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Tema 4 Cálculo de primitivas.
4.1 Función primitiva. Integral indefinida.
Definición:
Se llama función primitiva de ݂ ሻݔሺ a otra función ሻݔሺܨ que cumple que ܨ ´ ݂ൌ ሻݔሺ .ሻݔሺ
Ejemplo: ݔ ൌ ሻݔሺܨ ଷ^ es una función primitiva de ݂ ሺݔሻ ൌ 3ݔ ଶ^ ya que ݔ3 ൌ ሻݔሺ´ܨ ଶ^ ݂ൌ ሻݔሺ´ܨ ՜ ሻݔሺ
ݔ ൌ ሻݔሺܩ ଷ^ െ 7 ݕ ܪሺݔሻ ൌ ݔ ଷ^ 5 son funciones primitivas de ݂ ሺݔሻ ൌ 3ݔ ଶ^ ya que: ݔ3 ൌ ሻݔሺ´ܩ ଶ^ 0 ൌ 3ݔ ଶ^ ݂ൌ ሻݔሺ´ܩ ՜ ሻݔሺ ݔ3 ൌ ሻݔሺ´ܪ ଶ^ 0 ൌ 3ݔ ଶ^ ݂ൌ ሻݔሺ´ܪ ՜ ሻݔሺ
Nota: La primitiva de una función no es única. Si ሻݔሺܨ es una función primitiva de ݂ ሻݔሺ^ cualquier otra
función primitiva de ݂ ሻݔሺ^ es de la forma:
ܨሺݔሻ ܥ, con א ܥ Թ
Definición:
La integral indefinida de una función ݂ ሻݔሺ^ es el conjunto de todas sus primitivas, y se representa como
Nota: Si ሻݔሺܨ^ es una primitiva de ݂ :ሻݔሺ
݂න ܨ ൌ ݔ ݀ሻݔሺ ሺݔሻ ܥ , Թ א ܥ ܖóܑ܋܉ܚ܍ܜܖ ܑ ܍܌ ܍ܜܖ܉ܜܛܖܗ܋ se denomina ܥ
Nota: Se tiene que cumplir que ambas funciones estén definidas en un mismo intervalo ܾ,ܽሾ ሿ ك Թ y que la
primitiva sea continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto ܾ,ܽሺ ሻ.
Ejemplo: Resolver las siguientes integrales ܽ ሻ න 3ݔ ݀ଶ^ ݔ ൌ ݔ ଷ^ ܥ porque ݔሺ ଷ^ ܥሻ´ ൌ 3ݔ ଶ
ܾ ܥ ݔ ݊݁ݏ ൌ ݔ ݀ ݔ ݏ ܿන ሻ porque ݔ ݏ ܿൌ ´ሻܥ ݔ ݊݁ݏሺ
ܿܥ ݔ ݏ ܿെ ൌ ݔ ݀ ݔ ݊݁ݏ න ሻ porque ݔ ݊݁ݏ ൌ ´ሻܥ ݔ ݏ ܿ ሺെ
݀ሻ න ሺ1 ݃ݐ ଶ^ ܥ ݔ ݃ݐ ൌ ݔ ݀ ሻݔ porque ൌ ´ሻܥ ݔ ݃ݐሺ ݃ݐ 1 ଶ^ ݔ
Propiedades de la integral:
ܲ݊ ݊ݑ ݎ ݐܿݑ݀ݎ ú ݁݉ :ݎ ݂ ߙ න ߙ ൌ ݔ݀ሻݔሺ ݂න ݔ݀ሻݔሺ
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales ܽ ሻ න ሺ 3ݔ ଶ^ 2ݔሻ ݔ ݀ൌ න 3ݔ ݀ ଶ^ ݔ ൌ ݔ ݀ ݔ2 න ݔ ଷ^ ݔ ଶ^ ܥ
ܾܥ ݔ ݊݁ݏ 5 ൌ ݔ ݀ ݔ ݏ ܿන 5 ൌ ݔ ݀ ݔ ݏ ܿ 5 න ሻ
4.2 Integrales de las funciones elementales.
De las derivadas de las funciones elementales, al cambiar el punto de vista, se obtienen las integrales de
algunas funciones. Estas integrales reciben el nombre de integrales inmediatas.
4.2.1 Integral de una función constante.
ܥ ݔ ݇ൌ ݔ ݀ ݇න con א ݇ Թ
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales ܽ ሻ න 3 ݔ ݀ൌ 3 ݔ ܾܥ ሻ න െ3 ݔ ݀ൌ െ3 ݔ ܥ
