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PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Después de la recopilación de los datos, es necesario resumirlos y presentarlos en forma tal, que faciliten su comprensión y posterior análisis y utilización. Para ello, se ordenan en Tablas estadísticas o cuadros estadísticos y luego se representan en gráficos o diagramas. TABLAS ESTADÍSTICAS Llamadas también distribución de frecuencias, es la presentación de la información en forma resumida y ordenada de los datos de una variable, ya sea de manera simple o agrupándola en intervalos o categorías. Se puede construir tablas de frecuencias para datos cualitativos o cuantitativos. En ambos casos el conjunto de datos está agrupado en varias clases. Las tablas de frecuencias deben explicarse por sí mismas, es decir al ser observadas por cualquier investigador, inmediatamente se muestran en forma sencillas y entendible el comportamiento de los datos de la investigación. Toda tabla presenta las siguientes partes: 1.- El número de la tabla: Se ubica en la parte superior de la tabla 2.- El título: Nos muestra brevemente el contenido de la investigación y debe ser preciso, claro y conciso para evitar confusiones. 3.- El encabezamiento: Se encuentra en la primera fila y nos indica la naturaleza del contenido de cada columna con las unidades correspondientes. 4.- El cuerpo: Está formado por un conjunto de filas y columnas y nos presenta la información de la investigación. 5.- La fuente: Esta ubicado al final de la tabla y nos indica a la entidad responsable de donde se obtuvieron los datos. 6.- Las notas y los comentarios: Son colocados al pie del cuadro y sirven para realizar aclaraciones. Existen dos tipos de tablas de frecuencias para representar un conjunto de datos: Tablas de frecuencias para datos no agrupados (tablas sin intervalos) Tablas de frecuencias para datos agrupados (tablas con intervalos) TABLAS DE FRECUENCIAS PARA DATOS SIMPLES O NO AGRUPADOS Ejemplo : Se desea estudiar el grado de instrucción de los padres de familia de una comunidad educativa (alfabetos, primaria, secundaria, superior). Se seleccionó una muestra de 80 padres y se obtuvo los siguientes resultados: 20 analfabetos, 30 primaria, 20 secundaria. 10 superior. Población: Todos los padres de familia de dicha comunidad. Muestra: Los 80 padres seleccionados. Unidad estadística: Cada padre de familia. Variable: El grado de instrucción de los padres de familia de dicha comunidad educativa. Tipo de Variable: Cualitativa ordinal. Elaboración de la tabla de frecuencias Taba Nº 01 Distribución de los grados según su grado de instrucción Fuente: elaboración Propia. n = 80 Es el tamaño de la muestra. K = 4 Es el número de clases. Algunas interpretaciones: f 2 = 30 : 30 padres de familia de dicha comunidad educativa tienen grado de instrucción primaria. Clas e (K ) Variable (Xi) Frec. absoluta simple (fi) Frec. absoluta acumulada (Fi) Frecuencia relativa simple (hi) Frec. relativa acumulada (Hi) Frec. relativa simple porcentual (hi%) Frecuencia relativa acumulada porcentual (Hi%) 1 Analfabetos f 1 = 20 F 1 = 20 h 1 = 0, 25 H 1 =0,250 h 1 % = 0, 25 H 1 % =0, 2 Primaria f 2 = 30 F 2 = 50 h 2 = 0, 375 H 2 =0,625 h 2 % =0,375 H 2 % =0, 3 Secundaria f 3 = 20 F 3 = 70 h 3 = 0, 25 H 3 =0,875 h 3 % = 0, 25 H 3 % =0, 4 superior f 4 = 10 F 4 = 80 h 4 = 0, 125 H 4 =1,000 h 4 % =0,125 H4% =1, 000 n= 80 1,000 1, 000
