¡Descarga Matemática Financiera 11 2015 y más Exámenes en PDF de Matemática Financiera solo en Docsity!
Matem`atiques Empresarials
Grau ADE
1a. prova 11.novembre.
- Considereu la funci´o f (x) = 1 − x x a) Doneu el domini de f (x). (0‘25 punts). b) Trobeu el punt de tall de la gr
afica de la funci´o amb l’eix d’abscisses (el de les X). (0‘5 punts). c) Estudieu el comportament de la funci´o al voltant del punt x = 0, ´es a dir, trobeu els l´ımits per la dreta i per l’esquerra de la funci´o en el zero. La funci´o t´e alguna as´ımptota vertical? Quina? Perque? (0‘5 punts). d) Calculeu el (^) x→lim+∞ f (x) i el (^) x→−∞lim f (x). La funci´o t´e alguna as´ımptota horitzontal? Quina? Perque? (0‘5 punts). e) Representeu graficament la funci´o f (x). T´e aquesta grafica alguna relaci´o amb la grafica de la funci´o g(x) = (^) x^1? (0‘5 punts). f) Digueu si la funci´o ´es creixent o decreixent en el seu domini. (0‘25 punts). - Trobeu la derivada de les funcions seg¨uents:
a) f (x) = 2x^3 − 3 x^2 + 6 (0‘25 punts). b) g(x) = (x^2 + 2)ex^ (0‘25 punts). c) h(x) = ln(x^2 + 2) (0‘25 punts).
d) k(x) = 3 x x^2 + 1 (0‘25 punts).
- Resoleu les equacions seg¨uents:
a) 7x^ + 7x+3^ = 344 (0‘25 punts).
b)
)x+ = 2^1 −x^ (0‘25 punts).
- En un mercat en compet
encia perfecta de compravenda de ferralla, l’oferta ve donada per qs = 14 p^2 − 2500, mentre que els potencials clients exerceixen una demanda que segueix la funci´o qd = − 100 p + 35900, on el preu p s’expressa en euros i q en tones. a) Representeu graficament les dues funcions. (0‘5 punts). b) Doneu l’interval de preus raonables tant per la funci´o d’oferta com per la de demanda. (0‘5 punts). c) Trobeu el preu d’equilibri en aquest mercat de compravenda de ferralla. (0‘75 punts). d) Calculeu les tones de ferralla que se subministren al preu d’equilibri. (0‘25 punts).
e) Si el govern fixa un preu de 200 euros la tona de ferralla, determineu si hi haura exc´es o escassedat de ferralla al mercat. Representeu–ho sobre la grafica. (0‘5 punts).
- En una situaci´o de monopoli, un fabricant de llavors vol con
eixer la seva funci´o d’ingr´es i de benefici tenint en compte que la demanda diaria de tones de llavors ve donada per la funci´o q = 38 − p, on p ´es el preu de la tona de llavors i s’expressa en centenars d’euros. Per altra banda, tamb´e ha de tenir en compte el cost, en centenars d’euros, que ve donat per la funci´o de costos C(q) = 36 + 2q, on q ´es la quantitat de tones de llavors produ¨ıdes.
a) Expresseu la funci´o d’ingr´es en termes del nombre de tones produ¨ıdes. (0‘5 punts). b) Trobeu la funci´o d’ingr´es mitja i la funci´o de cost mitja. (0‘5 punts). c) Doneu la funci´o de benefici en funci´o del nombre de tones produ¨ıdes. (0‘5 punts). d) Determineu, de forma justificada, el nombre de tones que ha de vendre l’empresa per tal de maximitzar el benefici. Trobeu aquest benefici i el preu al que haura de vendre cada tona. (1 punt). e) Pel nivell de producci´o que maximitza el benefici calculeu l’ingr´es mitja i el cost mitja. (0‘5 punts). f) Representeu graficament la funci´o de benefici de l’apartat c) i a partir de la grafica, determineu per a quins nivells de producci´o l’empresa tindra beneficis (els ingressos superen els costos) (0‘5 punts).
