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Tema 3 Derivabilidad de funciones reales de varias variables reales.
3.1 Derivadas parciales de funciones reales de varias variables reales.
Comenzamos definiendo las derivadas parciales de una función de dos variables:
Sea ݂ : ك ܦ Թ
ଶ
ሱۛۛۛ ሮ Թ y sea ݔሺ ݕ , ሻܦሺ ݐ݊ܫ א ሻ
La derivada parcial de f con respecto a x en ݔሺ ݕ , ሻ^ es:
ݔሺ ݕ , ሻ ൌ lim
∆௫՜݂
La derivada parcial de f con respecto a y en ݔሺ ݕ , ሻ es:
ݔሺ ݕ , ሻ ൌ lim
∆௬՜݂
Ejemplo: Calcular las derivadas parciales de ݂ ݔ ൌ ሻݕ ,ݔሺ
ଶ ݕ
ଷ ݔ
ଷ ݕ
ଶ
ܦ ൌ ሻݕ ,ݔሺ݂ଵ ݕݔ2 ൌ ሻݕ ,ݔሺ ଷ^ ݔ3 ଶ^ ݕ ߲݂߲ଶ
ܦ ൌ ሻݕ ,ݔሺ݂ଶ ሺݔ, ݕሻ ൌ 3ݔ ଶ^ ݕ ଶ^ ݔ2 ଷ^ ݕ
Nota : Para funciones de más de dos variables las derivadas parciales se definen de forma análoga.
Sea ݂ : ك ܦ Թ
ሱۛۛۛ ሮ Թ y sea ݔ ሻܦሺ ݐ݊ܫ א. La derivada parcial de f con respecto a ࢞ en ݔ es:
݂
ݔሺ ሻ ൌ lim
∆௫ (^) ݂՜
3.2 Vector gradiente de funciones reales de varias variables reales.
Sea ݂ : ك ܦ Թ
ሱۛۛۛ ሮ Թ y sea ݔ ሻܦሺ ݐ݊ܫ א
Si existen todas las derivadas parciales de f en ݔ, el vector gradiente de f en ݔ es
Ejemplo: Calcular el vector gradiente en el punto ሺ1,1ሻ de las funciones
݂ܽ ሻ ݔ ൌ ሻݕ ,ݔሺ ଷ^ ݔ ݕ ଶ^ ݕ ଶ^ ݔ ݕ ܾଶ^ ݂ ሻ ሺݔ, ݕሻ ൌ
ݔ ଶ^ ݕ ଶ
Solución:
aሻ Esta función está definida y es derivable en todo Թ
ଶ
La derivada parcial de f con respecto a x es la derivada de ݂ ሻݕ ,ݔሺ con respecto a x cuando y se mantiene
constante. De la misma manera la derivada parcial de f con respecto a y es la derivada de ݂ ሻݕ ,ݔሺ^ con
respecto a y cuando x se mantiene constante.
ሺݔ, ݕሻ ൌ 3ݔ ଶ^ ݕݔ2 ݕ ଶ^ 1 ߲݂߲ ՜
ݔ ൌ ሻݕ ,ݔሺ ଷ^ ݔ2 ଶ^ ݕ2 ݕ ߲݂߲ ՜
ܾ ሻ Esta función está definida y es derivable en ܦ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ א Թ
ଶ ݔ/
ଶ ݕ
ଶ് 0 ሽ ൌ Թ
ଶ െ ሼሺ0,0ሻሽ
ݔሺݕ ଶ^ ݕ ଶ^ ݕݔݔ2 െ ሻ
ݔሺ ଶ^ ݕ ଶ^ ሻଶ^
ݕ ଷ^ ݔ െ ଶ^ ݕ
ݔሺ ଶ^ ݕ ଶ^ ሻଶ^
ݔሺݔ ଶ^ ݕ ଶ^ ݕݔݕ2 െ ሻ
ݔሺ ଶ^ ݕ ଶ^ ሻଶ^
ݔ ଷ^ ݕݔ െ ଶ
ݔሺ ଶ^ ݕ ଶ^ ሻଶ^
Nota: La existencia de derivadas parciales en un punto no implica la continuidad en el punto y viceversa, la
continuidad en un punto no implica la existencia de derivadas parciales en ese punto.
Ejercicio: Dada݂ ሺݔ, ݕሻ, ݏe pide: Dominio de la función. Derivadas parciales en un punto genérico. Vector gradiente
en un punto genérico. Dominio de definición del vector gradiente y, si es posible, el vector gradiente de f en el punto
que se indica.
