Matemàtiques I Examen Final ETSAB 14-1-2009
1.
a) Construïu amb regle i compàs un trapezi conegudes
les dues diagonals, el costat més curt dels dos que no
són paral·lels i sabent-ne que la proporció entre les
bases és el nombre d’or. (Indicació: El punt de tall
de les diagonals compleix una propietat fàcil de
determinar a partir de la semblança de certs
triangles)
b) Si la longitud de la base més curta mesura 1, quina longitud té el segment que queda dins del
trapezi, és paral·lel a les bases i passa pel punt de tall de les diagonals?
(2,5 punts)
2.
a) Doneu dues propietats geomètriques característiques de la paràbola.
b) Doneu l’equació d’una paràbola que té focus en el punt
(
)
2,1
i vèrtex en el punt
(
)
2,2
. Feu-ne
un dibuix i doneu-ne les equacions de la directriu i l’eix.
c) Feu la classificació i dibuixos representatius de la família de quàdriques
(
)
22
10
axayz
+−−=
on a és un paràmetre real.
(2,5 punts)
3.
a) Doneu la definició d’endomorfisme diagonalitzable i el teorema de caracterització.
D’un endomorfisme f de
3
R
se sap que els conjunts
(
)
{
}
,,
xyzxyz
==
i
(
)
(
)
1,0,1,0,1,1
−−
són dos subespais de vectors propis de f i que
(
)
(
)
1,2,34,2,0
f=. Aleshores:
b) Comproveu que f és diagonalitzable i doneu-ne una base,
,
V
de vectors propis.
c) Expresseu els vectors
(
)
1,2,3
u=
r
i
(
)
4,2,0
w=
r
en la base
V
.
d) Escriviu matricialment en la base
V
que
(
)
fuw
=
rr
i calculeu els valors propis de f.
e) Doneu la matriu de f en la base canònica.
(2,5 punts)
4.
a) Sigui l’endomorfisme
22
:f→
fRR
definit per
( )
( )
1
,25,52
3
fxyxyxy
=−−−+. Doneu-ne
la matriu, comproveu que és una transformació ortogonal, classifiqueu-la i doneu-ne els
elements característics. Calculeu i feu un dibuix aproximat de la imatge per f de la
circumferència de centre el punt
(
)
3,0
i radi 1.
b) Doneu la matriu d’un gir axial de 180º respecte de l’eix d’equacions
430
0
xy
z
−=
=
.
(2,5 punts)