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Matem´aticas Financieras Problemas resueltos Tema 1 Grado ADE
- Para comprar un art´ıculo entregamos 315 euros en efectivo y firmamos 3 letras de igual nominal y vencimientos a los 60, 90 y 120 d´ıas respectivamente, para lo que nos aplican un tanto de inter´es del 6 %. Transcurridos 45 d´ıas, dichas letras son vendidas a un inversor, aplic´andole un tanto de descuento del 5 % y una comisi´on del 1′125 % sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y no disponiendo de dinero, proponemos al inversor cambiar las letras por una s´ola con vencimiento dentro de 4 meses, el inversor acepta y nos aplica un tanto de descuento del 4 % y una comisi´on del 2 % sobre el nominal de las letras sustituidas. Se pide:
a) Calcular el nominal de las tres primeras letras, si el inversor pago por ellas 3.618 euros. b) Precio al contado del art´ıculo. c) Nominal de la letra que sustituye a las anteriores. d ) Rentabilidad de la operaci´on para el inversor.
Soluci´on
El esquema de la situaci´on inicial es el siguiente:
P
315 N N N
i = 6 %
teniendo en cuenta que nos dan un tanto de inter´es, utilizaremos descuento racional, por lo que el precio al contado del art´ıculo ser´ıa:
P = 315 +
N
N
N
a) Transcurridos 45 d´ıas las letras son vendidas, a un tanto de descuento del 5 % (descuento comercial por tanto) y comisi´on de 1, 125 % sobre el nominal de cada una, a un inversor que paga por ellas 3.618 euros. Por tanto:
N
d = 5 % comisión 1,125 % sobre nominal de cada letra
N N
3 .618 = N (1 −
=60− 45 ︷︸︸︷ 15 360
0 , 05) + N (1 −
0 , 05) + N (1 −
efectivo
+ 3 ︸N · 0 ︷︷, 01125 ︸
comisi´on
=⇒ N = 1.200 euros
Observemos que en este caso la comisi´on penaliza aumentando el efectivo.
b) Una vez calculado el nominal de cada letra, y teniendo en cuenta la situaci´on inicial, podemos calcular f´acilmente el precio al contado del art´ıculo:
P = 315 +
=⇒ P = 3. 861 , 86 euros
c) En el vencimiento de la primera letra, y sin a´un haber pagado ´esta, sustituimos las tres letras pendientes por una s´ola:
1.200 1.200^ 1.
X
d = 4% comisión 2 % sobre nominal letras sustituidas
Por tanto, por equivalencia financiera entre la deuda actual y la futura se tiene:
deuda actual
comisi´on
= X(1 −
deuda futura
=⇒ X = 3. 709 , 46 euros
d ) Para calcular la rentabilidad del inversor, tengamos en cuenta que compr´o las tres letras en 45 por un importe total de 3.618 euros, y ha recibido en 180, la letra de nominal 3.709,46 euros, por lo que:
45 180
3.618 i? 3.709,
Por tanto:
· i) =⇒ i = 0, 067411093 =⇒ i ≃ 6 , 74 %
c) En el vencimiento de la primera letra, y sin a´un haber pagado ´esta, sustituimos las tres letras pendientes por una s´ola:
60 90 120
2.000 (^) 2.000 2.
60 135
X
d = 6 % comisión 1,5 % sobre nominal letras sustituidas
Por tanto, por equivalencia financiera entre la deuda actual y la futura se tiene:
deuda actual
comisi´on
= X(1 −
deuda futura
=⇒ X = 6. 136 , 71 euros
d ) Para calcular la rentabilidad del banco, tengamos en cuenta que compr´o las tres letras en 15 por un importe total de 5.908,02 euros, y ha recibido en 135, la letra de nominal 6.136,71 euros, por lo que:
15 135
5.908,02 i? 6.136,
Por tanto:
· i) =⇒ i = 0, 11612342 =⇒ i ≃ 11 , 61 %
- El se˜nor Benavente compra un art´ıculo valorado en 4.000 euros para lo cual entrega en efectivo 445 euros y firma 3 letras de igual nominal y vencimientos respectivos 60, 90 y 120 d´ıas acordando un tanto de descuento del 5 %. Transcurridos 15 d´ıas el due˜no de la tienda descuenta las letras en un banco que le aplica un tanto de inter´es del 4 % y una comisi´on del 1 % sobre el nominal de cada letra. 30 d´ıas m´as tarde, el banco vende las letras a un inversor a un tanto de descuento del 5 % y una comisi´on del 2 % sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y una vez pagada ´esta, el se˜nor Benavente propone al inversor cambiar las letras pendientes por una s´ola con vencimiento dentro de 90 d´ıas. El inversor acepta, cobrando un tanto de inter´es del 5 %, y una comisi´on del 2 % sobre el nominal de cada letra sustituida con un m´ınimo de 50 euros. Se pide:
a) Nominal de las letras que firma el se˜nor Benavente. b) Cantidad obtenida por el vendedor al descontar las letras. c) Cantidad pagada por el inversor al comprar las letras. d ) Tanto de inter´es efectivo de la operaci´on realizada por el banco. e) Nominal de la letra que sustituye a las pendientes.
