICA DE GESTIÓN
14 DE JULIO DE 2004
Enunciar el teorema de descomposición canónica y aplicarlo si es posible a la terna ( , , G) donde es el conjunto de los números enteros y G = {(x, | x – 3|) / x ∈ } (Nota: | x | es el valor absoluto de x).
2.-
(A) Sabiendo: “La página web de la titulación tiene una errata o bien el examen de Álgebra I no es el 2 de julio. Si el examen es el 2 de Julio, el manual de la universidad tiene una errata. El examen de Álgebra I es el 14 de julio si y solo si el manual tiene una errata y el periodo de exámenes no termina el 10 de julio. Teniendo en cuenta que le periodo de exámenes termina el 10 de julio y que el manual tiene una errata.” Usar la validez o invalidez de las argumentaciones para deducir la veracidad o falsedad de los siguientes enunciados: (i) El examen de Álgebra I es el 2 de julio. (ii) Si la página web de la titulación no tiene una errata, entonces el examen de Álgebra I es el 14 de julio.
(B) Razonar si ( 2 [x], +, .) es un álgebra de Boole.
3.- (A) Calcular todas las soluciones del siguiente sistema de congruencias: 25 x ≡ -1 mod 8 10 + x ≡ 15 mod 27 29 x ≡ -3 mod 1001
(B) Dados los polinomios p(x) = 3x^3 + k x^2 – 5x + 5 y q(x) = -6x + 5, a) Determinar el valor o los valores de k para los cuales q(x) es divisor de p(x) en 7 [x]. b) Para el valor k obtenido factorizar p(x) y q(x) en 7 [x] y en [x], calcular el m.c.d{p(x), q(x)} y el m.c.m{p(x), q(x)}.
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EXAMEN DE ÁLGEBRA I
INGENIERÍA TÉCNICA INFORMÁTICA DE GESTIÓN
14 DE JULIO DE 2004
Enunciar el teorema de descomposición canónica y aplicarlo si es posible a la terna ( , , G) donde es el conjunto de los números enteros y G = {(x, | x – 3|) / x ∈ } (Nota: | x | es el valor absoluto de x).
2.-
(A) Sabiendo: “La página web de la titulación tiene una errata o bien el examen de Álgebra I no es el 2 de julio. Si el examen es el 2 de Julio, el manual de la universidad tiene una errata. El examen de Álgebra I es el 14 de julio si y solo si el manual tiene una errata y el periodo de exámenes no termina el 10 de julio. Teniendo en cuenta que le periodo de exámenes termina el 10 de julio y que el manual tiene una errata.” Usar la validez o invalidez de las argumentaciones para deducir la veracidad o falsedad de los siguientes enunciados: (i) El examen de Álgebra I es el 2 de julio. (ii) Si la página web de la titulación no tiene una errata, entonces el examen de Álgebra I es el 14 de julio.
(B) Razonar si ( 2 [x], +, .) es un álgebra de Boole.
3.- (A) Calcular todas las soluciones del siguiente sistema de congruencias: 25 x ≡ -1 mod 8 10 + x ≡ 15 mod 27 29 x ≡ -3 mod 1001
(B) Dados los polinomios p(x) = 3x^3 + k x^2 – 5x + 5 y q(x) = -6x + 5, a) Determinar el valor o los valores de k para los cuales q(x) es divisor de p(x) en 7 [x]. b) Para el valor k obtenido factorizar p(x) y q(x) en 7 [x] y en [x], calcular el m.c.d{p(x), q(x)} y el m.c.m{p(x), q(x)}.
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EXAMEN DE ÁLGEBRA I
INGENIERÍA TÉCNICA INFORMÁTICA DE GESTIÓN
23 DE FEBRERO DE 2005
1.- Usar la lógica proposicional sin utilizar tablas de verdad para resolver el siguiente problema:
Para aprobar las prácticas de Álgebra I cada alumno debe asistir a clase, hacer un cuaderno de prácticas aceptable y demostrar que dicho cuaderno de prácticas había sido hecho por el alumno mediante una prueba escrita; o hacer un cuaderno de prácticas aceptable y superar el examen final.
(a) Pepito hizo un cuaderno de prácticas aceptable pero no demostró que lo hizo él en la prueba escrita. Sabiendo que Pepito superó el examen final, ¿aprobó Pepito las prácticas? (b) Juanito asistió a clase, hizo una patata de cuaderno pero hizo bien la prueba escrita donde demostraba que él era el autor del cuaderno. Juanito también aprobó el examen final, ¿aprobará las prácticas Juanito?
2.- (a) Calcular la expresión de una función booleana de 3 entradas x,y,z que calcule el cociente y el resto que resulta al dividir un número natural menor estrictamente que 8 entre 2.
Nota: Utilizar el sistema de numeración binario. No es necesario dibujar el circuito.
