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Año Mes Día
Fecha actual: 2002 11 25 (-) Fecha inicial: 2001 05 20
1 6 5
Son 1 año, 6 meses y 5 días: 1x360 + 6x30 + 5 = 545 días
2.6 MONTO O VALOR FUTURO A INTERES SIMPLE
A la suma del capital inicial, más el interés simple ganado se le llama monto o valor futuro simple, y se simboliza mediante la letra F. Por consiguiente,
F = P + I (2.2)
Al reemplazar la ecuación (2.1) en la (2.2), se tiene, F^ = P^ + Pin = P (^1^ + in ) (2.3)
Las ecuaciones (2.2) y (2.3) indican que si un capital se presta o invierte durante un tiempo n , a una tasa de simple i% por unidad de tiempo, entonces el capital P se transforma en una cantidad F al final del tiempo n. Debido a esto, se dice que el dinero tiene un valor que depende del tiempo.
El uso de la ecuación (2.3), requiere que la tasa de interés ( i ) y el número de períodos ( n ) se expresen en la misma unidad de tiempo, es decir; que al plantearse el problema
Ejemplo 2.
Hallar el monto de una inversión de $ 200.000, en 5 años, al 25% EA.
Solución F =? i = 25% 0 5 años
$ 200.
F =P ( 1 +in) =200.000( 1 +0,25x 5 ) = $450.
2.7 VALOR PRESENTE O ACTUAL A INTERES SIMPLE
Se sabe que: F =P ( 1 +in), y multiplicando a ambos lados por el inverso de (1 + in),
se tiene que
( 1 in )
F
P
Ejemplo 2.
Dentro de dos años y medio se desean acumular la suma de $ 3.500.000 a una tasa del 2.8% mensual, ¿Cuál es el valor inicial de la inversión?
Solución: F = $ 3.500.
0 i = 2,8% m 30 meses
P =?
$1.902.173, 91 (1 0,028x30)
3.500. (1 in)
F P =
=
=
De acuerdo al cálculo anterior, el valor presente, simbolizado por P , de un monto o valor futuro F que vence en una fecha futura, es la cantidad de dinero que, invertida hoy a una tasa de interés dada producirá el monto F. Encontrar el valor presente equivale a responder la pregunta: ¿Qué capital, invertido hoy a una tasa dada, por un período determinado, producirá un monto dado?. En caso de una obligación el contexto, es exactamente el mismo, la pregunta sería: ¿Qué capital, prestado hoy a una tasa dada, por un período determinado, producirá un monto futuro a pagar?
Ejemplo 2.
Hallar el valor presente de $ 800.000 en 4 años y medio, al 3% mensual.
Solución:
a) De forma mensual
n = 4.5x12 = 54 meses F = $ 800. i = 3% m 0 54 meses
P =?
305.343. (1 0,03x54)
(1 in)
F P =
=
=
b) De forma anual
i = 0,03 x 12 = 36% anual
i
1 P
F
n
÷
÷
ø
ö ç ç è
æ
= (2.6)
Ejemplo 2.
¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido al 20% de interés anual simple?.
Solución:
$ 2 i = 20% anual 0 n años
$ 1
5 años 0,
1 1
2
i
1 P
F
n =
=
=
÷
÷
ø
ö ç
ç è
æ ÷
÷
ø
ö ç
ç è
æ
Ejemplo 2.
¿ En cuánto tiempo se acumularían $ 8.000.000 si se depositan hoy $ 2.500.000 en un fondo que paga al 3% simple mensual?.
Solución:
$ 8.000. i = 3% m 0 n meses
$ 2.500.
73,3 meses 0,
1 2.500.
8.000.
i
1 P
F
n =
=
=
÷
÷
ø
ö ç
ç è
æ ÷
÷
ø
ö ç
ç è
æ
2.10 DESCUENTO
El descuento es una operación de crédito que se realiza normalmente en el sector bancario, y consiste en que los bancos reciben documentos negociables como cheques, letras de cambio, pagares, de cuyo valor nominal descuentan una cantidad equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se
recibe y la fecha del vencimiento. Con este procedimiento se anticipa el valor actual del documento. Existen dos tipos de descuento en el interés simple: a) El descuento comercial o bancario b) El descuento real o justo c) El descuento racional o matemático
En el interés compuesto, existe el descuento compuesto
2.10.1 Descuento comercial o bancario
Es el que se aplica sobre el valor nominal del documento (F). Puede decirse que es el interés simple del valor nominal. En el descuento comercial o bancario, el interés se cobra por adelantado, en lugar de cobrarlo hasta la fecha de vencimiento. Los intereses cobrados anticipadamente se llaman descuento. Por definición se tiene:
D = Vnin = Vn dn (2.7)
D = Descuento comercial o intereses cobrados anticipadamente (Es la cantidad desconocida) V n = Es el valor que se encuentra escrito en el documento (valor nominal) y que
sólo es exigible al vencimiento; si el documento gana intereses, el valor nominal será el monto o valor futuro. d = Es el tipo de interés que se aplica para descontar un documento (tasa de descuento). n = Es el número de períodos que aún le falta al documento para vencer, es decir, el tiempo que transcurre, entre la fecha de negociación (venta) y la fecha de vencimiento.
