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I Proporcionalidad y porcentaje I
C apítulo 5
PROPORCIONALIDAD
Y PORCENTAJE
IntroduCCIón
Como es sabido, el porcentaje se utiliza para identificar una cantidad en la que se considera a 100 como la referencia y se simboliza con “%”. Por ejemplo, 15% se lee “quince por ciento”, donde “por ciento” significa ‘de cada cien’, y representa 10015 de una determinada cantidad. El porcentaje es una razón, es decir, una relación multipli- cativa entre dos cantidades (Mendoza y Block, 2010) y puede usarse para comparar relaciones entre estas, tal como se ha analizado en el capítulo 3. Una técnica que suele usarse para resolver problemas que involucran comparar dos relaciones entre cantidades enteras es expresar ambas como fracciones usando 100 como denominador. Asimismo, es posible reconocer una manera de calcular un porcentaje de una cantidad a partir de un operador multiplicativo decimal: para ob- tener el 15% se multiplica esa cantidad por 0,15, con toda la complejidad que esta operación involucra (por ejemplo, que multiplicar por menos que 1 achica el número). Sin embargo, ha sido analizado en diferentes trabajos que tratar con fracciones o con decimales no siempre es posible ni conveniente en todos los problemas que involu- cran porcentajes (Mendoza, 2007), por este motivo es importante anclar la noción de porcentaje en la de razón (Mendoza y Block, 2013) en su tratamiento escolar. Retoma- remos esta cuestión más adelante. La idea de llevar una razón a porcentaje se ha instalado en nuestra cultura apelan- do a una escritura fraccionaria como intermediaria. Por ejemplo, si se quiere identifi- car qué parte es 3 de 5, es común pasarlo a porcentaje: 3 de 5 se lo expresa como 35 o 60 100 y se identifica que es el 60%. El origen de la idea de porcentaje es bastante antiguo. Desde hace siglos se uti- lizaban fracciones simplificadas a las centenas para calcular impuestos e intereses. Por ejemplo, en el antiguo Imperio romano, un impuesto indicaba que había que pagar 1001 del monto correspondiente a los bienes vendidos. La expresión “por cien- to” y el símbolo matemático surgen para abreviar el uso de las fracciones. Se dice
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que el actual símbolo es producto de sucesivas transformaciones de otros símbolos como este: , que tenían una p de “por” y una representación correspondiente a “ciento” (en italiano se decía per cento ), símbolo que luego evolucionó sin la p a y que precede al “%” que hoy se usa en nuestra cultura.
la presenCIa del porCentaje en la enseñanza
El porcentaje es una de las muchas aplicaciones del concepto de proporcionali- dad que, dada su importancia y presencia en el uso social, se constituyó de manera progresiva en un objeto de estudio en sí mismo tradicionalmente reconocido en las matemáticas escolares. Sin embargo, en la enseñanza no siempre aparece enmarcado dentro de los problemas de proporcionalidad directa. Una posible causa que quizás permitiría explicar el olvido didáctico de esta relación puede encontrarse en que en la enseñanza clásica se ponía el centro de la actividad en técnicas algorítmicas para resolver problemas. Ya mencionamos cómo el estudio del concepto de proporcionali- dad fue reemplazado en los sistemas educativos por la enseñanza de la regla de tres simple, técnica que permite encontrar el cuarto número faltante en una relación de proporcionalidad entre dos razones, fracciones o relaciones entre números. Ahora bien, como en el caso particular del porcentaje, al tener uno de los cuatro números involucrados fijo (el número 100), no se requiere de la escritura clásica de reconocimiento de la técnica de regla de tres simple ni de la escritura con planteo y solución para la búsqueda del cuarto número. En cambio, se suele enseñar a resol- ver problemas de proporcionalidad con cálculos específicos, poniendo el énfasis en técnicas que permiten resolver porcentajes con cálculos directos. Por ejemplo, para calcular el 23% de 400 se propone a los alumnos realizar 23 x 400 : 100 sin recono- cerlo como una situación de proporcionalidad directa. Posiblemente, la utilización de una técnica específica ayudó a hacer perder de vista las relaciones entre proporciona- lidad, porcentaje, razones y fracciones. Esta separación y el uso de una única técnica algorítmica para resolver problemas de porcentaje hacen difícil la reconstrucción de las relaciones cuando la técnica es olvidada. Sin embargo, el porcentaje constituye una situación de proporcionalidad directa en la cual se relacionan magnitudes de la misma naturaleza (como también sucede en muchos otros problemas o casos particulares), y cualquier técnica, estrategia o propiedad que permita resolver problemas de proporcionalidad directa podrá ser uti- lizada para solucionar situaciones que involucren porcentajes.