h 3 = 0,25 : El 25% de los padres de familia tienen grado de instrucción secundaria. F 2 = 50 : 50 padres de familia presenta grados de instrucción entre analfabetos y primaria. H 3 =0,875 : El 87,5% de los padres de familia tiene grado de instrucción entre analfabetos, primaria y secundaria. EXPLICACIÓN DE LA ELABORACIÓN DE LA TABLA: a. Frecuencia Absoluta (fi) La frecuencia (f) de una característica (valor o atributo) es el número de veces que aparece dicha característica en una colección de datos. Por ejemplo, en el siguiente conjunto de datos: 8, 3, 5, 3, 4, 4, 5, 3, 5, 3, 8, 4; el número 8 aparece con una frecuencia f = 2; el número 3 aparece con una frecuencia f = 4; los números 4 y 5 con una frecuencia f = 3. Con respecto a la tabla, la frecuencia absoluta es el número de observaciones que se registran en cada clase. A la frecuencia absoluta se la conoce simplemente como frecuencia. En el ejemplo inicial estas frecuencias absolutas se encuentran en la información del enunciado: 20 analfabetos (f 1 = 20); 30 primaria (f 2 = 30); 20 secundaria (f 3 = 20) y 10 superior (f 4 = 10). Observe además que la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al número total de elementos, es decir, al tamaño de la muestra (n) ∑ i = 1 k f (^) i = n n = n 1 + n 2 + n 3 + n 4 = 20 +30+20+10 = 80 b. Frecuencia Relativa (hi) La frecuencia relativa es la proporción de observaciones en cada clase. Esta frecuencia se calcula dividiendo cada frecuencia absoluta correspondiente entre el tamaño de la muestra, es decir: hi = f (^) i n (^) i = 1, 2, 3, …, K h 1 = f (^) 1 n = 20 80 = 0 , 25 Observe además que la suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad, es decir: ∑ i = 1 K hi = 1 K: número de clases h 1 +h 2 +h 3 +h 4 = 0,250+0,375+0,250+0,125 = 1, c. Frecuencia Absoluta Acumulada ( Fi) Es la acumulación de cada una de las frecuencias absolutas. Además, la última frecuencia absoluta acumulada siempre es igual al número de elementos. Para calcular la frecuencia absoluta acumulada debemos considerar que la 1ra frecuencia absoluta acumulada (F 1 ) es siempre igual a la 1ra frecuencia absoluta (f 1 ) y a partir de la 2da frecuencia absoluta acumulada, estas se calculan sumando o acumulando las frecuencias absolutas anteriores. En el ejemplo inicial: Frecuencia Absoluta (f 1 ) Frecuencia Absoluta Acumulada (F^1 ) f 1 = 30 F 1 = f 1 = 20 f 2 = 30 F 2 = f 1 + f 2 = 20 + 30 = 50 f 3 = 20 F 3 = f 1 + f 2 + (^) f3 = 20 + 30 + 20 = 70 f 4 = 10 F 4 = f 1 + f 2 + f 3 + (^) f4 = 20 + 30 + 20 + 10 = 80 Observe que la última frecuencia absoluta acumulada es igual al tamaño de la muestra, es decir N 4 = n = 80 d. Frecuencia Relativa Acumulada (Hi) Es la acumulación de cada frecuencia relativa. Además, la última frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad. En el ejemplo inicial: Frecuencia Relativa (hi) Frecuencia Relativa Acumulada (Hi) h 1 = 0,250 H 1 = h 1 = 0, h 2 = 0,375 H 2 = h 1 + h 2 = 0,250 + 0, = 0, h 3 = 0,250 H 3 = h 1 + h 2 + h 3 K : número de clases n : tamaño de la muestra
R = Xmax - Xmin R = 98 - 35 ii) Determinamos el número de intervalos de clase K = 1 + 3,3 log n K = 1 + 3, 3 log (60) K = 1 + 3,3(1,7782) K = 1 + 5,868 K = 6, (Para garantizar que los valores mayores se encuentren en el último intervalo, el valor de K se redondea al entero siguiente del valor obtenido usando la regla de Sturges) iii) Determinación de la amplitud del intervalo. (Tamaño del intervalo de clase TIC)
C =
R
K
TABLA Nº 01
Distribución de los estudiantes del III ciclo de matemática según puntajes obtenidos en una prueba de Lógico- Matemático. IESP “Hno. VEG” Cajamarca. Abril 2020 Clases K Horas semanales [ Li - LS [ Tabulación O conteo Punto medio Xi
Nº