4.2.2 Integral de las funciones potenciales.
്݊ െ1 ݔ න ݀^ ൌ ݔ
ܥ ሻݔሺ ݂න^ ^ ݂ൌ ݔ ݀ሻݔሺ´ ݂·^
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales ܽ ሻ න ݔ ݀ ସ^ ൌ ݔ
ݔ ݀ ଶ^
ൌ ݔ ሼSe reescribeሽ ൌ න ݔି ݀ ଶ^ ൌ ݔ
ܿ ሻ න ൌ ݔ ݀ ݔ√ ሼSe reescribeሽ ൌ න ݔ
ଵ ݀ ଶ (^) ൌ ݔ
ଵ ଶାଵ 1 ൗ 2 1
ଷ ଶ 3 ൗ 2
݀ݔ√^
ݔൌ ቄ (^) como dos fraccionesSe reescribe ቅ ൌ න ൬
Se reescribe con exponentes fraccionariosൠ ൌ
ൌ න ൬ݔ ଵି^
ଵ ଶ (^) ିݔ
ଵ ଶ (^) ൰ ݔ ݀ൌ න ൬ݔ
ଵ ଶ (^) ିݔ
ଵ ଶ (^) ݔ න ൌ ݔ ݀൰
ଵ ݀ ଶ (^) ݔ න ݔି
ଵ ݀ଶ (^) ൌ ݔ
ଷ ଶ 3 2
ଵ ଶ 1 2
ݔඥ ଷ^ 2√ ݔ ܥ
Ejercicios: Resolver las siguientes integrales ܽ ሻ න ݔඥ ݀ଷ^ ܾ;ݔ ሻ න ݔሺ2 ଶ^ ܿ;ݔ݀ 5ሻ ݔ3 െ ሻ න ቆ
ݔ ଷ^
݀;ݔ ݀ቇ ሻ න 2ݔ ݔሺ ଶ^ 3ሻ ݀ସ^ ݁;ݔ ሻ න ݔ^
ݔ ଷ^ െ 6݀
݅;ݔ ሻ න ሺ5 ݔ 3ሻ ݀ଷ^ ݆;ݔ ሻ න ݔ^
ଶ ݔ ଷ^ 2݀
ݔ ݇;^ ሻ න^
ݔ√݀య^ ଶ
݀ݔ ݃ݐ ݉ݔ^ ሻ න^
ݏ ଶ^ ݔ ݃ݐ ሺ1 ݔ ሻ݀ଶ^ ݊ݔ^
4.2.3 Integral de las funciones exponenciales.
ܽන ݀௫^ ܽൌ ݔ
ܽ ݈݊௫
ܥ ܽන^ ሺ௫ሻ݂^ ܽൌ ݔ݀ሻݔሺ´
ܽ ݈݊ሺ௫ሻ
݁න ݀௫^ ݁ൌ ݔ ௫^ ܥ ݁න ሺ௫ሻ݂^ ݁ൌ ݔ݀ሻݔሺ´ ሺ௫ሻ^ ܥ
4.2.5 Integral de las funciones inversas de trigonométricas (funciones tipo arco).
√1 െ ݔ ݀ ଶ^
ඥ1 െ ݂ሺݔሻ ଶ^
1 ݔ ݀ ଶ^
1 ݂ሺݔሻ ଶ^
ܽ√ ଶ^ ܾെ ଶ^ ݔ ݀ ଶ^
es una integral del tipo arc senൠ ൌ න^
ܽට ଶ^ 1 െܾ
݀ ଶ ൌ ݔ^
es una integral del tipo arc tg ൠ ൌ න^
ଶ 1 ܾ ଶ^ ݔଶ ܽଶ݀ ൨
ଶ න^
݀ ଶ ൌ ݔ^
es una integral del tipo arc tg ൠ ൌ න݀^
ଶ ቈ1 ൬ܾ ܿ ݔሺ^ ܽሻ൰
ଶ
ଶ ݀න^
1 ൬ܾ ܿ ݔሺ^ ܽሻ൰
1 ൬ܾ ܿ ݔሺ^ ܽሻ൰
݀ଶ ൌ ݔ^
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales
ܽ ሻ න
ඥ1 െ ሺ3ݔሻ݀ଶ^
´ ሺݔሻ ൌ 3 ݊݁ݏ ܿݎ ܽൌ ൠ^
√1 െ 4ݔ ݀ ଶ^
ൌ ݔ ሼSe reescribeሽ ൌ 3 න
ඥ1 െ ሺ2ݔሻ݀ ଶ^
ඥ1 െ ሺ2ݔሻ^ ݀ ଶ^
݈݊ 1 ଶ^ ݔሺ ଶ^ 1ሻ
ݔ ଶ^ 1 ݀
݈݊ൌ ሻݔሺ ݔሺ ଶ^ 1ሻ݂
ݔ ଶ^ 1
݈݊ 1 ଶ^ ݔሺ ଶ^ 1ሻ
ݔ ଶ^ 1 ݀
݈݊൫ ݃ݐ ܿݎ ܽ 3 ൌ ݔሺ ଶ^ 1ሻ൯ ܥ
ሺ1 ݁ି ଶ௫^ ݁· ሻ ௫^ ൌ ሼSe reescribeሽ ൌ න݁ି
ሾ1 ሺ݁ି ௫^ ሻଶ^ ሿ ൌ ൜݂
´ ሺݔሻ ൌ െ݁ି ௫^ ൠ ൌ ሺെ1ሻ න^
ሾ1 ሺ݁ି ௫^ ሻଶ^ ݀ ሿൌ ݔ
݃ݐ ܿݎ ܽ െ ൌ ି݁ሺ ௫^ ሻ ܥ
√9 െ 4ݔ ଶ^
ට9 ൬1 െ ݔ^
ଶ 9 ൰
3ට1 െ ݔ^
ଶ 9
ܽ 2൬ ݊݁ݏ ܿݎ^
9 2ݔ ଶ^ ݀න ൌ^
9 ൬1 ݔ^
ଶ 9 ൰
9 ݀න^
1 ݔ^
ଶ 9
9 ݀න^
Ejercicios: Resolver las siguientes integrales
√1 െ 25ݔ ݀ ଶ^
1 ሺ ݔെ 3ሻ݀ଶ^
ܿ;ݔ ሻ න^
ඥ1 െ ሺ2 ݔെ 3ሻ݀ ଶ^
1 9ݔ ݀ ସ^
6 5ሺ ݔെ 1ሻ^ ଶ
4.3 Método de sustitución o de cambio de variable.
Se trata de sustituir la variable x por otra variable t relacionadas mediante una función biyectiva y
derivable que transforme el integrando en otro más sencillo. Se termina el proceso al hallar la integral en t y
deshacer el cambio de variable.