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relación de proporcionalidad directa, ni que vinculen el porcentaje a la fracción 1001 aunque ambas relaciones aparecerán de manera intuitiva. Este inicio, que parte del uso del concepto, les permitirá desplegar estrategias de cálculo mental e incluso aprender a usar la calculadora para obtener porcentajes. Los primeros problemas a presentar podrían ser con números naturales y números re- dondos con la intención de favorecer el despliegue de recursos más intuitivos. Luego, a medida que se avanza en el estudio del concepto, las expresiones fraccionarias y decimales serán revisitadas para resolver una gama mayor de problemas y para resig- nificar la idea de porcentaje. Algunos problemas para traer a escena esta noción podrían ser los siguientes.
Es posible que, a partir de situaciones cotidianas de compra y venta, de cues- tiones salariales del entorno familiar o de la información económica que circula en medios periodísticos, los alumnos hayan tenido diversos contactos con esta noción.
problema 1
En pequeños grupos discutan el significado de estas frases
que pueden circular en medios periodísticos:
a) Un grupo de diputados propone un aumento del 10 por ciento
mensual en las jubilaciones.
b) El peaje en las autopistas bonaerenses aumentó un 25% en este
año.
c) El 20 por ciento de las personas forma parte de la población
de riesgo, pero solo se vacunó contra la gripe el 5%.
d) Los precios de los alimentos se incrementaron un 50% en un
año y medio.
e) No se cumplió el 15% de aumento acordado para los sueldos
de los docentes.
f) El 75% de las personas que votaron a este gobierno está
arrepentida.
g) Las ofertas de electrodomésticos llegan a descuentos de un 15%
por la caída de las ventas.
h) Cerca del 40 por ciento de los chicos argentinos está mal
alimentado.
I Proporcionalidad y porcentaje I
Problemas como el anterior tienen la intención de recuperar sus conocimientos sobre porcentaje. El docente podrá recurrir a otras situaciones de uso social o informaciones de actualidad para hacer circular ideas intuitivas sobre el porcentaje y posiblemente también algunas maneras de calcularlo: “el 50% equivale a la mitad” o “25% es la cuar- ta parte”, etc. Esta primera aproximación será un buen punto de partida para abordar un análisis más sistemático, tal como se propone en estos problemas.
Veamos en estas respuestas de los alumnos de qué manera apelan a esas relaciones.
problema 2
Decidan si son o no verdaderas las siguientes afirmaciones:
a) El 50% de 1.200 es 600.
b) El 50% de 700 es la mitad de 700.
c) El 25% de 400 es 100.
d) El 25% de 800 es su cuarta parte.
I Proporcionalidad y porcentaje I
porCentaje, números raCIonales y CálCulos rápIdos
El siguiente problema, si bien es mucho más complejo que los anteriores, permite avanzar en las relaciones abordadas y explorar diferentes estrategias de cálculo mental y con calculadora para determinar porcentajes. En particular, el ítem d) implica una complejidad mayor dado que pone en juego que multiplicar por 1,1 es equivalente a multiplicar por 1 ‒conservando la misma cantidad‒ y a la vez por 0,1 o por 101 y luego agregárselo (como se presenta en los primeros tres ítems), pero en este caso en un único cálculo.
En esta respuesta, alumnos de 6.° reconocen la equivalencia entre el porcentaje, la escritura coloquial y la escritura fraccionaria en a) y b). Sin embargo, igual que ha sucedido con la mayor parte de los alumnos de la clase, no reconocen en c) ni en d) que también es un cálculo posible para la obtención de un porcentaje.
problema 5
Juan cobra por semana $ 2.200 pesos. Le informan que le
aumentarán el 10%. ¿Cuáles de las siguientes maneras permiten
averiguar su nuevo sueldo?
a) Calcular la décima parte de 2.200 y sumárselo a 2.200.
b) Calcular 101 x 2.200 y sumarle 2.200.
c) Calcular 2.200 x 0,10 y sumárselo a 2.200.
d) Calcular 2.200 x 1,10.
