Matemática Discreta, Apuntes de Matemática Discreta

¡Descarga Matemática Discreta y más Apuntes en PDF de Matemática Discreta solo en Docsity!

......

MATEM´ATICA DISCRETA I

RELACIONES

Facultad de Inform´atica (UPM)

Grupo 1S1M-MI

......

Relaciones Relaciones

Relaciones

Una relaci´on R de un conjunto A en otro B es un subconjuto del producto cartesiano AxB. Si B = A decimos que R es una relaci´on en A. . Propiedades

..

Dada una relaci´on R  A  A , se tiene que: (a) R es reflexiva si para todo a 2 A, (a, a) 2 R. (b) R es sim´etrica si (a, b) 2 R )(b, a) 2 R. (c) R es transitiva si (a, b) y (b, c) 2 R )(a, c) 2 R. (d) R es antisim´etrica si (a, b), (b, a) 2 R ) a = b.

......

Relaciones Relaciones

Relaciones de equivalencia

Definici´on

..

Una relaci´on R en un conjunto A es una relaci´on de equivalencia si y solo si es reflexiva , sim´etrica y transitiva. Dada R relaci´on de equivalencia en A y dado a 2 A se llama clase de a al conjunto [a] = fb 2 A j bRag. Cualquier elemento de [a] es un representante de la clase. Se llama conjunto cociente de A respecto de R al conjunto formado por las clases de equivalencia, esto es,

A/R = f[a] j a 2 Ag.

......

Relaciones Relaciones

Ejemplos de relaciones de equivalencia

Ejemplos

..

i) Dado P conjunto de rectas del plano y rRs , r ∥s, R es relaci´on de equivalencia y para toda r 2 P se tiene que [r ] = fs 2 P j r ∥sg. ii) Dado P conjunto de rectas del plano y rRs , r ?s, R no es relaci´on de equivalencia pues no es reflexiva ni transitiva. iii) Dado R nf 0 g y aRb , a +

a

= b +

b

, se tiene que

a +

a

= b +

b

, a b = a b ab

b = a ab = 1 , b =

a

Entonces R es relaci´on de equivalencia y para todo a 2 R nf 0 g se tiene que [a] =

a,

a

......

Relaciones Relaciones

Relaciones de orden

Una relaci´on R en un conjunto A es una relaci´on de orden si es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. Un conjunto ordenado es un par (A, R), donde R es una relaci´on de orden en A.

Dada R relaci´on en A, se dice que dos elementos a y b de A son comparables si aRb o bRa.

Dada R relaci´on de orden en A, se dice que R es un orden total si todo par de elementos de A son comparables. Se dice entonces que (A, R) es un conjunto totalmente ordenado. Se dice que R es un orden parcial si es una relaci´on de orden no total.

......

Relaciones Diagrama de Hasse de una relaci´on de orden

Diagrama de Hasse de una relaci´on de orden

El diagrama de Hasse de una relaci´on de orden en un conjunto finito es una representaci´on de ´esta, en la que si a ̸= b verifican que aRb, entonces se dibuja a por debajo de b y se unen a y b por un segmento, suprimiendo los segmentos que corresponden a la propiedad transitiva (si aRb y bRc se suprime el segmento correspondiente a aRc). Ejemplo. Para D 15 , D 20 y D 30 con la relaci´on de divisibilidad se tienen los siguientes diagramas de Hasse

r

r r

r

D 15 = f 1 , 3 , 5 , 15 g

@

@@

@

@@

r

r r

r r

r

D 20 = f 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 g

@

@@







@

@@

r

r r r

r r r

r

D 30 = f 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 g

@

@@

@

@@

@

@@

@

@@

......

Relaciones Elementos caracter´ısticos de conjuntos ordenados

Elementos caracter´ısticos de conjuntos ordenados

Sea (A, ) un conjunto ordenado y S un subconjunto no vac´ıo de A. Se dice que i) c 2 A es cota superior de S si x  c para todo x 2 S, ii) c 2 A es cota inferior de S si c  x para todo x 2 S, iii) s 2 A es extremo superior o supremo de S si es cota superior y para toda cota superior c de S se tiene s  c, iv) i 2 A es extremo inferior o ´ınfimo de S si es cota inferior y para toda cota inferior c de S se tiene c  i. v) m 2 S es m´aximo de S si x  m para todo x 2 S, vi) m 2 S es m´ınimo de S si m  x para todo x 2 S, vii) m 2 S es maximal de S si no existe x 2 S n fmg tal que m  x, viii) m 2 S es minimal de S si no existe x 2 S n fmg tal que x  m,

Se dice que S est´a acotado superiormente si existe c 2 A cota superior de S. Se dice que S est´a acotado inferiormente si existe c 2 A cota inferior de S. Se dice que S est´a acotado si est´a acotado superiormente e inferiormente.

......

Relaciones Existencia y unicidad de elementos caracter´ısticos

Existencia y unicidad de elementos caracter´ısticos

Teorema

..

.

Sea S un subconjunto no vac´ıo de un conjunto ordenado (A, ). Tanto el m´aximo como el m´ınimo de S, si existen, son ´unicos. . Teorema

..

.

Sea S un subconjunto no vac´ıo de un conjunto ordenado (A, ). Tanto el supremo como el ´ınfimo de S, si existen, son ´unicos.

......

Relaciones Existencia y unicidad de elementos caracter´ısticos

Ordenaci´on topol´ogica

Teorema

..

.

Dado un orden parcial en un conjunto finito A, existe un orden total que lo contiene. .

.^ Dem..

Sea a 1 un elemento minimal de A y consideremos el conjunto ordenado (A n fa 1 g, ). Sea a 2 un elemento minimal de (A n fa 1 g, ) y definimos a 1 ′^ a 2. Consideremos el conjunto ordenado (A n fa 1 , a 2 g, ) y sea a 3 un elemento minimal de (A n fa 1 , a 2 g, ). Definimos a 1 ′^ a 2 ′^ a 3. Como A es finito, si jAj = n despu´es de n pasos tendremos los elementos de A ordenados en la forma a 1 ′^ a 2 ′^


′^ an. Finalmente, el orden obtenido contiene al dado en el sentido de que si a  b, entonces a ′^ b. En efecto, si ai  aj , aj no puede ser minimal de un conjunto que contenga ai , luego hemos de haber escogido ai antes que aj. Por tanto ai ′^ aj.