Ejemplos: ( Integrales inmediatas por sustitución ) ܽ ሻ න ݔሺݔ ଶ^ 5ሻ݀ଶହ^ ݔ
1ª Forma: න ݔሺݔ ଶ^ 5ሻ݀ଶହ^ ݂൜ ൌ ݔ
ሺݔሻ ൌ ݔ ଶ^ ݂5
න 2 ݔሺݔ ଶ^ 5ሻ ݀ଶହ^ ൌ ݔ
ݔሺ ଶ^ 5ሻ ଶ
ݔሺ ଶ^ 5ሻ ଶ
2ª Forma: cambio de variable: න ݔሺݔ ଶ^ 5ሻ݀ଶହ^ ݔൌ ൝
ݔ ଶ^ 5 ൌ ݐ
ൡ ൌ න ݐ ݀ ଶହ^
ݔሺ ଶ^ 5ሻଶ
݈݊ 1 ଶ^ ݔሺ ଶ^ 1ሻ
ݔ ଶ^ 1݀
ݔሺ ଶ^ 1ሻ ൌ ݐ
ݔ ଶ^ 1 ݀ ՜ ݐ ݀ൌ ݔ^
ݔ ଶ^ 1݀ ݀ൌ ݔ^
݃ݐ ܿݎ ܽ 3 ൌ ݈݊ሾ ݔሺ ଶ^ 1ሻሿ ܥ
ܿ ሻ න 2ݔ ඥ1 3ݔ ݀ଶ^ ݔൌ ൝
1 3ݔ ଶ^ ݐ ൌ
ଷ ൗଶ 3 ൗ 2
ሺ1 3ݔ ଶ^ ሻଷ ൗଶ^ ܥ
݀ ݔݐ ݀ൌ ݔ^
ൡ ൌ න ݐ ݀ଷ^ ൌ ݐ
Ejercicios: Resolver las siguientes integrales
ܽ ݔሺ݊݁ݏ ݔ න ሻ ଶ^ ܾ;ݔ ݀ ሻ ሻ න
ܿ;ݔ ݊݁ݏ න ሻ ଷ^ ݀;ݔ ݀ሻݔሺ3ݏ ܿሻݔሺ3 ሻ න
ݏ ଶ^ ݔ ݃ݐ ሺ1 ݔ ሻ݀ଶ^
Resolvemos algunas de las integrales anteriores:
ൌ ݑ ݀՜ ݔ ݈݊ൌ ݑۓ^
௨
௩
௩
ௗ௨
݈݊2െ ݔ^
൝ ൌ ݔ ݀ ݔ ݏ ܿܿݎ ܽන 2ሻ ൌ ݑ ݀՜ ݔ ݏ ܿ ܿݎ ܽൌ ݑ^
√1 െ ݔ ݀ଶ^
௨
௩
௩
√1 െ ݔ ݀ଶ^
ௗ௨
ݔ න ݔ ݏ ܿ ܿݎ ܽ ݔ ൌ ሺ1 െ ݔ ଶ^ ሻି^
ଵ ݀ ଶ (^) ൬െ ݔ ݏ ܿ ܿݎ ܽ ݔ ൌ ݔ 1 2 ൰ නሺെ2ሻ ݔ ሺ1 െ ݔ^
ሺ1 െ ݔ ଶ^ ሻ ି
ଵ ଶ ାଵ െ^12 1
ሺ1 െ ݔ ଶ^ ሻ ଵ ൗଶ
െ ݔ ݏ ܿ ܿݎ ܽ ݔ ൌ ܥ ඥሺ1 െ ݔ ଶ^ ሻ ܥ
ൌ ݒ √ ݔ 1 ݔ ݀՜ ݒൌ න √ ݔ 1 ݔ ݀ൌ නሺ ݔ 1ሻ ଵ ݀ ൗଶ^ ൌ ݔ
ሺ ݔ 1ሻଷ ൗଶ^ ൡ ൌ
௨
ଷ ൗଶ ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ ௩
ଷ ൗଶ ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ ݀ ௩
ௗ௨
ଷ ൗଶ െ^4
Nota: Hay veces que la regla anterior falla.
Ejemplo:
ݔ න ݁ଷ^ ௫^ ݀మ ݔ՜ ൝
ݔ ൌ ݑ ଷ^ ݔ3 ൌ ݑ ݀՜ ݀ ଶ^ ݀ ݔ
݁ൌ ݒ ௫^ ݀ మ݁න ൌ ݒ ՜ ݔ ௫^ ݀మ ݔൌ? ՜݁ ௫^ మno posee primitiva elemental
En general:݁ ሺ௫ሻ^ con ݃ ሺݔሻ un polinomio de grado 2, no posee primitiva elemental.