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Esta otra pareja de alumnos, en cambio, sí reconoce todas las respuestas como correctas maneras de calcular el nuevo sueldo. Resulta interesante destacar que ellos precisaron explicitar para c) la relación entre la expresión decimal y la fraccionaria y en d) la relación entre el entero y el sueldo y entre la parte decimal y el aumento.
Si bien este problema es mucho más complejo que los anteriores, tiene en común con los demás que no requiere todavía haber explicitado que el porcentaje es una relación de proporcionalidad directa.
el porCentaje, ¿una relaCIón de proporCIonalIdad dIreCta?
En este apartado analizaremos algunos problemas que buscan avanzar en la expli- citación y sistematización de que el porcentaje es una relación de proporcionalidad directa y, por lo tanto, los alumnos pueden desplegar recursos y analizar cómo usar las propiedades de la proporcionalidad para el cálculo de porcentajes. Es preciso aclarar que este orden (el análisis de las relaciones entre porcentaje y fracciones, la idea del porcentaje como una relación de parte-todo y su posterior reconocimiento como una relación de proporcionalidad directa) puede invertirse iniciando su estudio con los problemas de este apartado y luego vincular el cálculo de porcentajes a los números racionales. El problema que sigue busca que los alumnos desplieguen estrategias que ponen en juego propiedades de la proporcionalidad directa. La intención de que sea en pa- rejas o en pequeños grupos es justamente fomentar la diversidad de relaciones entre los números en cuestión.
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En cambio, en la siguiente resolución podemos identificar huellas de la técnica de regla de tres simple, pero con cierta pérdida de significado y del rol de los números en juego. El alumno que resuelve el problema que sigue tampoco ejerce un control acerca de si los resultados obtenidos son plausibles en el contexto del problema.
Es preciso recordar, como analizamos en capítulos anteriores, los riesgos de utili- zar una técnica a ciegas y confundirse entre los pasos intermedios y cálculos sin con- trolar los resultados que se van obteniendo. En un error típico que aparece cuando el
I Proporcionalidad y porcentaje I
centro de la enseñanza ha sido esa técnica, el alumno multiplica por 100 y divide por 20 confundiéndose entre sí las operaciones que debe realizar. Más allá de que, luego, olvida sumar el agregado al costo (lo cual le hubiera dado un precio de venta aún ma- yor que $ 3.000), su error muestra que no controla mentalmente cuánto puede ser de forma aproximada el 20% de 560, ni controla que el precio de venta que obtiene es una cantidad que cuadriplica su valor original superando el 100%.
porCentajes mayores que 100: CasI ImposIbles
Los problemas que siguen buscan introducir porcentajes mayores que 100%, cuestión cuya complejidad suele ser reconocida en la enseñanza y que fue relevada en diversos estudios (Mendoza, 2007; Mendoza y Block, 2013). Mendoza y Block pro- pusieron a alumnos que inician la escuela secundaria en México un problema en el que debían determinar cuáles afirmaciones en las que se usaba el 120% podían ser ciertas. A partir de las respuestas obtenidas pudieron identificar tres concepciones. En una de ellas, el porcentaje es una relación parte-todo y entonces el porcentaje es siempre concebido como una parte, con lo cual no puede superar al 100%. Una se- gunda concepción remite a considerar el porcentaje como “lo que se agrega o quita”. Una tercera concepción es la del porcentaje como comparación de dos cantidades mediante una razón. En este caso, ninguna de las cantidades se transforma, simple- mente se cuantifica la relación que guarda una respecto de la otra. Los alumnos que parecen tener esta idea logran distinguir las relaciones que no admiten porcentajes mayores que 100 (relaciones parte-todo) de las que sí las admiten (relaciones parte- parte). Aparentemente, la relación más presente en los alumnos (y en la enseñanza) sería la de parte-todo, lo que permite explicar por qué prevalece la tendencia a consi- derar que los porcentajes tienen que ser menores que 100. A continuación, veremos situaciones que desafían a los alumnos a asociar porcen- tajes con “partes de un todo” y que por lo tanto responden en un inicio que no existen porcentajes mayores que 100.
problema 7
a) ¿Existe el 120% de 200? Si creen que sí, expliquen cómo
encontrarlo. Si creen que no, justifiquen su respuesta.
