¡Descarga Matemáticas 01 2013 y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Facultat de Ciències Econòmiques i Empresarials
Estudi: Grau ADE i Economia Curs: 1r.
Convocatòria: 2a. prova d’avaluació Data: 23 gener 2014
Dades de l’estudiant
Cognoms: Nom: DNI: Grup:
PROVA D’AVALUACIÓ DE MATEMÀTIQUES I
Professors: Joan Carles Ferrer, Dolors Corominas, Xavier Molas.
Criteris d´avaluació: Cada exercici es valora sobre 2 punts.
1. Considereu la funció ( ) ( )
x f x x
3 =. Es demana:
a) Trobeu la funció derivada f ' ( x ).
x f x x
3 = és una funció potencial-exponencial; cal derivar amb el mètode de derivació logarítmica :
x y x
3
= 2) ln [ y ] ln [( x ) ] xln ( x )
x = = 3 ⋅
3
= 3 ⋅ + 3 ⋅ = lnx + x
lnx x y
y'
4) [ 3 ( ) 3 ] ( ) 3 ( ( ) 1 ) ( ) ( ) 3 ( ( ) 1 )
3 3 y' = y ⋅ lnx + = x ⋅ lnx + ⇒ f' x = x ⋅ lnx +
x x
b) Determineu el valor de la primera derivada en el punt P(1,1), i indiqueu raonadament si la
funció és creixent o decreixent en aquest punt. Trobeu també la inclinació de la recta tangent a
la funció en P.
Es pot comprovar que el punt P(1,1) és un punt de la funció: ( 1 ) ( 1 ) 1 1
31 3 = = =
⋅ f
Prenent el resultat de a), la primera derivada en P val: ( 1 ) ( 1 ) 3 ( ( 1 ) 1 ) 13 ( 0 1 ) 31 3
3 1 = ⋅ + = ⋅ ⋅ + = ⋅ =
⋅ f' ln
Com que la derivada primera és positiva en el punt P, f ' ( 1 ) = 3 > 0 , ( ) ( )
x f x x
3 = és creixent en P.
El pendent de la recta tangent a la funció en el punt P és: mt = f' ( 1 ) = 3 i la inclinació d’aquesta recta
tangent respecte l’eix X en P val: m t = tg (α ) → α= arctg ( m t ) = arctg ( 3 ) = 71 ' 565 º= 71 º 33 ' 54 ''
c) Determineu l’increment real de la funció ∆y i l’increment aproximat dy (diferencial de la
funció) en el punt P(1,1), si prenem una variació o diferencial de la variable independent de
∆x = dx = 0’1.
3 1 ' 1 3 ' 3
⋅
f x xP f f , ( ) ( 1 ) ( 1 ) 1
31 = = =
⋅ f xP f
L’increment real és: ∆ y = f ( x +∆ x ) − f ( x ) → ∆ yP = f ( 1 1 ' ) − f ( 1 ) = 1 ' 369607 − 1 = 0 ' 369607
L’increment aproximat és: dy = f '( x ) ⋅ dx → dyP = f '( 1 ) ⋅ dx = 3 ⋅ 0 ' 1 = 0 ' 3
d) Finalment, trobeu l’error absolut i l’error relatiu comesos quan aproximem ∆y per dy.
a 0 '^3696070 '^30 '^069607 , = = × ≈ ∆
p
a p r y
y dy
ε ε ε
Qualificació:
2. La funció d’oferta Q d’un producte, depenent del preu P, ve donada per la funció:
Q(P) 1'5P 9P 15
2 = − +
a) Representeu gràficament aquesta funció d’oferta donant valors a P dins l’interval [0,6].
Q(P) és una funció polinòmica de grau 2,
representada per una paràbola còncava
ja que a = 1’5 > 0 i amb el seu vèrtex en
el punt xv = − b /2 a = +9/(2·1’5) = 3
P Q
0 15
1 7’
2 3
3 1’
4 3
5 7’
6 15
b) Determineu l’elasticitat de l’oferta i, tot seguit, trobeu el seu valor quan P = 4 u.m. Raoneu si
l’oferta en aquest punt és elàstica o inelàstica. I a quin límit tendeix l’elasticitat per preus molt i
molt grans?.
Es calcula primer la derivada de la funció d’oferta: Q’(P) = 3P − 9
I amb això, l’elasticitat: ( )
Q'(P)
Q
P
E P
2
2
2 − +
' P P
P P
P
' P P
P
El seu valor per P = 4 u.m. és: ( ) 4
E 4
2
2
= = − +
Donat que el valor absolut de l’elasticitat avaluat en aquest preu és més gran que 1, |E(4)| = 4 > 1, la
funció d’oferta Q(P) = 1’5P
2 − 9P + 15 és elàstica per P = 4 u.m. Això vol dir que per petites variacions
d’aquest preu es produiran variacions de l’oferta majors que les del preu (aprox. 4 cops més grans).