Solucions
- a) Dom(f (x)) = R r { 0 }, donat que f (0) no ´es un mombre real.
b) f (x) talla a l’eix X quan f (x) = 0, ´es a dir, quan 1 − x x = 0, d’aqu´ı que 1 − x = 0 i x = 1. Per tant, f (x) talla a l’eix X en x = 1.
c) lim x→ 0 −
1 − x x = −∞ i lim x→ 0 +
1 − x x = +∞, el que indica que f (x) t´e una as´ımptota vertical en x = 0.
− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4 X
Y
− 5
− 4
− 3
− 2
− 1
1
2
3
0
f (x) = x− x^1
y = − 1
Figura 1: Gr`afica de la funci´o f (x) = x− x 1.
La soluci´o d’aquesta equaci´o de segon grau ´es:
p =
(−100)^2 − 4
Per tant, el preu d’equilibri ´es de p = 240 euros. d) Les tones de ferralla que se subministren al preu d’equilibri s´on: qs =
2402 − 2500 = 11900 tones. e) Com el preu d’equilibri ´es major que el preu fixat de 200 euros, resulta que amb aquest preu la demanda, que ´es decreixent, ´es superior a l’oferta, que ´es creixent, tal com es pot veure en la Figura 2. Per tant, hi haur`a escassedat de ferralla. Es clar, que tamb´´ e es pot comprovar que qd(200) > qs(200): qd(200) = − 100 · 200 − 35900 = 15900 i qs(200) = 14 2002 − 2500 = 7500.
- a) De q = 38 − p s’obt´e p = 38 − q. Per tant, l’ingr´es ´es I(q) = (38 − q)q.
b) L’ingr´es mitj`a ve donat per IM (q) = I(q) q
(38 − q)q q = 38 − q; IM (q) = 38 − q i
el cost mitj`a per CM (q) = C(q) q
36 + 2q q ; CM (q) = 36 + 2q q
c) El benefici en funci´o de les tones produ¨ıdes ´es B(q) = I(q) − C(q) = (38 − q)q − (36 + 2q) = −q^2 + 36q − 36; B(q) = −q^2 + 36q − 36. d) El nombre de tones q que maximitza el benefici^2 B(q) ´es el valor que anul.la la primera derivada B′(q) = 0 i fa negativa la segona B′′(q) < 0. En aquest cas tenim que B′(q) = − 2 q+36, per tant de − 2 q+36 = 0 resulta q = 18 i donat que B′′(q) = − 2 < 0, ´es clar que el benfici ´es maxim quan el nombre tones produ¨ıdes ´es q = 18 tones , i aquest benefici ´es B(18) = − 182 + 36 · 18 − 36 = 288. Donat que la unitat monetaria ve donada en centenars d’euros, el benefici maxim ´es de 28800 euros. En quan al preu a que es ven la tona per obtindre aquest maxim, s’obt´e de p = 38 − q, ´es a dir, p = 38 − 18 = 20 i per tant el preu ´es de p = 2000 euros. e) Com que l’ingr´es mitja ´es IM (q) = 38 − q, per al nivell de producci´o q = 18 que maximitza el benefici s’obt´e IM (18) = 38 − 18 = 20, d’aqu´ı que l’ingr´es mitja ´es IM (18) = 2000 euros. Pel que fa al cost mitj`a aquest ´es CM (q) = 36 + 2q q , per
tant, per a q = 18 resulta CM (18) =
= 4, aix´ı que el cost mitja ´es de CM (q) = 400 euros. f) La grafica de la funci´o benfici ´es correspon a la de la Figura 3. Per determinar els nivells de producci´o que fan que hi hagin benficis, ´es a dir, que fan B(q) > 0, en primer lloc es busquen els que fan B(q) = 0. En aquest cas de (^2) Una altra forma de maximitzar la funci´o benefici B(q) ´es observar que aquesta ´es una parabola amb el coeficient principal negatiu i per tant el seu maxim es correspon amb el v`ertex.
−q^2 + 36q − 36 = 0 s’obt´e
q =
(−36)^2 − 4(−1)(−36)
1‘03 18 34‘97^ q
p 288
0
B(q)
Figura 3: Gr`afica de B(q) = −q^2 + 36q − 36.
Al ser B(q) una par`abola amb el coeficient principal (el de la q^2 ) negatiu, resulta que s’obtenen beneficis positius quan el nivell de producci´o es troba entre 1‘03 i 34‘ tones: 1‘03 < q < 34‘.