ଶ ݕ
ܲଶ ሺെ1, െ1ሻܾ ݂ ሻ ܲݕ െ ݔ ൌ ሻݕ ,ݔሺ ሺ2,3ሻܿ
݂ ሻ ܲݕݔ ൌ ሻݕ ,ݔሺ ሺ0,1ሻ݀ ݂ ሻ ݊ܮ ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺ ܲሻݖݕݔሺ ሺ1,2,3ሻ݁
3.3 Interpretación geométrica de las derivadas parciales:
Caso de dos variables
La gráfica de la función ݂ൌ ݖ ሻݕ ,ݔሺ representa una superficie S. Si ݂ ݔሺ ݕ , ሻ ൌ ݖ, entonces el punto
ܲ ݔሺ ൌ (^) ݕ , ݖ , ሻ está en la superficie S.
La intersección del plano vertical ݕ ൌ ݕ con la
superficie S es la curva ܥଵ. La recta tangente a la
curva ܥଵ en el punto ܲ ݔሺ ൌ (^) ݕ , ݖ , ሻ y en la
dirección del eje x es la recta ܶ ଵ.
ݔሺ ݕ , ሻ nos da la pendiente de ܶ ଵ
La intersección del plano vertical ݔ ൌ ݔ con la
superficie S es la curva ܥଶ. La recta tangente a la
curva ܥଶ en el punto ܲ ݔሺ ൌ (^) ݕ , ݖ , ሻ y en la
dirección del eje y es la recta ܶ ଶ.
ݔሺ ݕ , ሻ nos da la pendiente de ܶ ଶ
Caso de más de dos variables. La derivada parcial de f con respecto a ݔ en ݔ ݔሺ ൌଵ ݔ ,ଶ , ڮ , ݔ ሻ es la
pendiente de la recta tangente a la superficie ݔሺ ݂ൌ ݖ (^) ଵ ݔ ,ଶ , ڮ , ݔ ሻ en la dirección del eje ݔ.
Teorema de Schwarz:
Sea ݂ : ك ܦ Թ
ሱۛۛۛ ሮ Թ y ݔ ሻܦሺ ݐ݊ܫ א tales que
ሻݔሺ ߲y
߲݂ଶ
ሺݔሻ existen en ܤሺݔ ߲ ሻݎ ,
߲݂ଶ
ሺݔሻ es continua en ݔ ۙۖۘۖۗ
entonces existe ߲
߲݂ଶ
ݔሺ ሻ y se verifica:߲
߲݂ଶ
߲݂ଶ
Nota: (sobre la notación), sea por ejemplo ݂ : ك ܦ Թ
ଷ ሱۛۛۛ ሮ Թ .Si queremos derivar primero respecto a la
tercera variable y después respecto a la primera, se puede denotar:
߲݂ଶ
ሻݖ ,ݕ ,ݔሺ o bien ܦ݂ଷଵ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺ
3.6 Matriz hessiana.
Sea ݂: ك ܦ Թ
ሱۛۛۛ ሮ Թ y ݔ ሻܦሺ ݐ݊ܫ א tal que admite todas las derivadas parciales de segundo orden en ݔ,
definimos matriz hessiana de f en ݔ como:
డ మ^
డ௫ (^) భ డ௫ (^) భ
డ మ^
డ௫ (^) భ డ௫ (^) మ
డ మ^
డ௫ (^) మ డ௫ (^) భ
డ మ^
డ௫ (^) మ డ௫ (^) మ
డ మ^
డ௫ (^) భ డ௫ (^)
డ మ^
డ௫ (^) మ డ௫ (^)
డ మ^
డ௫ (^) డ௫ (^) భ
డ మ^
డ௫ (^) డ௫ (^) మ
డ మ^
డ௫ (^) డ௫ (^)
Ejemplo: Obtener la matriz hessiana de ݂ ݔ ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺ ଶ^ ݕ ଶ^ ݖ ଶ
Solución:
Como f admite todas las derivadas parciales de segundo orden en todo Թ
ଷ :
ܦ ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺ݂ଵ ݕݔ2 ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺ ଶ^ ՜
߲݂ଶ
ݔ ଶ^
߲݂ଶ
߲݂ଶ
ܿ ª ܽ݉ ݈ܽ ݁݀ ܽ݊݉ݑ݈
ܽ݊ܽ݅ݏݏ ݄݁ ݖ݅ݎݐ
ܦ ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺ݂ଶ ሺݕ ,ݔ, ݖሻ ൌ 2ݔ ଶ^ ՜ ݕ
߲݂ଶ
߲݂ଶ
ݕ ଶ^
߲݂ଶ
2 ܿ ª^ ܽ݉ ݈ܽ ݁݀ ܽ݊݉ݑ݈
߲݂ଶ
߲݂ଶ
߲݂ଶ
ݖ ଶ^
3 ܿ ª^ ܽ݉ ݈ܽ ݁݀ ܽ݊݉ݑ݈
ଶ ݕݔ4 0
ݕݔ4 ݔ
ଶ 0
0 0 2
Nota: La 1ª, 2ª y 3ª columnas son respectivamente: ܦ݂ଵ ܦ , (^) ݂ଶ ܦ ݕ (^) ݂ଷ.