Otra forma: න ݔ ݁ଷ^ ௫^ ݀మ ݔൌ ൝
ݔ ൌ ݑ ଶ^ ݀ ݔ ݀ ݔ2 ൌ ݑ ݀՜
݁ ݔ ൌ ݒ ௫^ ݀ మ݁ ݔ න ൌ ݒ ՜ ݔ ௫^ ݀మൌ ݔ
௫ మ^ ൡ ൌ ݔด^ ଶ
௨
௫ మ ᇣᇤᇥ ௩
௫ మ ᇣᇤᇥ ௩
ௗ௨
ൌ
ݔ ݁ଶ^ ௫^ మ݁ݔ න െ ௫^ ݀మൌ ݔ
ݔ ݁ଶ^ ௫^ మെ
Nota: Algunas veces hay que repetir el proceso. Ejemplo:
ݔ න ݁ଶ^ ݀ ௫^ ݔൌ ൝
ݔ ൌ ݑ ଶ^ ݀ݔ ݀ ݔ 2 ൌ ݑ ݀՜
݁ൌ ݒ ݀ ௫^ ݁න ൌ ݒ ՜ ݔ ݀௫^ ݁ൌ ݔ ௫^ ൡ ൌ ݔ^
௨
௩
௩
ௗ௨
ݔ ݁ଶ^ ௫^ െ 2 න ݁ݔ ݀௫^ ൌ ݔ
݁ ൌ ݒ ݀ ௫^ ݁ൌ ݒ ՜ ݔ ௫^
ቅ ൌ ݔ ݁ଶ^ ௫^ െ 2 ቈݔณ
௨
௩
݀ ௩
ௗ௨
݁ൌ ௫^ ݔሺ ଶ^ െ 2 ݔ 2ሻ ܥ
Nota: A veces, puede ocurrir que obtengamos en el segundo miembro la integral original. Ejemplo:
݁න ௫^ ݔ ݀ ݔ ݊݁ݏ ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ I
݁ൌ ݑ ௫^ ݁ൌ ݑ ݀՜ ݀ ௫^ ݀ݔ
ൌ ݒ ՜ ݔ ݀ ݔ ݊݁ݏ ൌ ݒ න ݔ ݏ ܿെ ൌ ݔ ݀ ݔ ݊݁ݏ ൡ^ ݁ൌ^
௨
௩
݁ ௩
ᇣᇤᇥ݀ ௫^ ݔ
ௗ௨
݁ ݔ ݏ ܿെ ൌ ௫^ ݁න ܿ௫^ ൝ ൌ ݔ ݀ ݔ ݏ
݁ൌ ݑ ௫^ ݁ൌ ݑ ݀՜ ݀ ௫^ ݀ݔ
݁ ݔ ݏ ܿെ ൌ ௫^ ݁ ด௫
௨
௩
݁ ௩
ᇣᇤᇥ݀ ௫^ ݔ
֜I
I ൌ െ݁ ܿ௫^ ݁ ݔ ݏ ௫^ ֜I െ ݔ ݊݁ݏ
֜ 2I ൌ݁ ௫^ ݁െ ݔ ݊݁ݏ ܿ௫^ ݁ൌ I ֜ݔ ݏ
2 ܥ ՜^
Este tipo de integrales se ܛ܉܋ܑܔ܋í܋ ܛ܍ܔ܉ܚ܍ܜܖ ܑ denominan
4.5 Integración de funciones racionales.
Una función racional es aquella definida como un cociente de polinomios y existe un método general
para resolverlas, el método de descomposición en fracciones simples. Este método consiste en
descomponer el cociente de polinomios en fracciones, que reciben el nombre de fracciones simples, cuya
resolución es inmediata.
con ܲ ܳ ݕ ሻݔሺ ሺݔሻ funciones polinómicas
4.5.1 Conceptos previos.
- Descomposición de un polinomio en factores. Dado ܲ ܽൌ ሻݔሺ (^) ݔ ^ ܽ (^) ିଵ ݔ ିଵ^ ܽ ڮ (^) ଵ ܽ ݔ (^) para descomponerlo en factores:
- Se buscan sus raíces del polinomio ܽ ݔ ^ ܽ (^) ିଵ ݔ ିଵ^ ܽ ڮ (^) ଵ ܽ ݔ (^) ൌ 0
- Si las raíces son ݔଵ ݔ ,ଶ , ڮ , ݔ su descomposición factorial es:
Ejemplos: ࢇሻ Descomponer en factores ݔ2 ଶ^ െ 10 ݔ 12
ݔ2 ଶ^ െ 10 ݔ 12 ൌ 0 ՜ ݔൌ
ൌ ቄ^3
ݔ2 ଶ^ െ 10 ݔ 12 ൌ 2ሺ ݔെ 2ሻ · ሺ ݔെ 3ሻ
ܾ ሻ Descomponer en factores ݔ ସ^ ݔ െ ଷ^ ݔ3 െ ଶ^ 5 ݔെ 2
ݔ ସ^ ݔ െ ଷ^ ݔ3 െ ଶ^ 5 ݔെ 2 ൌ 0
Buscamos las raices ՜ por Ruffini:
ݔ ସ^ ݔ െ ଷ^ ݔ3 െ ଶ^ 5 ݔെ 2 ൌ ሺ ݔെ 1ሻଷ^ · ሺ ݔ 2ሻ
ܿݏ݁ݎݐ ݂ܿܽ ݊݁ ݎ݁݊݉ܿݏ݁ܦ ሻ ݔ ଶ^ െ 4 ݔ 12
ݔ ଶ^ െ 4 ݔ 12 ൌ 0 ՜ ݔൌ
no posee raices reales ݔ ଶ^ െ 4 ݔ 12 .܍ܔ܊ܑ܋ܝ܌܍ܚܚ ܑ ܛ܍
- Propiedad : Si ܽ ଶ ݔ ଶ^ ܽ (^) ଵ ܽ ݔ (^) es irreducible, se puede expresar de la forma ܽ ଶ ሾሺ ݔേ ߙሻ ଶ^ ߚ ଶ^ ሿ Ejemplos:
ܽ ݔ2 ሻ ଶ^ െ 4 ݔ 4 ՜ 2ݔ ଶ^ െ 4 ݔ 4 ൌ 0 ՜ ݔൌ
՜ Es irreducible: ݔ2 ଶ^ െ 4 ݔ 4 ൌ 2ሺݔ ଶ^ െ 2 ݔ 2ሻ ൌ 2 ቀݔᇣᇧ ଶ^ ᇧെ 2 ݔ 1ᇧᇤᇧᇧᇧᇥ െ1 2ᇣᇧᇤᇧᇥቁ ൌ 2ሾሺ ݔെ 1ሻ^ ଶ^ 1ଶ^ ሿ
ܾ ݔ ሻ ଶ^ 2 ݔ 5 ՜ ݔ ଶ^ 2 ݔ 5 ൌ 0 ՜ ݔൌ
2 ՜ Es irreducible: ݔ ଶ^ 2 ݔ 5 ൌ ݔᇣᇧ ଶ^ ᇧ 2 ݔ 1ᇧᇤᇧᇧᇧᇥ െ1 5ᇣᇧᇤᇧᇥ ൌ ሺ ݔ 1ሻଶ^ 2ଶ
ܿ ݔ ሻ ଶ^ െ 4 ݔ 12 ՜ ݔ ଶ^ െ 4 ݔ 12 ൌ 0 ՜ ݔൌ
2 ՜ Es irreducible:
ݔ ଶ^ െ 4 ݔ 12 ൌ ݔᇣᇧ^ ଶ^ ᇧെ 4 ݔ 4ᇧᇤᇧᇧᇧᇥ െ4 12ᇣᇧᇤᇧᇥ ൌ ሺ ݔെ 2ሻଶ^ 8 ൌ ሺ ݔെ 2ሻ^ ଶ^ ൫√8൯^