estudiantes
fi
F.A.A
Fi hi Hi hi% Hi% 1 [ 35 - 44 [ II 39,5 2 2 0,033 0,033 3,3 3, 2 [ 44 - 53 [ IIII 48,5 4 6 0,067 0,1 6,7 10 3 [ 53 - 62 [ IIIII -III 57,5 8 14 0,133 0,233 13,3 23, 4 [ 62 - 71 [ (^) IIIII-IIIII-II 66,5 12 26 0,2 0,433 20 43, 5 [ 71 - 80 [ (^) IIIII-IIIII-IIIII-III 75,5 18 44 0,3 0,733 30 73, 6 [ 80 - 89 [ (^) IIIII-IIIII 84,5 10 54 0,167 0,9 16,7 90 7 [ 89 - 98 ] IIIII-I 93,5 6 60 0,1 1 10 100 TOTAL n= 60 1 100 FUENTE: Elaboración propia Observe que ∑ i = 1 7 fi = 2 + 4 + 8 + 12 + 18 + 10 + 6 = n = 60 Algunas interpretaciones: ii) f 1 : De los 60 estudiantes del III ciclo de matemática del IESP “Hno. VEG”, 2 de ellos presentan puntajes comprendidos desde 35 puntos hasta menores de 44 puntos. iii) f 5 : De los 60 estudiantes del III ciclo de matemática del IESP “Hno. VEG”, 18 estudiantes tienen puntajes comprendido entre 71 y 79 puntos inclusive. De los 60 estudiantes del III ciclo de matemática del IESP “Hno. VEG”, 24 estudiantes tienen entre 44 y 70 puntos (f 2 + f 3 + f 4 = 4+8+12 = 24) vi) h 7 %: El 10% de estudiantes del III ciclo de matemática del IESP “Hno. VEG”, tienen más de 89 puntos y el 23,3% de estudiantes tienen menos de 62 puntos? ( 23,3% = 13,3 + 6,7 + 3,3 ) vii) De los 60 estudiantes del III ciclo de matemática del IESP “Hno. VEG”, 38 de ellos tienen desde 53 y 79 puntos inclusive (: f 3 + f 4 + f 5 = 8+12+18 = 38 ) EXPLICACIÓN DE LA ELABORACIÓN DE LA TABLA DE FRECUENCIAS I.- Respecto a los intervalos En el primer intervalo siempre se considera el menor valor como límite inferior y para obtener el límite superior, al menor valor se le agrega el TIC, además este intervalo es cerrado a la izquierda ( [ ) y abiero a la derecha ( ¿^ ) ; es decir: 1er intervalo = [menor valor; menor valor + TIC ¿ En el ejemplo: primer intervalo = [ 35; 35 +9 ¿^ = [ 35; 44 ¿ R = 63 K = 7 C = 9 1er intervalo = [Xmínimo; Xmínimo+ TIC ¿
A partir del segundo intervalo, el límite inferior será el límite superior del intervalo anterior y el límite superior de este nuevo intervalo se obtiene agregándole el valor del TIC al respectivo límite inferior. En el ejemplo: 1er intervalo = [ 35; 35 +9 ¿^ = [ 35; 44 ¿ 2do intervalo = [44; 41+9 ¿^ = [44; 53 ¿ 3er intervalo = [53; 53+ TIC ¿^ = [ 53; 62 ¿ 4to intervalo = [62; 62+ TIC ¿^ = [ 62; 71 ¿ 5to intervalo = [71; 71+ TIC ¿^ = [ 71; 80 ¿ 6to intervalo = [80; 80+ TIC ¿^ = [ 80; 89] 7to intervalo = [89; 89+ TIC ] = [ 89; 98] Observe además que todos los intervalos, a excepción del último, son de forma cerrados a la izquierda y abiertos a la derecha ( [; ¿^ ), siendo el último intervalo cerrados en ambos extremos ( [;] ); esto es para garantizar que el valor mayor del conjunto de datos se encuentre en este último intervalo. II.- Respecto a las frecuencias absolutas (fi) En el primer intervalo [ 35; 44 ¿^ se encuentran los valores comprendidos entre 35 hasta menores de 44, es decir en nuestros datos encontramos dos valores; entonces f 1 = 2. En el segundo intervalo [44; 53 ¿^ se encuentran los valores comprendidos desde 44 hasta menores de 53, es decir f 2 = 4 En el tercer intervalo [ 53; 62 ¿^ se encuentran los valores comprendidos desde 53 hasta menores de 62, es decir f 3 = 8 En el cuarto intervalo [ 62; 71 ¿^ se encuentran los valores comprendidos desde 62 hasta menores de 71, es decir f 4 = 12 En el quinto intervalo [ 71; 80 ¿^ se encuentran los valores comprendidos desde 71 hasta menores de 80, es decir f 5 = 18 En el sexto intervalo [ 80; 89] se encuentran los valores comprendidos desde 80 hasta menores de 89, es decir f 6 = 10 En el séptimo intervalo [ 89; 98] se encuentran los valores comprendidos desde 89 hasta menores de 98 inclusive, es decir f 7 = 6 Observe que la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la muestra, es decir: f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 = 2 +4 + 8 + 12 + 18 + 10 + 6 = 60 = n III.