I Proporcionalidad y porcentaje I
Veamos algunas estrategias y respuestas desplegadas por los alumnos para re- solver los problemas 7 a) y 8, así como algunas contradicciones y tensiones que se generan durante su resolución.
I L a divina proporción I
Se espera que el análisis colectivo de problemas, como los presentados en este apartado, permita instalar las siguientes nuevas ideas:
- existen porcentajes mayores que 100;
- para hacer 120% se puede dejar el entero y agregar 20%; pueden usarse las re- laciones de dobles y triples de la proporcionalidad directa en estas situaciones: 100% es el doble de 50%, 400% es el cuádruple del entero, etc.;
- si una cantidad aumenta 200% entonces el nuevo número es el triple del anterior.
partIr de CantIdades y determInar el porCentaje
A continuación, veremos un problema que exige establecer qué porcentaje del total representa una cierta cantidad. Una vez más, el recurso para analizarlo es la proporcionalidad directa. Es necesario explicitar algo que ha quedado implícito y que quizás algunos alumnos no hayan identificado: el total de la población corresponde al 100%, o sea puede ser pensado como 100100 del total. Al identificar esta cuestión se puede analizar que, si 360 alumnos corresponden al 100%, 180 corresponden al 50%.
problema 10
Calculá mentalmente:
a) El 25% de 48 = d) El 75% de 48 =
b) El 250% de 48 = e) El 150% de 48 =
c) El 50% de 48 = f) El 300% de 48 =
problema 9
Discutan y resuelvan en pequeños grupos:
- ¿Cuánto es el 200% de 1.000? - Al calcular el 120% de un número, el número obtenido, ¿será
mayor, menor o igual que ese número?
- Un alumno dice que para calcular el 100% de un número no hay
que hacer ningún cálculo porque es ese mismo número. ¿Creen
que ese alumno tiene razón?
I L a divina proporción I
problema 12
Un bar hace el pedido de bebidas pequeñas sin alcohol para la
semana. Necesitan que de cada 100 bebidas, 20 sean de agua
mineral sin gas.
a) Si deciden comprar 200 bebidas, ¿cuántas van a ser de agua
sin gas?
b) ¿Y si compraran 50 bebidas?
c) ¿Y si fueran 25 bebidas? ¿Y 125? ¿Y 150 bebidas?
d) ¿Cuántas bebidas encargarían si quisieran tener 15 aguas
sin gas?
El siguiente problema apunta a establecer relaciones entre la noción de porcen- taje y los problemas que involucran tratar con razones y proporciones, como los ana- lizados en el capítulo 3.
Para el problema anterior, el docente también podrá proponer a los alumnos que organicen la información en una tabla que permita explicitar las relaciones de propor- cionalidad involucradas, por ejemplo:
Cantidad de alumnos considerada 360 180 90 36 18 54
Porcentaje que representa sobre un total de 360 alumnos 100 50 25 10 5 15
Agua sin gas 20 40 10 5 25 30 15
Total de bebidas 100 200 50 25 125 150 75
x 2
÷ 4
÷ 4
x 3
÷ 2
x 2 ÷ 2 x 3
÷ 2
÷ 2
I Proporcionalidad y porcentaje I
Se podrá enfatizar que se trata de una relación de proporcionalidad directa en la que se relacionan el total de bebidas con la cantidad de envases de agua sin gas. En este caso, las dos constantes de proporcionalidad son posibles de ser pensadas de va- rias maneras: “20 aguas por cada 100 bebidas”, o bien “ 10020 de agua por cada bebida”, o bien “20 por cada 100”, “el 20%”, “el agua multiplicada por 5”, “las bebidas divididas por 5”, etcétera.