Soluci´on
a) Teniendo en cuenta los datos iniciales, se tiene:
445 N N N
d = 5 %
como nos dan un tanto de descuento, utilizaremos descuento comercial, por lo que por equivalencia financiera entre prestaci´on y contraprestaci´on calcular´ıamos el nominal:
4 .000 = 445 + N (1 −
0 , 05) + N (1 −
0 , 05) + N (1 −
=⇒ N = 1.200 euros
b) Transcurridos 15 d´ıas, el vendedor acude al banco y descuenta las letras a un tanto de inter´es del 4 % (descuento racional por tanto) y comisi´on de 1 % sobre el nominal de cada una, por tanto:
(^1560 90 )
i = 4 % comisión 1 % sobre nominal de cada letra
1.200 1.
L =
efectivo
comisi´on
=⇒ L = 3. 524 , 27 euros
- El se˜nor L´opez compra un art´ıculo entregando en efectivo 545 euros y firmando 3 letras de nominal 1.500 euros y vencimientos respectivos 60, 90 y 120 d´ıas a un tanto de descuento del 4 %. Transcurridos 30 d´ıas el due˜no de la tienda descuenta las letras en un banco que le aplica un tanto de inter´es del 5 %, y una comisi´on del 1 % sobre el nominal de cada letra con un m´ınimo de 50 euros. 15 d´ıas m´as tarde, el banco vende las letras a un inversor a un tanto de descuento del 5 % y una comisi´on del 0′5 % sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y antes de pagar ´esta, el se˜nor L´opez propone al inversor cambiar las letras pendientes por una s´ola con vencimiento dentro de 90 d´ıas. El inversor acepta, cobrando un tanto de inter´es del 5 %, y una comisi´on del 2 % sobre el nominal de cada letra que interviene en la operaci´on con un m´ınimo de 70 euros. Se pide:
a) Precio del art´ıculo comprado por el se˜nor L´opez. b) Cantidad obtenida por el vendedor al descontar las letras. c) Cantidad pagada por el inversor al comprar las letras. d ) Nominal de la letra que sustituye a las pendientes. e) Tanto de inter´es efectivo del inversor.
Soluci´on
a) Teniendo en cuenta los datos iniciales, se tiene:
P
(^060 90 )
545 1. d = 4 %
1.500 1.
como nos dan un tanto de descuento, utilizaremos descuento comercial, por lo que por equivalencia financiera entre prestaci´on y contraprestaci´on calculamos el precio del art´ıculo:
P = 545 + 1.500(1 −
=⇒ P = 5.000 euros
b) Transcurridos 30 d´ıas, el vendedor acude al banco y descuenta las letras a un tanto de inter´es del 5 % (descuento racional por tanto) y comisi´on de 1 % sobre el nominal de cada una, con un m´ınimo de 50 euros.
30 60 90 120
1.500 1.500 1.
i = 5 % comisión 1 % sobre nominal letras descontadas con un mínimo de 50 euros
la comisi´on ser´ıa 1. 500 · 3 · 0 , 01 = 45, pero como hay un m´ınimo de 50 euros, tomamos como comisi´on el m´ınimo:
L =
efectivo
comisi´on
=⇒ L = 4. 412 , 86 euros
c) Transcurridos 15 d´ıas m´as, el banco vende las letras a un inversor, aplicando un tanto de descuento del 5 % y un comisi´on del 0, 5 % sobre el nominal de cada letra.
45 60 90 120
1.500 1.500 1.
d = 5 % comisión 0,5 % sobre nominal de cada letra
Inv = 1.500(1 −
cuant´ıa te´orica que deber´ıa pagar
comisi´on
=⇒ Inv = 4. 494 , 375 euros
d ) En el vencimiento de la primera letra, y sin haber pagado ´esta, sustituimos las tres letras por una s´ola:
60 90 120
1.500 (^) 1.500 1.