- Respecto a las frecuencias absolutas acumuladas (Fi) Para calcular las frecuencias absolutas acumuladas debemos considerar que la 1era frecuencia absoluta acumulada (F 1 ) es siempre igual a la primera frecuencia absoluta (f 1 ) y a partir de la segunda frecuencia absoluta acumulada, esta se obtiene sumando o acumulando las frecuencias absolutas anteriores. Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia absoluta acumulada (Fi) f 1 = 2 F 1 = f 1 = 2 f 2 = 4 F 2 = f 1 + f 2 = 2 +4 = 6 f 3 = 8 F 3 = f 1 + f 2 + f 3 =2 + 4 + 8 = f 4 = 12 F 4 = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 =2 + 4 + 8 + 12 = 26 f 5 = 18 F 5 = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 = 2 + 4 + 8 + 12 + 18 = 44 f 6 = 10 F 6 = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = 2 + 4 + 8 + 12 + 18 + 10 = 54 f 7 = 6 F 7 = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = 2 + 4 + 8 + 12 + 18 + 10 +6 = 60 Observe que la última frecuencia absoluta acumulada es igual al tamaño de la muestra, es decir; F 7 =n = 60 IV.- Respecto a las frecuencias relativas (hi) Se calculan dividiendo cada una de las frecuencias absolutas entre el tamaño de la muestra.
h 1 =
f 1
n
En el ejemplo:
h 2 %=
f 2
n
h 4 %=
f 4
n
. 100 = 20 % h 3 %=^
f (^) 3 n
h 7 %= f (^) 7 n
. 100 = 6 60 . 100 = 10 % (^) h
6 %=^
f 6
n
. 100 = 16 , 7 % h 5 %=^
f 5
n
Observe además que la suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad, es decir: h 1 %+ h 2 %+ h 3 %+ h 4 %+ h 5 % + h 6 %+ h 7 % = 3,3 + 6,7 +13,3 + 20 + 30 + 16,7 + 10 = 100 % ACTIVIDAD
- Un investigador desea determinar en el IESP “Hno. VEG”, el número de horas semanales que los estudiantes dedican a ver programas de televisión. Una muestra de 70 estudiantes arrojó los siguientes resultados: 14….10….15….17….20….14….21….17….22…11….19….22….18….17….26….20….17…. 23….11….24….25….27….23….19….22….17… 15….19….23….21….26….17….14….20…. 13….26….27….28….12….09….21….24….18 …21….12….20….28….20….18….17….24…. 23….25….19….31….25….23….22….26….13….08….24….17….14….20….16…. Se pide: a) Construir una tabla de distribución de frecuencias. b) Hacer algunas interpretaciones.
- Las remuneraciones semanales, en soles de 84 trabajadores de una Institución Educativa “x”, son los siguientes: 260 190 130 135 220 155 225 230 93 180 120 215 230 235 230 265 120 91 115 185 255 233 190 160 170 130 105 217 95 190 140 220 185 195 125 92 240 140 115 205 125 140 155 170 190 190 233 185 145 185 145 230 170 220 165 288 95 120 135 160 145 222 170 195 210 135 180 173 153 178 164 173 156 170 182 190 177 210 220 198 233 185 200 219 a) Agrupar la información proporcionada en una tabla de frecuencias b) Interpretar algunos valores de las frecuencias obtenidas
- La inversión anual, en miles de soles, de una muestra de 60 instituciones educativas, durante el año 2019, fueron los siguientes: 31 17 27 20 28 10 34 25 4 24 15 39 18 30 41 26 12 46 18 23 36 19 29 37 33 27 27 24 26 31 25 28 33 28 22 23 31 29 35 21 20 22 28 18 23 30 28 25 21 16 26 32 22 33 27 22 8 34 10 39 a) Construir una distribución de frecuencias con 7 intervalos de clase. b) Determinar el porcentaje de instituciones educativas con una inversión entre 10 mil y 33 mil soles c) Determinar el porcentaje de instituciones educativas con una inversión entre 14 mil y 26 mil soles.