ଶ
4.5.2 Método de descomposición en fracciones simples.
Consideremos la integral racional: නܲ
ݔ, vamos a distinguir los siguientes casos:
- TIPO A: Grado de ࡼሺ ࢞ሻ ൏ grado de ሻ࢞ሺࡽ
Según sean las raíces de ܳሺݔሻ distinguimos los siguientes s ubtipos:
A.1 Las raíces de ሻ ࢞ሺࡽ son reales y simples.
Supongamos que ܳ ሻݔሺ es de grado n y que sus raíces son ߙଵ ߙ , (^) ଶ , ڮ , ߙ (^) , su descomposición
factorial será:ܳ ܽൌ ሻݔሺ ߙ െ ݔሺଵ ሻ · ሺ ݔെ ߙ ଶ ሻ · · ڮሺ ݔെ ߙ ܲሻ
admite la descomposición en fracciones simples: ܲ
y por tanto
Ejemplo:
ݔ ଶ^ ݔെ 2݀
ݔ ݔ ଶ^ ݔെ 2 ൌ 0 ՜ ቄ ݔൌ െ
ݔ ଶ^ ݔെ 2
igualando los numeradores
Como tenemos dos incógnitas (A y B) necesitamos dos ecuaciones, en la expresión anterior damos dos valores cualesquiera a x (lo más fácil es dar los valores de las raíces ݔൌ െ2, ݔൌ 1)
ݔൌ െ2 ՜ െ2 ൌ ܣ ሺെ2 െ 1ሻᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥି ଷ
ଷ
ݔ ଶ^ ݔെ 2 ൌ
ݔ ଶ^ ݔെ 2݀ ݔൌ න
ݔെ 1݀ ൌ ݔ^
3 ݊ܮ^
3 ݊ܮ^
A.2 ሻܠሺۿ^ tiene una sola raíz de multiplicidad m 1.
La descomposición factorial de ܳ ሻݔሺ^ es: ܳ ሺݔሻ ൌ ࢇ (^) ሺ ݔെ ߙሻ^ ܲ
admite la descomposición en fracciones simples: ܲ
ሺ ݔെ ߙሻ ଶ^
ሺ ݔെ ߙሻ ^
y por tanto
ሺ ݔെ ߙሻ ଶ^
ሺ ݔെ ߙሻ ^
Ejemplo:
ݔ3 ଷ^ ݔ9 െ ଶ^ 9 ݔെ 3݀
ܳݔ ሺݔሻ ൌ 3ሺ ݔെ 1ሻଷ^ descomposición factorial
ݔ3 ଷ^ ݔ9 െ ଶ^ 9 ݔെ 3
ሺ ݔെ 1ሻଶ^ ^
ሺ ݔെ 1ሻଷ^ ൌ^
ܣ ሺ ݔെ 1 ሻ^ ଶ^ ܤ3 ሺ ݔെ 1 ሻ^ ܥ3
igualando los numeradores
2 ݔെ 3 ൌ ܣ ሺ ݔെ 1 ሻ^ ଶ^ ܤ3 ሺ ݔെ 1 ሻ^ ܥ3
Como tenemos tres incógnitas (A, B y C) necesitamos tres ecuaciones, en la expresión anterior damos tres valores cualesquiera a x (lo más fácil es dar los valores de las raíces ݔൌ 1 y como faltan dos le damos a x valores fáciles por ejemplo ݔൌ 0 ݔ ݕൌ 2.