El valor presente o valor de la transacción, siempre será igual a la diferencia del valor nominal ( Vn ) y el descuento (D), y es la cantidad de dinero que recibe realmente la
persona que negocia el documento.
Vn D Vn Vndn Vn(1 dn) T
V = - = - = - (2.8)
V T , se conoce como valor efectivo del documento
Ejemplo 2.
El descuento comercial simple al 7% anual durante 6 meses alcanza la suma de $ 350.000. Calcular el valor efectivo y nominal de la operación.
Solución:
Tenga en cuenta que seis (6) meses, equivalen a 0,5 años.
Solución:
(1 dn)
n
V
T
V = - ;^ 190.000 =250.000(1-0,03n)
1 0,03n
= - ; 0,76 = 1 - 0,03n ; n = 8 meses
Ejemplo 2.
Una letra de $ 250.000 ganaba una tasa de interés i mensual simple por un año; seis meses antes de vencerse fue descontada en una institución financiera a una d mensual, en forma comercial, y se recibió por ella $ 247.210, habiendo cobrado el banco $ 47.790 por el descuento. Se pide: ¿Qué tasa de interés ganaba la letra y a qué tasa fue descontada por el banco?.
Solución:
a) Determinación del valor de vencimiento o nominal del documento
Vn D T
V = - ; Por consiguiente:
D 247.210 47.790 $ 295. T
Vn =V + = + =
Entonces $ 295.000 es el monto de $ 250.000 a una tasa i mensual por 12 meses
b) Cálculo de la tasa de interés que ganaba la letra
F = P(1+ in) ;^ 295.000^ =^ 250.000(1+12i);^1 12i
= +
Donde: i=1,5% mensual simple
c) La tasa de descuento, aplicada por la institución financiera se calcula así:
D = Vn dn; Entonces: 47.790 = 295.000(6d); donde:
295000x
d=
Por consiguiente: d = 2,7% mensual simple
Es importante anotar que este tipo de descuento se puede aplicar en operaciones comerciales a corto plazo, porque si éste es muy extenso el descuento puede alcanzar todo el valor del documento y entones no tendría sentido la operación de descuento
2.10.2 Descuento real o justo
A diferencia del descuento comercial, el descuento real o justo se calcula sobre el valor real que se anticipa, y no sobre el valor nominal. Se simboliza con Dr.
El descuento real, se puede determinar con la siguiente expresión: Dr^ =^ Vn-P (2.9)
; donde: ( 1 in)
F P
=
Ejemplo 2.
El valor nominal de un documento es $ 2.185.000, si se descuenta 2 meses antes de su vencimiento a una tasa del 20%, encontrar el descuento comercial y el real.
Solución:
El descuento comercial seria:
D =Vndn=2.185.0000,20(2/12)=$ 72.833,
El valor comercial del documento es:
Vn D 2.185.000 72.833,33 $2.112.177, 67 T
V = - = - =
Para determinar el descuento real, se calcula el valor que se anticipa, es decir, se encuentra el valor presente a partir del valor nominal del documento, por lo cual, se utiliza la siguiente fórmula:
$2.114.516, 13 ) 12
2 (1 0,2x
2.185. (1 in)
F P =
=
=
El descuento real seria: Dr = Vn-P=2.185.000-2.114.516, 13 =$70.483,87,
es inferior al descuento comercial.
2.10. 3 Descuento Racional o matemático
El descuento racional, es aquel que se determina sobre el valor efectivo de un documento.
dn T
Dr = Descuento racional = V (2.10)
Se tiene que: VT^ =^ Vn-Dr=Vn-VTdn; por consiguiente : (1 dn) T
dn V T
V T
Vn = V + = + ; de donde
(1 dn)
Vn T V
= (^) (2.11) ; al reemplazar (2.11) en (2.10) se tendrá:
Solución:
Hay que tener en cuenta que seis (6) meses, equivalen a 0,5 años, por lo tanto, se tiene:
D = Dr(1+dn)=350.000(1+0,07*0,5)=$ 362.