60 150
X
i = 5 % comisión 2 % sobre nominal letras sustituidas con un mínimo de 70 euros
Por tanto, por equivalencia financiera entre la deuda actual y la futura y teniendo en cuenta que la comisi´on que deber´ıamos pagar ser´ıa (4.500 + X) · 0 , 02 = 90 + 0, 02 X euros, que supera el m´ınimo de 70 euros, se tiene:
deuda actual
+ (4.500 + X) · 0 , 02
comisi´on
X
deuda futura
=⇒ X = 4. 724 , 19 euros
e) Para calcular el tanto efectivo del inversor, tengamos en cuenta que compr´o las tres letras en 45 por un importe total de 4.494,375 euros, y ha recibido en 150 la nueva letra de nominal 4.724, euros, por lo que:
4.494,375 i? 4.724,
Por tanto:
· i) =⇒ i = 0, 175313427 =⇒ i ≃ 17 , 53 %
c) En el vencimiento de la primera letra, y una vez pagada ´esta, sustituimos las dos letras pendientes por una s´ola:
30 60 90
30 120
X
d = 5 % comisión 1 % sobre nominal de la nueva letra
8.000 (^) 8.
Por tanto, por equivalencia financiera entre la deuda actual y la futura se tiene:
deuda actual
+ (16.000 + X) · 0 , 01
comisi´on
= X(1 −
deuda futura
=⇒ X = 16. 429 , 67 euros
d ) Para calcular la rentabilidad del due˜no del concesionario, tengamos en cuenta que en el momento inicial (0) vendi´o un coche valorado en 30.000 euros, recibi´o en ese momento 6.440 euros en efectivo, y 15 d´ıas m´as tarde obtuvo 23.701,73 euros al negociar las letras. La operaci´on se puede resumir en el siguiente esquema:
0
15
23.701,
Por tanto:
· i
=⇒ i = 0, 144378024 =⇒ i ≃ 14 , 44 %
e) Para plantear la ecuaci´on que nos da el TAE de la operaci´on efectuada por el banco, tengamos en cuenta que en el momento 15 obtuvo las letras por un importe de 23.701,73 euros y que como contraprestaci´on ha recibido 8.000 euros en 30 y 16.429,67 en 120. La operaci´on se puede resumir en el siguiente esquema:
15
23.701,
30
120
16.429,
Por tanto la ecuaci´on ser´ıa:
i
i
=⇒ i ≃ 14 , 78 %
f ) Para plantear la ecuaci´on que nos da el TAE de la operaci´on realmente efectuada por el Sr. Ruiz, tengamos en cuenta que en el momento 0 compr´o un coche valorado en 30.000 euros, entregando en dicho momento 6.440 euros, transcurridos 30 d´ıas pag´o una letra de cuant´ıa 8.000 euros y transcurridos 120 d´ıas (contados desde 0) pag´o un letra de cuant´ıa 16.429,67 euros. La operaci´on se puede resumir en el siguiente esquema:
0
30
120
16.429,
Por tanto la ecuaci´on ser´ıa:
i
i
=⇒ i ≃ 14 , 80 %
- Caja Madrid lanza el Dep´osito 12 Internet y ofrece a sus inversores para operaciones de ahorro a un
a˜no un tanto de inter´es nominal mensual del 12 % durante el primer mes y un 3,70 % nominal
mensual para el resto del a˜no. Calcular el tanto efectivo de la operaci´on.
Soluci´on
Supongamos que invertimos una capital de cuant´ıa C 0 , durante el primer mes J 12 = 0, 12 por tanto i 12 = 0 , 1212 = 0, 01. En los 11 meses restantes J 12 = 0, 037 por tanto i 12 = 0 , 12037 = 0, 0030 ̂8. :
C 0
J 12 = 12 % J 12 = 3,70 %
M 1
Por tanto el montante obtenido a final del a˜no M 1 ser´ıa:
M 1 = C 0 (1 + 0.01)^1 · (1 + 0, 0030 ̂8)^11
Por otro lado si invertimos esta misma cantidad C 0 durante un a˜no a un tanto de inter´es anual compuesto i:
C 0
¿ i?
M 2
obtendr´ıamos un montante M 2 = C 0 (1 + i)^1. Por tanto para calcular el TAE igualamos los montantes obtenidos: M 1 = M 2 =⇒ C 0 (1 + 0.01)^1 · (1 + 0, 0030 ̂8)^11 = C 0 (1 + i)^1 =⇒
(1+0.01)^1 ·(1+0, 0030 ̂8)^11 = (1+i)^1 =⇒ 1 , 044788859 = 1+i =⇒ i = 0, 044788859 =⇒ i ≃ 4 , 48 %