ݔൌ 1 ՜ 2ሺ1ሻ െ 3ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥି ଵ
ൌ ܣ ሺ1 െ 1ሻᇣᇧᇤᇧᇥ^ ଶ
ଷ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ݔ3 ଷ^ ݔ9 െ ଶ^ 9 ݔെ 3 ൌ^
ሺ ݔെ 1ሻଶ^ ^
െ^1 ൗ 3
ሺ ݔെ 1ሻଷฺ^ න^
ݔ3 ଷ^ ݔ9 െ ଶ^ 9 ݔെ 3݀ ൌ ݔ
ሺ ݔെ 1ሻ݀ଶ^ ݔ න^
െ^1 ൗ 3
ሺ ݔെ 1ሻ݀ ଷ^ ൌ ݔ^
6ሺ ݔെ 1ሻଶ^
A.3 ሻܠሺۿ^ es un polinomio de grado dos irreducible. ܳ ܽൌ ሻݔሺ (^) ଶ ݔ ଶ^ ܽ (^) ଵ ܽ ݔ (^)
Puede ocurrir que:
El numerador es la derivada del denominador:
ܽሺ ଶ ݔ ଶ^ ܽ ଵ ܽ ݔ ܽ´ሻ
ଶ ݔ^ ଶ^ ܽ^ ଵ ܽ ݔ^ ݀
݈݊ൌ ݔ ܽ| ଶ ݔ ଶ^ ܽ ଵ ܽ ݔ | ܥ
Ejemplo:
න
ݔ ଶ^ 3 ݔ 5݀
ݔൌ ቄ (^) derivada del denominadorel numerador es la ݈݊ൌ ቅ ݔ| ଶ^ 3 ݔ 5| ܥ
El numerador es una constante:
ଶ ݔ^ ଶ^ ܽ^ ଵ ܽ ݔ^ ݀
ଶ ሾሺ ݔേ ߙሻ^ ଶ^ ߚ ^ ଶ^ ݀ሿ
Ejemplo:
ݔ ଶ^ 6 ݔ 15݀
ሺ ݔ 3ሻ ଶ^ ൫√6൯
buscamos la integral del tipo arc tg ൠ ൌ
El numerador es un polinomio de primer grado:
damos tres valores cualesquiera a x (lo más fácil es dar los valores de las raíces ݔൌ െ1, ݔൌ 1 y como nos falta uno,
damos por ejemplo ݔൌ 0ሻ.
ݔൌ െ1 ՜ 3ሺെ1ሻ 5 ൌ ܣ ሺെ1 െ 1ሻᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥଶ ସ
ଶ
ݔൌ 0 ՜ 3ሺ0ሻ 5 ൌ ܣ ሺ0 െ 1ሻᇣᇧᇤᇧᇥ^ ଶ
ଵ/ଶ
ଵ
ସ
ݔ ଷ^ ݔ െ ଶ^ െ ݔ 1
ሺ ݔെ 1ሻ ^
ሺ ݔെ 1ሻଶฺ^ න^
ݔ ଷ^ ݔ െ ଶ^ െ ݔ 1 ݀
ݔ 1݀ ݔ න^
ሺ ݔെ 1ሻ݀ ݔ න^
ሺ ݔെ 1ሻ݀ଶ^ ൌ ݔ^
ݔ ଶ^ െ 3 ݔെ 5
ݔ ଷ^ ݔ4 ଶ^ 5݀ ݔ
ݔ՜ Descomponemos el denominador en factores:
ݔ ଷ^ ݔ4 ଶ^ 5 ݔൌ 0 ՜ ݔሺݔ ଶ^ 4 ݔ 5ሻ ൌ 0 ՜ ൝
ݔ ଶ^ 4 ݔ 5 ൌ 0 ՜ ݔൌ
ݔ ଶ^ െ 3 ݔെ 5
ݔ ଷ^ ݔ4 ଶ^ 5ݔ
ݔ ଶ^ 4 ݔ 5
ݔሺܣ ଶ^ 4 ݔ 5ሻ ሺ ݔܯܰ ݔሻ
ݔሺݔ ଶ^ 4 ݔ 5ሻ^
ݔ ଶ^ െ 3 ݔെ 5 ൌ ܣሺݔ ଶ^ 4 ݔ 5ሻ ሺ ݔܯܰ ݔሻ
ଵ
ଵ
ݔ ଶ^ െ 3 ݔെ 5
ݔ ଷ^ ݔ4 ଶ^ 5ݔ
ݔ ଶ^ 4 ݔ 5ื
ݔ ଶ^ െ 3 ݔെ 5
ݔ ଷ^ ݔ4 ଶ^ ݀ݔ5
୪୬ |௫|
ݔ ଶ^ 4 ݔ 5݀
௦ ௧
ݔ ଶ^ 4 ݔ 5݀ ݔൌ ൝
Buscamos en el numerador la derivada del denominador ݔሺ ଶ^ 4 ݔ 5ሻ´ ൌ 2 ݔ 4
ݔ ଶ^ 4 ݔ 5݀ ݔൌ න^
ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ ݔ^ ଶ^ 4 ݔ 5݀ ݔ െ
|௫ మ^ ାସ௫ାହ|
െ න
ݔ ଶ^ 4 ݔ 5݀ ݈݊ൌ ݔ^
ݔ| ଶ^ 4 ݔ 5| െ 3 න
ݔᇣᇧ ଶ^ ᇧ 4 ݔ 4ᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
ሺ௫ାଶሻమ
݀ାଵ
݈݊ൌ ݔ| ଶ^ 4 ݔ 5| െ 3 න
ݔᇣᇧ ଶ^ ᇧ 4 ݔ 4ᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
ሺ௫ାଶሻమ
݀ାଵ
݈݊ൌ ݔ ݔ| ଶ^ 4 ݔ 5| െ 3 ݃ݐ ܿݎ ܽ ሺ ݔ 2ሻ
Volviendo a la integral original: න
ݔ ଶ^ െ 3 ݔെ 5
ݔ ଷ^ ݔ4 ଶ^ 5݀ ݔ
ݔൌ െ ln | |ݔ݈݊ ݔ| ଶ^ 4 ݔ 5| െ 3 ݃ݐ ܿݎ ܽ ሺ ݔ 2ሻ ܥ
ݔ4 ସ^ െ 12ݔ ଷ^ ݔ3 ଶ^ 6 ݔെ 13
ݔ ହ^ ݔ3 െ ସ^ ݔ3 ଷ^ ݔ5 െ ଶ^ 12݀ ՜ ݔ^
Descomponemos el denominador en factores
ݔ ଶ^ 3 es irreducible ՜ ܳ ሺݔሻ ൌ ሺ ݔ 1ሻሺ ݔെ 2ሻଶ^ ݔሺ ଶ^ 3ሻ
ݔ4 ସ^ െ 12ݔ ଷ^ ݔ3 ଶ^ 6 ݔെ 13
ݔ ହ^ ݔ3 െ ସ^ ݔ3 ଷ^ ݔ5 െ ଶ^ 12
ሺ ݔെ 2ሻଶ^
ݔ ଶ^ 3
՜ (^) en los casos anterioresSe resuelve como
- TIPO B: Grado de ࡼሺ ࢞ሻ grado de ሻ࢞ሺࡽ
Se realiza la división deܲ ሻݔሺ^ entre ܳ ሻݔሺ , sea ሻݔሺܥ el cociente yܴ ሻݔሺ el resto.