2.11 ECUACIONES DE VALOR
En el contexto financiero, frecuentemente una obligación financiera que se pactó inicialmente cancelar de una manera específica o determinada, se procede mediante acuerdo entre las partes (prestamistas y prestatarios), a cambiar la forma de cancelación mediante el pago de una o varias cuotas, operación que recibe el nombre de refinanciación de deudas, pero teniendo en cuenta que en una economía en donde el poder adquisitivo de la moneda cambia a través del tiempo, es necesario para dar solución a éste problema, utilizar las ecuaciones de valor.
Las ecuaciones de valor son también conocidas con el nombre de teorema fundamental de las matemáticas financieras, por lo cual, permiten resolver de manera fácil cualquier problema de las matemáticas financieras.
Las ecuaciones de valor, no son más que igualdades de valor referenciadas a una fecha determinada o específica, denominada fecha focal y se simboliza por ff y en el diagrama económico se representa a través de una línea de trazos. En la fecha focal se igualan los flujos de caja para hacer la comparación y en ella, se comparan los ingresos con los egresos, las deudas con los pagos, los activos con los pasivos y el patrimonio, los flujos de caja que están arriba del diagrama con los que están abajo. Por lo tanto, se podría expresar de la siguiente manera:
(1) S Ingresos = S Egresos [en la ff] (2) S Deudas = S Pagos [en la ff] (3) S Activos = S (Pasivo + capital) [en la ff] (4) S Arriba = S Abajo [en la ff]
Hay que anotar que la convención que se adopta para llevar al diagrama económico los ingresos, deudas y activos son flechas hacia arriba ( ), mientras; mientras que los egresos, pagos, pasivos y capital, se representan con flechas hacia abajo ( ¯ ). La anterior convención, es importante porque le permite al lector leer y comprender más fácilmente el diagrama económico. Para resolver los problemas lo primero que debe hacerse es determinar la fecha focal en la cual se van a comparar los flujos de caja, y además, hay que tener en cuenta que en el caso del interés compuesto, dos flujos de caja equivalente en una fecha lo serán en cualquier otra y, por lo tanto, se puede seleccionar cualquier fecha para llevar a cabo la comparación y encontrar lo que se está preguntando.
El traslado de los flujos de caja (ingresos o desembolsos) a la fecha focal, se hará usando las fórmulas del valor presente o valor futuro a la tasa de interés especificada
de común acuerdo entre las partes. Los flujos de caja que se encuentren en la fecha focal, no sufrirán ningún cambio.
Ejemplo 2.
Una persona debe cancelar tres pagarés así: $ 60.000 dentro de 5 meses, $ 80. dentro de 8 meses y $ 120.000 dentro de 18 meses. Si pacta pagar hoy $ 40.000 y el resto en el mes 10. Determinar el valor del pago, para que las deudas queden saldadas. Tenga en cuenta una tasa de interés del 25% y la fecha focal en el mes 8.
Solución $ 120. $ 80. $ 60. 10 18 meses 0 5 8
$ 40.000 ff $ X
El periodo 0 representa el día de hoy, los restantes números en el diagrama económico representan las fechas de vencimientos de las deudas y de los pagos. Se observa que las deudas se han colocado a un lado del diagrama económico y los pagos en el otro lado. Para plantear la ecuación de valor, se trasladan todas las deudas y los pagos a la fecha focal utilizando la tasa del 25%. Se usa el siguiente principio:
åDeudas =åPagos(ff®^ 8)
) 12
( 1 2
X ) 12
40.000(1 8 ) 12
(1 10
) 80. 12
60.000(1 3
= + ´ +
X 204.576,74 8
196.393,67 81 0,96X ; donde
63.750 80.000 99.310,344 8 46.666,666 7 0,96X
=
=
En el mes 10 debe pagarse exactamente $ 204.576,748, para garantizar el pago de la obligación financiera, si se paga antes o después la cantidad varía. Ejemplo 2.
Se tienen dos deudas determinadas así. $ 70.000 con vencimiento en 8 meses e intereses del 20%, y $ 120.000 con vencimiento en 20 meses e intereses del 30%. Si se van a cancelar con un pago de $ 50.000 hoy y $X en el mes 12. Determinar el valor