(b) Definir partes de un conjunto X. ¿Cómo debe ser una familia de elementos de P(X) para ser una partición de X? Para X=Zp encuentra una partición con al menos 5 elementos, sabiendo que p¥7.
3.- (a) Definir los conceptos de polinomio, anillo, cuerpo, retículo y álgebra de Boole y usarlos para discutir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
I. Todo anillo de polinomios es un dominio de integridad. II. El máximo común divisor en Z 3 [x] de los polinomios p(x) = 2x^2 -x+2 y q(x) = x^3 -2x^2 +x es 2x +1. III. Todo cuerpo es un retículo. IV. Toda álgebra de Boole es un retículo. (b) Demostrar que para cada nœZ, n(4n^2 - 1)
es un múltiplo de 3.
E.P.S. DE JAÉN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AREA DE ÁLGEBRA CURSO 2004/
EXAMEN DE ÁLGEBRA I
INGENIERÍA TÉCNICA INFORMÁTICA DE GESTIÓN
15 DE JUNIO DE 2005
(A) Dada la forma enunciativa A: (p ↓ q) ↔ r, buscar formas enunciativas lógicamente equivalentes a la anterior en las que solo aparezcan las conectivas: A.1 {∼, ∧, ∨} A.2 {∼, →} A.3 {↓, ↑}
(B) Resolver el siguiente sistema de congruencias, calculando todas sus soluciones x ≡ 7 mod 4 x ≡ -6 mod 9 3x ≡ 5 mod 25 x-76 ≡ 2 mod 77
2.- Sea f: X → Y una aplicación. Definir aplicación inyectiva, aplicación sobreyectiva y aplicación biyectiva. Comprobar si son ciertos los siguientes enunciados:
a) Si f es inyectiva entonces (f o g) = (f o h) ⇒ g = h, para cualesquiera aplicaciones g, h: Z → X. b) Si f es sobreyectiva entonces f(f(C)) = C, para cualquier C ⊆ Y.
3.- (A) Enuncia el teorema de estructura de las álgebras de Boole finitas y sus consecuencias y utilízalos para deducir la veracidad o falsedad de las siguientes cuestiones: a. Existen 16 álgebras de Boole distintas con 30 elementos. b. El conjunto de los divisores positivos de 110 con la relación binaria siguiente a R b ⇔ a | b es una álgebra de Boole. c. El álgebra de Boole de los divisores positivos de 50 es isomorfa al álgebra de Boole ( 2 )^2. d. El conjunto de las partes del conjunto de los divisores primos positivos de 50 es un álgebra de Boole.
(B) Dados los polinomios p(x) = x^5 - 2x^3 – x^2 – 5x y q(x) = x^2 + x – 7, usar el algoritmo de Euclides para calcular el m.c.d. y el m.c.m. de p(x) y q(x) en 5 [x].
E.P.S. DE JAÉN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AREA DE ÁLGEBRA CURSO 2004/
EXAMEN DE ÁLGEBRA I
INGENIERÍA TÉCNICA INFORMÁTICA DE GESTIÓN
15 DE JUNIO DE 2005
(A) Dada la forma enunciativa A: (p ↓ q) ↔ r, buscar formas enunciativas lógicamente equivalentes a la anterior en las que solo aparezcan las conectivas: A.1 {∼, ∧, ∨} A.2 {∼, →} A.3 {↓, ↑}
(B) Resolver el siguiente sistema de congruencias, calculando todas sus soluciones x ≡ 7 mod 4 x ≡ -6 mod 9 3x ≡ 5 mod 25 x-76 ≡ 2 mod 77
2.- Sea f: X → Y una aplicación. Definir aplicación inyectiva, aplicación sobreyectiva y aplicación biyectiva. Comprobar si son ciertos los siguientes enunciados:
a) Si f es inyectiva entonces (f o g) = (f o h) ⇒ g = h, para cualesquiera aplicaciones g, h: Z → X. b) Si f es sobreyectiva entonces f(f(C)) = C, para cualquier C ⊆ Y.
3.- (A) Enuncia el teorema de estructura de las álgebras de Boole finitas y sus consecuencias y utilízalos para deducir la veracidad o falsedad de las siguientes cuestiones: a. Existen 16 álgebras de Boole distintas con 30 elementos. b. El conjunto de los divisores positivos de 110 con la relación binaria siguiente a R b ⇔ a | b es una álgebra de Boole. c. El álgebra de Boole de los divisores positivos de 50 es isomorfa al álgebra de Boole ( 2 )^2. d. El conjunto de las partes del conjunto de los divisores primos positivos de 50 es un álgebra de Boole.
(B) Dados los polinomios p(x) = x^5 - 2x^3 – x^2 – 5x y q(x) = x^2 + x – 7, usar el algoritmo de Euclides para calcular el m.c.d. y el m.c.m. de p(x) y q(x) en 5 [x].