3.7 Ejercicios resueltos
- ሺExamenሻ Calcular las derivadas parciales de݂ ݊݁ݏ ൌ ሻݕ ,ݔሺ ݔሺ2 ଶ^ ݕ ݔሺ3 ݏ ܿሻݕ ଶ^ ሻ
Esta función está definida y es derivable en todo Թ
ଶ
݊݁ݏ൫ ݔሺ2 ଶ^ ሻ൯ݕ
ସ௫௬ ௦ሺଶ௫ మ^ ௬ሻ
ݕ ݔሺ3 ݏ ܿ· ଶ^ ݊݁ݏ ሻ ݔሺ2 ଶ^ ߲߲· ሻݕ
ݕ ݔሺ3 ݏܿሺ ଶ^ ሻሻ
ଷ௬ మ^ ௦ ሺଷ௫௬ మ^ ሻ
s ܿݕݔ4 ൌ ݔሺ2 ଶ^ ݕ ݔሺ3 ݏ ܿ ሻݕ ଶ^ ሻ െ 3ݕ ଶ^ ݊݁ݏ ݔሺ2 ଶ^ ݕ ݔሺ3 ݊݁ݏ ሻݕ ଶ^ ሻ
݊݁ݏ൫ ݔሺ2 ଶ^ ሻ൯ݕ
ଶ௫ మ^ ௦ሺଶ௫ మ^ ௬ሻ
ݕ ݔሺ3 ݏ ܿ· ଶ^ ݊݁ݏ ሻ ݔሺ2 ଶ^ ߲߲· ሻݕ
ݕ ݔሺ3 ݏܿሺ ଶ^ ሻሻ
௫௬ ௦ ሺଷ௫௬ మ^ ሻ
ݔ2 ൌ ܿଶ^ s ݔሺ2 ଶ^ ݕ ݔሺ3 ݏ ܿ ሻݕ ଶ^ ݊݁ݏݕݔ6 െ ሻ ݔሺ2 ଶ^ ݕ ݔሺ3 ݊݁ݏ ሻݕ ଶ^ ሻ
- ሺExamenሻ Dada la función ݂ ݖ ݕݔඥ ൌ ሻݖ ,ݕ ,ݔሺ Se pide:
¾ Determinar el dominio de definición de f : ሼሺݕ ,ݔ, ݖሻ א Թ
ଷ / ݕݔ ݖ 0ሽ
¾ Obtener el vector gradiente de f :
¾ Dominio de definición del vector gradiente:
ሼሺݕ ,ݔ, ݖሻ א Թ
ଷ / ݕݔ ݖ 0ሽ Cuidado, no coincide con el dominio de ݂.
¾ Obtener la matriz hessiana :
డ
డ௫
௬
ଶ√௫௬ା௭
డ మ^
డ௫ మ^
௬ మ
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య ൗమ
డ మ^
డ௬డ௫
௫௬ାଶ௭
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య ൗమ
డ మ^
డ௭డ௫
௬
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య ൗమ
డ
డ௬
௫
ଶ√௫௬ା௭
డ మ^
డ௫డ௬
௫௬ାଶ௭
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య ൗమ
డ మ^
డ௬ మ^
௫ మ
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య ൗమ
డ మ^
డ௭డ௬
௫
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య ൗమ
డ డ௭
ଵ ଶ√௫௬ା௭
డ మ^
డ௫డ௭
௬
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య ൗమ
డ మ^
డ௬డ௭
௫
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య ൗమ
డ మ^
డ௭ మ^
ଵ
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య ൗۙۖۖۖۖۖۖۖۖۘۖۖۖۖۖۖۖۖۗమ
௬ మ
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య మ
௫௬ାଶ௭
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య మି
௬
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య మ
௫௬ାଶ௭
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య మି
௫ మ
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య మି
௫
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య మି ௬
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య మି
௫
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య మି
ଵ
ସሺ௫௬ା௭ሻ
య మ (^) ی
¾ Determinar, si es posible, la matriz hessiana en el punto ሺെ1, െ1,0ሻ ՜ ݂ܪ ሺെ1, െ1,0ሻ ൌ ൭
െ1 4⁄^ 1 4⁄^ 1 4⁄
1 4⁄^ െ1 4⁄^ 1 4⁄