- Dada la siguiente información: F 6 = 40 = Fmáximo, h 1 = 0,10; F 2 = 9 ; F 4 = 25; h 5 , = 0,20 ; f 4 = 2f 2. Reconstruya la tabla.
- En un experimento de psicología se pide a un conjunto de alumnos del III ciclo de Matemática que memoricen cierta secuencia de palabras. El tiempo empleado por cada una de las alumnas incluidas en el experimento (registrado en segundos) se registra a continuación: 100 107 34 57 66 30 79 84 118 77 132 95 130 138 52 126 89 128 100 88 61 108 79 37 93 116 45 57 112 73 129 46 107 109 32 106 115 41 70 96 98 117 97 99 62 88 85 149 75 105 50 79 43 90 114 53 123 100 50 99
i) Construir una tabla de distribución de frecuencias ii) Interprete el hi % del intervalo de mayor frecuencia absoluta simple.
- Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias que corresponde a las edades de 100 integrantes de una comunidad “x” Ii fi [ 10 – 20 > 15 [ 20 – 30 > 20 [ 30 – 40 > 35 [ 40 – 50 > 14 [ 50 – 60 > 10 [ 60 – 70 > 6 i) ¿Cuántos integrantes tienen edades comprendidas entre 38 y 53 años? ii) ¿Cuál es el porcentaje de integrantes que tiene edades entre 23 y 63 años?
- La siguiente tabla muestra el consumo de energía eléctrica de 80 consultorios de atención ambulatoria de una cadena hospitalaria limeña. Consumo (kwh) Número de usuarios 5 - 25 04 25 - 45 06 45 - 65 14 65 - 85 26 85 - 105 14 105 - 125 08 125 - 145 06 145 - 165 02 total 80 a) Construya la tabla correspondiente b) ¿Qué porcentaje de usuarios consumen más de 105 Kwh? c) ¿Qué porcentaje de usuarios consumen entre 65 y 145 Kwh? d) ¿Cuántos consumen entre 25 y 45 Kwh? e) ¿Es cierto que el 25% de los usuarios consume 45 Kwh o menos?
- En un examen de Estadística se evaluaron a n estudiantes y los puntajes obtenidos se clasificaron en una tabla de distribución de frecuencias como se muestra a continuación. xi hi 45 k/ 55 3k/ 65 2k/ 75 3k/ 85 k/ ¿Qué tanto por ciento de los alumnos obtuvo un puntaje menor que 60 puntos o mayor o igual que 80 puntos en estadística?
- Construya una Tabla de Distribución de Frecuencias en base a: a) El número de clases es 6. b) El límite superior de la clase 1 es 15. c) El límite superior de la clase 3 es 27. d) La frecuencia absoluta simple de la clase 1 es 3. e) La frecuencia absoluta simple de la clase 4 es 5. f) La frecuencia absoluta acumulada de la clase 2 es 8. g) La frecuencia relativa simple de la clase 5 es 0,30. h) La frecuencia relativa acumulada de la clase 3 es 0, i) El número total de datos es 40.
- Los siguientes datos que se presentan en una tabla incompleta de distribución de frecuencias, corresponden a las calificaciones de un grupo de estudiantes del área de Matemática III. Si se sabe que la amplitud del intervalo es igual en todas las clases, completar los datos que faltan en la tabla de frecuencias.
15 hombres y 6 mujeres utilizan bicicleta; 30 hombres moto lineal; 30 hombres y 20 mujeres no utilizan ningún medio de transporte. Se pide: a) Ordenar los datos en una tabla de frecuencias. b) Analice algunas frecuencias obtenidas en la tabla