Dividendo ൌ divisor · cociente resto
En la expresión ோሺ௫ሻ ொሺ௫ሻ el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del^0 denominador.
Ejemplos:
ݔ ଶ^ 1݀
El grado del numerador es mayor que el grado del denominador ՜ dividimos: ݔ ଷ ݔ ଶ^ 1
ݔ ଶ^ 1
ݔ ଶ^ 1݀
ݔ ଶ^ 1 ݀
ݔሺ ଶ^ 1ሻ ܥ
ݔ ଶ^ 1݀
El grado del numerador es igual que el grado del denominador ՜ dividimos: ݔ ଶ ݔ ଶ^ 1
ݔ ଶ^ 1
ݔ ଶ^ 1݀ ݔൌ න 1 ݔ ݀െ න^
ݔ ଶ^ 1 ݀ ܥ ݔ ݃ݐ ܿݎ ܽെ ݔ ൌ ݔ
4.6 Integración de funciones trigonométricas.
Una integral trigonométrica es aquella en la cual aparecen las funciones trigonométricas seno y coseno, así como las funciones relacionadas con ellas.
Para resolver estas integrales se efectúan cambios de variable que dependen de las funciones que aparece dentro de la integral. Su objetivo es transformar la integral en una integral racional a la que aplicar el método de descomposición en fracciones simples.
ܴන ݔ ݏ ܿ,ݔ ݊݁ݏሺ ݔ ݀ ሻ
ሺ1 െ ݐ ଶ^ ሻଶ^ ൌ^
ሺ1 െ ݐሻଶ^ ^
ሺ1 ݐሻଶ^ ݀ ڮ ൌ
݊݁ݏ ଶ^ ܿ ݔ
ݏ ^ ݀ ݔ
ݔื Par en seno y coseno
݊݁ݏ ଶ^ ܿ ݔ
ݏ ^ ݀ ݔ
1 ݐ ݀ଶ^
ݏ ଶ^ ൌ ݔ
݃ݐ 1 ଶ^ ݔ
݊݁ݏ ଶ^ ݏ ܿെ 1 ൌ ݔ ଶ^ ݔൌ 1 െ
1 ݐ ଶ^
ቀ 1 ݐ^1 ଶ ቁ
ଷ
1 ݐ ݀ଶ^
ݐ ଶ^ ሺ1 ݐ ଶ^ ሻଷ
ሺ1 ݐ ଶ^ ሻ݀ଶ^ ൌ ݐ
ൌ න ݐ ଶ^ ሺ1 ݐ ଶ^ ൌ ݐ ݀ሻ
ܥൌ ሼdeshaciendo el cambioሽ ൌ
Nota: Algunas integrales trigonométricas pueden calcularse reduciéndolas a otras más sencillas utilizando fórmulas de trigonometría. Por ejemplo las potencias pares de seno o coseno.
Utilizamos la fórmula del coseno del ángulo doble:
ܿݏ ܿൌ ݔ2 ݏ ଶ^ ݊݁ݏ െ ݔ ଶ^ ൌ ݔ
ݏ ଶ^ ݏ ܿെ െ ሺ1 ݔ ଶ^ ݏܿ2 ൌ ሻݔ ଶ^ ݏ ܿ՜ 1 െ ݔ ଶ^ ൌ ݔ
Ejemplos:
ܽ ݏ ܿන ሻ ଶ^ ݏܿ൜ ൌ ݔ ݀ ݔ ଶ^ ൌ ݔ
ଵ ൗଶ ௦ ଶ௫
Nota: Esta integral también se puede hacer por partes
ݏ ܿන ଶ^ ቄ ൌ ݔ ݀ ݔ݀ݔ ݀ ݔ݊݁ݏെ ൌ ݑ ݀՜ ݔ ݏ ܿൌ ݑݔ ݊݁ݏ ൌ ݒ ՜ ݔ ݀ ݔ ݏ ܿൌ ݒ ݊݁ݏ න ݔ ݊݁ݏ ݔ ݏ ܿൌ ቅ ᇣᇤᇥଶ^ ݔ
ଵି௦ మ^ ݀ ௫
ݏ ܿන െ ݔ ݔ ݊݁ݏ ݔ ݏ ܿൌ ݔ ଶ^ ฺݔ ݀ ݔ
ܾ݊݁ݏ න ሻ ସ^ ݊݁ݏሺ න ൌ ݔ ݀ ݔ ଶ^ ሻݔ݀ଶ^ ݊݁ݏ൜ ൌ ݔ ଶ^ ൌ ݔ
݀ଶ ݔൌ න ቆ
ݏ ܿ ݔ2 ݏ ܿ2 െ 1 ଶ^ ݔ
௫
ଵ ଶ ௦ ଶ௫
4 ݏ ܿන^
ᇣᇧᇤଶᇧ^ ݔ2ᇥ
ଵା௦ ସ௫ ݀ ଶ
4 ݔ2 ݊݁ݏ^
4 ݔ2 ݊݁ݏ^
4 ൌ ܥ ൰ݔ4 ݊݁ݏ^