Límit per preus molt grans: ( ) Ind.
lím EP lím 2
2
P P ∞
→∞ →∞ ' P P
P P
límEP P
c) Determineu l’equació de la recta tangent a la funció Q(P) en el punt N(4,3).
N(4,3) ⇒ Q(4) = 3; el pendent de la recta tangent és : Q’(P) = 3P − 9 → Q’(4) = 3·4 − 9 = 3 = mt
Equació de la recta tangent a una funció y = f ( x ) en el punt P(a,f(a)): y − f ( a ) = mt· ( x − a )
Per la funció d’oferta, rt : Q − Q(4) = mt· (P − 4) → Q − 3 = 3·(P − 4) → Q = 3P − 9
d) Usant la definició de derivada d’una funció, trobeu l’expressió de la derivada primera de la
funció f ( x ) x 2 x
2 = +.
Definició de derivada primera d’una funció: ( )
x
f x x f x f ' x lím x (^) ∆
∆ → 0
f ( x ) = x + 2 x → f ( x +∆ x ) =( x +∆ x ) + 2 ( x +∆ x ) = x + 2 x ∆ x +( ∆ x ) + 2 x + 2 ∆ x
2 2 2 2
[ ( ) ] [ ] ( )
∆ → ∆→ x
x x x x x x x x lím x
x x x x x x x x f ' x lím x x
2 2 2
0
2 2 2
0
0 0
2
0
∆→ ∆→ ∆→
lím x x x x
x x x lím x
x x x x lím x x x
4. Considereu una funció de demanda P d’una empresa, on Q és el número d’unitats produïdes
i P el seu preu, i la seva funció de cost promig CP, donades respectivament per les expressions
següents:
P(Q) = 18 − 3Q ( ) Q
Q 12 Q 33
Q
CT
CP Q
2 = = − + +
Determineu el nivell de producció Q que:
a) maximitza els ingressos totals.
Ingressos totals: IT(Q) = P·Q = (18 − 3Q)·Q = 18Q − 3Q
2
IT’(Q) = 18 − 6Q = 0 → Q = 3 unitats , IT’’(Q) = − 6 < 0 ⇒ Q = 3 és un màxim
b) minimitza els costos marginals.
Costos totals: CT(Q) = CP(Q)·Q =
Q
Q 12 Q 33
2 ·Q = Q
3 − 12Q
2
Costos marginals: CM(Q) = CT’(Q) = 3Q
2 − 24Q + 33
CM’(Q) = CT’’(Q) = 6Q − 24 = 0 → Q = 4 unitats , CM’’(Q) = 6 > 0 ⇒ Q = 4 és un mínim
c) maximitza els beneficis totals.
Beneficis totals: BT(Q) = IT − CT = (18Q − 3Q
2 ) − (Q
3 − 12Q
2
3
2 − 15Q − 28
BT’(Q) = − 3Q
2
2 − 6Q + 5) = 0 → Q = 5 i Q = 1
BT’’(Q) = − 6Q + 18 → BT’’(5) = − 6·5 + 18 = − 12 < 0 ⇒ Q = 5 és un màxim
→ BT’’(1) = − 6·1 + 18 = + 12 > 0 ⇒ Q = 1 és un mínim (no és la solució)
5. a) Resoleu les següents integrals indefinides:
∫
x x x
· x 5 5 d
5 sin ∫
x x x
ln d
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
⋅ + + + + x x x x x x
x x x
x x x
x
x d d 5 d 5 d
5 5 d 5 sin d
5 sin
5
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
5 C
ln 5
d d 5 d 5 d 5 cos 5 ln
5 sin d 5
5
6
5
1 x
x x x x x x x x x
x x
x x
5 C
ln 5
5 cos 5 ln
5 = − x + x + x x + + x +
x
∫ ∫ ∫
⋅^ =
ln C 3
C
ln d 5 d 5
ln d 5
3 2 2 2 x
t x x t t x
x x x
Canvi: dx dt x
x = t =
ln ,
b) Determineu el valor de l’àrea que queda per sobre de l’eix d’abscisses i per sota la paràbola
d’equació ( ) 2 3
2 f x = − x + x + , fent prèviament la gràfica per esbrinar els dos límits d’integració.
Límits d’integració → Punts de tall amb l’eix X: ( ) 2 3 0
2 f x = − x + x + = → x = 3 i x =− 1
( )
( ) ( ) ( ) =
−
∫−
A 2 3 d
2
3 2
(^33)
1
3 3 2
1
2 x
x x x x x
( )
2 10 ' 6 u 3
= + =^ =
( ) 2 3
2 f x = − x + x + és una funció polinòmica de grau 2, representada per una paràbola convexa ja
que a = −1 < 0 i amb el seu vèrtex en el punt xv = − b /2 a = −2/(2·(−1)) = 1
x y
-3 -
-2 -
-1 0
0 3
1 4
2 3
3 0
4 -
5 -
A
