¡Descarga Matemáticas 06 2017 y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
1.
a
b
b
a. En què consisteix la quadratura d’una figura plana? (^) a
Feu la quadratura de les superfícies de les figures
Fig. 1
b. Donada una circumferència i dos radis no colineals, traceu una circumferència tangent a i als dos
radis.
C C
Fig. 2
(2 punts)
Resolució: a. La quadratura d’una figura plana consisteix en construir amb regle i compàs un quadrat que tingui la
mateixa àrea que la figura.
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
àrea. 1
àrea. 2
Fig a b Quadratura x a b
2 Fig a b Quadratura y a b a y b
En el primer cas, la quadratura és el quadrat de costat x^ , on
2 2 2 x a b , per tant x^ és la hipotenusa
del triangle rectangle de catets a i b.
En el segon cas, la quadratura és el quadrat de costat y ,on
2 2 a y b
2 , és a dir, és un catet del
triangle rectangle d’hipotenusa on l’altre catet és.
y
a b
a
x a
b b
y
b. El centre de la circumferència buscada estarà en la bisectriu de
l’angle que formen els dos radis.
b
T
C
t
b
La intersecció de amb serà el punt de tangència de C amb la
circumferència buscada. Si tracem aquesta tangent , la circumferència
buscada serà tangent a i als dos radis, per tant el seu centre estarà
també en les bisectrius dels angles que formen els perllongaments del
radis amb. La intersecció d’aquestes bisectrius és el centre de la
circumferència solució.
b C T
t
t
t
2.
a. Demostreu que dues diagonals d’un pentàgon regular, concurrents en un vèrtex, divideixen l’angle interior
del pentàgon en tres angles iguals. Doneu-ne el valor.
b. Demostreu que cos
( =nombre d’or).
(1,5 punts)
Resolució:
a. Els tres angles són iguals per ser inscrits en una circumferència i abastar la mateixa
2 5
longitud d’arc. Per tant, el seu valor és la meitat de l’angle central
b. Si D és la diagonal del pentàgon i C el seu costat
/ 2 cos cos 5 2
D
C
3. Considereu
3 3 p : la projecció ortogonal sobre el pla XY definida per
p x y z , , x y , , 0
a. Proveu que p és una aplicació lineal. Doneu-ne la matriu
b. Descriviu, geomètricament, els subespais ker^ p^ i Im^ p^ ?Doneu-ne una base i la seva dimensió
Considereu l’esfera de centre el punt 3, 2,5 i radi 2.
c. Quina és la projecció ortogonal sobre el pla XY d’aquesta esfera?
d. Trobeu els punts de l’esfera que es projecten ortogonalment sobre el punt 3, 2, 0.
(2 punts)
Resolució:
a. p és lineal perquè les coordenades del vector p x y z , , x y , , 0són lineals en les variables x , y i z
0, 0,1 0, 0, 0^0 0
p
p M
p
és la matriu de la projecció.
b.
ker , , / , , 0, 0, 0 , , / , , 0 0, 0, 0
p x y z p x y z x y z x y
z z R
ker p
és l’eix Z
dim(ker p ) 1 i una base és 0, 0,1
Im p p 1, 0, 0 , p 0,1, 0 , p 0, 0,1 1, 0, 0 , 0,1, 0 , 0, 0, 0 1, 0, 0 , 0,1, 0 Im p és
el pla XY , dim(Im p ) 2 i una base és 1,0,0 , 0,1,0
c. La projecció serà el cercle de centre el punt 3, 2,0 i radi 2.
d. Seran els punts 3, 2,5^ ^ 2 = 3,2,3 ^ i^ 3, 2,5^ ^2 ^ 3, 2,7.
4.
a. Doneu la definició de transformació ortogonal i digueu quins són els seus possibles valors propis reals.
Sigui f un endomorfisme de
2 R i u 1 (^) (1, 2)
i u 2 (^) ( 2,1)
dos vectors propis associats als valors propis
1 a i 2 1, respectivament
b. Doneu una base V v 1 , v 2
ortonormal de vectors propis i les matrius de canvi de base.
c. Doneu la matriu de f en la base i en la base canònica
d. Discutiu per a quins valors de l’endomorfisme
V
a f és una transformació ortogonal. Doneu-ne els seus
elements característics en cada cas.
(2 punts) Resolució:
a. És un endomorfisme que conserva el producte escalar. Els possibles valors propis reals són 1 i 1
b. Tenim que 1 2 és una base de vectors propis, i com que
1 2 2 , 2 1
rang u u
^
u u 1 · 1 1, 2 · 2,1 0 ,
el vectors u 1 (^) i u 2
són ortogonals i
1 ^ ^2 ^
1 1 1, 2 , 2, 5 5
V v v
(^)
és una base ortonormal de vectors propis. La matriu de canvi de la base V a la base canònica és
1 1 2
5 2 1
P
(^)
ió de la paràbola és de la forma
i com que passa pel punt
a. Teoria b. L’equac
2 y 2 2 p x 1
2 0 2 2 p 0 1 p 2
i l’equació és
(^1)
El seu focus és el punt la seva directriu la recta
ta
6.
metries que
b. Doneu el grup de simetria de la
2 y 2 4 x
0, 2^ ,
x 2 i el seu eix la rec y 2.
figura amb els seus elements.
a. Doneu un motiu generador, un patró i les iso
deixen invariant la sanefa.
(1 punt) esolució:
patró
motiu
c. Només té girs de centre el centre del quadrat i angles 90º, 180º, 270º i 360º (la identitat): és un grup cíclic
R
a.
C 4
v
(^) v
v / 2
v
Isometries: de vector (^) v
Translacions i els seus múltiple enters,
Lliscaments de vector v / 2