4 ݔ2 ݊݁ݏ^
Nota: Esta integral también se puede hacer por partes
݊݁ݏ න ସ^ ቄ ൌ ݔ ݀ ݔ݊݁ݏ ൌ ݑ^
݊݁ݏ ൌ ቅᇣᇤᇥ ଷ^ ݔ
௨
௩
௩
݊݁ݏ 3ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ ଶ^ ݔ ݀ ݔ ݏ ܿݔ
ௗ௨
݊݁ݏെ ൌ ଷ^ ݊݁ݏ න 3 ݔ ݏ ܿ ݔ ଶ^ ݏ ܿݔᇣᇤᇥ ଶ^ ݔ
ଵି௦ మ^ ݀ ௫
݊݁ݏെ ൌ ݔ ଷ^ ݊݁ݏ න 3 ݔ ݏ ܿ ݔ ଶ^ ݔ ݀ ݔ
௧௦ ଵ ଶ ௫ି^
ଵ ଶ ௦ ௫ ௦ ௫
݊݁ݏ න 3 െ ସ^ ฺݔ ݀ ݔ
ฺ݊݁ݏെ ൌ ܫ ଷ^ ൬ 3 ݔ ݏ ܿ ݔ
݊݁ݏെ ൌ ܫ4 ฺܫ3 െ ൰ݔ ݊݁ݏ ݔ ݏ ଷ^ ݔ ݏ ܿ ݔ
ฺൌ ܫ ଵସ ݊݁ݏቀെ ଷ^ ݔ ݏ ܿ ݔ ଷଶ െ ݔ ଷܿଶ ܥ ቁݔ ݊݁ݏ ݔ ݏ
4.7 Integración de funciones irracionales.
Una función irracional es aquella en la cual aparecen funciones en las que la variable está dentro del
signo radical. Para resolver estas integrales se efectúan cambios de variable. El cambio de variable que hay
que realizar depende de la función que aparece dentro del radical y su objetivo es transformar la integral en
una integral racional a la que aplicar el método de descomposición en fracciones simples. Algunos tipos son:
భ
మ
Hacemos el cambio ݔൌ ݐ ^ donde ݍሺ ݉. ܿ. ݉ൌ ݍ ଵ ݍ ,ଶ , ڮ , ݍ ሻ
Ejemplo:
න
ݔ√ ൫ݔయ^ െ √ݔ൯݀
ݐ6 ൌ ݔ ݀ହ^ ݐ
ݐ ^ ݐ√ ൫య^ ݐ√ െ ^ ൯
ݐ6 ݀ହ^ ݐൌ 6 න
ݐ ଷ^ ݐ ହ
଼ݐ ݐ െ ݀ଽ^
଼ݐ ݐ െ ݀ଽ^
ൌ ݐ ݊ܮ െ6 | 1 െ ݐ | ܥ ݁݀൜ ൌ ܾ݅݉ܽܿ ݈݁ ݏ݄݉݁ܿܽݏݐ ൌ ݔ ՜ ݐൌ √ݔల ൠ ൌ െ6 ݊ܮห1 െ ݔ√ల^ ห ܥ
భ భ
మ మ
Hacemos el cambio ܽ
ݐ ൌ ^ donde ݍൌ ݉. ܿ. ݉ሺݍ ଵ ݍ ,ଶ , ڮ , ݍ ሻ
Ejemplo:
ݐ ൌ ଶ^ ՜ ݔൌ
ሺ1 ݐ ଶ^ ሻ݀ଶ^
1 െ ݐ ଶ^
ݐඥ ଶ^
ሺ1 ݐ ଶ^ ሻ݀ଶ^
ݐെ4 ݀ଶ^ ݐ
ሺ1 െ ݐ ଶ^ ሻሺ1 ݐ ଶ^ ሻ
:۷۷۷ ܗܘܑ܂ ܽඥ න^ ଶ^ ܾെ ଶ^ ݔ ݀ ଶ^ ݔ
Se resuelve con el cambio ൌ ݔ
ൌ ݔ ݀՜ ݐ ݊݁ݏ^
܉ܜܗۼ: Si no nos acordamos del cambio anterior, procedemos de la siguiente forma: reescribimos la integral
dada como A න ට1 െ ൫ ݂ሺݔሻ൯
݀ ଶ
ݔ con ܣ constante, 0 se hace el cambio݂ ሺݔሻ ൌ ݐ ݊݁ݏy se convierte en
una integral trigonométrica:
Ejemplo:
න ඥ9 െ 4ݔ ݀ଶ^ ݔൌ න ඨ9 ቆ1 െ
9 ቇ ݔ ݀ൌ 3 න^
݀ଶ ݔൌ ൞
ൌ 3 න ඥ1 െ ݊݁ݏᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ ଶ^ ݐ
ඥ௦ మ^ ୲ ୀ௦ ௧
ܿ 2ൌ ݐ ݀ ݐ ݏ^
2 ݏ ܿන^
݀ 2 ൌ ݐ^
௧
ଵ ଶ ௦ ଶ௧^ ے
En :܉ܜܗۼ ܣන ට1 െ ൫ ݂ሺݔሻ൯
݀ ଶ
ݔ tambien se puede hacer el cambio ݂ ݐ ݏ ܿൌ ሻݔሺ