El siguiente problema pone en juego la determinación de porcentajes a partir de considerar que el total representa el 100%. Para completar la información faltante, los alumnos podrán apelar a las diferentes propiedades y técnicas asociadas a la pro- porcionalidad directa.
Agua sin gas 20 40 10 5 25 30 15
Total de bebidas 100 200 50 25 125 150 75
x 10020
problema 13
Completá este cuadro en el que se muestran los resultados de las
elecciones de un pueblo.
Partido Cantidad de votos Porcentaje de votos Cambio o Revolución 20 Fuerza nueva 112 Conservador 56 Frente Amplio 560 Nueva Juventud 15 Total 1.120 100%
I Proporcionalidad y porcentaje I
aparezcan cálculos y expresiones como los siguientes: 10030 de 6.000; 103 de 6.000; 6. x 30 : 100; 10% de 6.000 es 600 y 600 x 3 = 1.800; 1% de 6.000 es 60 y 60 x 30 = 1.800, etc. Un desafío particular lo constituye identificar que obtener el 150% de un número es equivalente a obtener 150100 de ese número y que un cálculo posible es multiplicar por 1 y 12 o por 1,5. Los alumnos podrán expresarlo también como “una vez y media 10.000”.
usar CalCuladoras y poCos CálCulos
El problema 16 tiene como intención que los alumnos puedan explorar maneras de calcular porcentajes con calculadoras variadas (incluso las de celulares y computa- doras) y la tecla del porcentaje analizando qué cálculos realiza.
En las situaciones problemáticas que se presentan a continuación, se busca avanzar en el reconocimiento de que es posible con un solo cálculo averiguar el resultado de un descuento o un aumento en porcentajes sin necesidad de sumarlo o restarlo después. El uso de la calculadora nos permite retomar el análisis de alguna de las ideas propuestas en el ítem d) del problema 5 (de este mismo capítulo) acerca de que mul- tiplicar por 1,10 es equivalente a calcular el nuevo precio a partir de un aumento del 10%. Esto es posible dado que multiplicar por 1 permite conservar la cantidad y al multiplicar por 0,10 se está obteniendo la décima parte del total, y ambas partes juntas (el 1 y el 0,10) equivaldrían al 110%.
problema 16
En grupos, busquen diferentes maneras de calcular el 17%
de 5.800 usando calculadoras variadas. Intenten que alguna de
esas maneras implique usar la tecla “%” y otras no.
problema 17
Federico cobra $ 400 la consulta.
a) Quiere aumentar un 15%. ¿Cómo hace con la calculadora para
determinar con un solo cálculo el precio nuevo de su consulta?
I L a divina proporción I
No es sencillo para los alumnos reconocer que los cálculos respectivos son 400 x 1,15 para el ítem a), 400 x 1,05 para el ítem b) y 400 x 1,70 para el ítem c). Esta estrategia de cálculo único (en lugar de calcular el porcentaje y luego sumarlo o res- tarlo al precio original) podrá ser retomada en diferentes problemas más adelante. Una cuestión importante a destacar es que estos cálculos con calculadora permi- ten ejercer cierto control sobre los cálculos intermedios, mientras que cuando se usa la tecla “%” de la calculadora quedan “escondidos” cuáles son los pasos intermedios que la calculadora realiza. Será interesante analizar esta cuestión con los alumnos.
problema 18
a) En un comercio una camisa cuesta $ 500. El vendedor marca en
su calculadora 500 x 0,85 y le cobra al cliente lo que marca el
visor. ¿Qué porcentaje de descuento hizo?
b) El mismo vendedor atiende a otro cliente y marca en su calcula-
dora 700 x 0,75 para saber cuánto cobrarle por un pantalón con
descuento. ¿Qué porcentaje de descuento hizo?
problema 19
Un vendedor tiene que anotar en la vidriera los nuevos precios con
un aumento del 15%. ¿Por cuánto tiene que multiplicar cada precio
viejo para obtener el nuevo con el aumento si quiere hacer una
sola cuenta para cada uno?
problema 17 (cont.)
b) Y si aumentara un 5%, ¿qué cálculo único podría hacer con la
calculadora?
c) ¿Y si aumentara el 70%?
