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LA INTEGRAL DEFINIDA
Integral definida: área bajo una curva La integral definida permite calcular el área del recinto limitado, en su parte superior por la gráfica de una función f^ ( x ), continua y no negativa, en su parte inferior por el eje OX , y en los laterales por las rectas x = a y x = b. Esto es, el área S del recinto coloreado en la figura adjunta.
En la antigüedad esta área se calculaba, de manera aproximada, sumando las superficies de muchos rectángulos de base muy pequeña y de altura el mínimo (o el máximo) de la función en cada uno de los subintervalos en los que se divide el intervalo [ a, b ], tal y como puede observarse en las siguientes figuras.
La suma de las áreas de los rectángulos “interiores” se llama suma inferior; puede denotarse por s1. Evidentemente esta suma es menor que la superficie S: s 1 < S
La suma de las áreas de los rectángulos “exteriores” se llama suma superior; puede denotarse por S1. Evidentemente esta suma es mayor que la superficie S: S < S (^1)
Si se divide el intervalo en más partes, ambas sumas se aproximan más a la superficie real S.
En la suma inferior se ganan los trozos sombreados en color más claro. Si se denota por s 2 a esta suma se cumple que s 1 < s 2 < S
En la suma superior se pierden los trozos sombreados en color más claro. Si se denota por S 2 a esta suma se cumple que S < S 2 < S (^1)
Si este proceso de subdivisión se repitiese muchas veces, se obtendrían dos sucesiones, ^ s (^) i y ^ _S_ 1, una creciente y otra decreciente, que irían encajando la superficie buscada. Esto es: s 1 d s 2 d … d s (^) i … d S d … Si d …d S 2 d S 1 Se trata, pues, de un proceso de paso al límite. Cumpliéndose que lím ^ s (^) i _S lím_ ^ _S_ (^) _i_. Al valor de este límite se le llama integral definida de f ( x ) entre a y b y se escribe así:
³
b a
f ( x ) dx.
Observaciones:
1. El signo ³ es en realidad una ese (S de suma) estirada. Los números a y b son los límites
(en el sentido de bordes) de integración. La función f ( x )se llama integrando. Así pues,
b a
f ( x ) dx indica que hay que integrar (sumar) f ( x )desde el punto a hasta el
punto b. El símbolo dx se lee diferencial de x , siendo x la variable independiente de la función f. Esta variable puede designarse con cualquier letra, por ejemplo t.
Esto es, ³
b a
f ( x ) dx = ³
b a
f ( t ) dt.
- La expresión f ( x )· dx puede considerarse el área del rectángulo señalado a la derecha, cuya base es dx y su altura, f ( x ); ambos variables, con dx pequeña.
- La integral así definida suele denominarse de Riemann.
Ejemplo: La superficie sombreada en la figura adjunta, donde la gráfica es la de
f ( x ) x^2 3 x 4 , viene dada por ³
3 1
( x^2 3 x 4 ) dx
x Un caso frecuente En muchos problemas suele pedirse calcular la superficie encerrada entre una curva y f ( x )y el eje OX. En estos casos no se dan los extremos a y b del intervalo, sino que hay que determinarlos. Para ello, basta con resolver la ecuación f ( x ) 0 , pues a y b son los puntos de corte de la gráfica con el eje OX.
Ejemplo: Si se desea calcular la superficie encerrada entre la curva f ( x ) x^2 3 x 4 y el eje OX ,
los límites de integración se obtienen resolviendo la ecuación x^2 3 x 4 0. (En la figura anterior se observa que esos puntos son 1 y 4).
Por tanto, el área pedida vendrá dada por la integral ³
4 1
( x^2 3 x 4 ) dx
Propiedades de la integral definida Existen una serie de propiedades que permiten calcular el valor de la integral definida a partir de la integral indefinida. La más importante recibe el nombre de teorema fundamental del cálculo integral, siendo su aplicación más utilizada la llamada regla de Barrow. Algunas de esas propiedades son:
1. La integral definida de un número por una función es igual al número por la integral de la función:
b a
b a
k f ( x ) dx k · f ( x ) dx
En particular, f x dx f xdx
b a
b a
³ ( ) ³ (^ )
x Regla de Barrow
Si ³
x a
F ( x ) f ( t ) dt , y conociendo que F^ ´(^ x ) f ( x ), cualquier otra primitiva, G^ ( x ), de f ( x ), se diferenciará de F ( x )en una constante; esto es, F ( x ) G ( x ) c. O lo que es lo
mismo: F ( x ) G ( x ) c ; o bien, F x f t dt Gx c
x a
( ) ³ () ( ) , para todo x de su dominio.
Eligiendo los valores x = a y x = b , se tendrá que:
F a f tdt Ga c
a a
( ) ³ () ( ) ; Fb f tdt Gb c
b a
Como F ( a ) G ( a ) c 0 c G ( a ). Y por tanto, F ( b ) f ( t ) dt G ( b ) G ( a )
b a
Por consiguiente, el valor de la integral definida es
f ( t ) dt G ( b ) G ( a )
b a
³ , siendo^ G (^ x )cualquier primitiva de^ f^ ( x ).
Resumiendo:
Si F ( x )es una primitiva de f ( x ), esto es ³ f ( x ) dx F ( x ), entonces
f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
b a
³^
Esta regla suele escribirse así:
f ( x ) dx F ( x ) ba F ( b ) F ( a )
b a
³ , siendo^ F^ ´(^ x ) f ( x ).
Ejemplo: a) La superficie sombreada en la figura adjunta, donde f ( x ) x^2 3 x 4 , viene dada por la integral
3 1
( x^2 3 x 4 ) dx =
3
1
§ (^) x x x =
¸§^
Nota. La unidad de medida de esta área será la correspondiente a cada caso: m^2 , dam^2 o la que sea. Si suponemos que la variable x viene dad en cm, el resultado de este ejemplo sería 34/3 cm^2 , respectivamente.
b) Conviene saber que la integral definida no siempre está relacionada con un área y que, por
tanto, podría plantearse sin más, el cálculo de, por ejemplo: ³
1 0
2 e x^ dx.
Su valor es ³
1 0
2 e x^ dx = 2 x ex^ 2 e ( 0 1 ) 3 e
1
Aplicaciones al cálculo de áreas de recintos planos Pueden presentarse los siguientes casos:
Caso I. La función f ( x )t 0 en todo el intervalo de integración.
El área S viene dada por: (^) ³
b a
S f ( x ) dx
El ejemplo a) visto anteriormente sirve de aclaración.
Caso II. La función es negativa en todo el intervalo de cálculo: f ( x )d 0 para todo x [ a , b ]:
³
b a
S f ( x ) dx
Es evidente que el recinto por debajo del eje, limitado por f ( x )es y las rectas x = a y x = b es igual al recinto superior, limitado por f ( x ) y las rectas x = a y x = b.
Ejemplo: El área del recinto limitado por la función f ( x ) x^2 2 x y el eje OX viene dada por:
³
2 0
S x^2 2 xdx = 3
2
0
§^ x x.
Caso III. La función corta al eje OX en el intervalo de integración. El punto c , de corte, se obtiene resolviendo la ecuación f ( x ) 0.
³ ³
c a
b c
S S 1 S 2 f ( x ) dx f ( x ) dx
Ejemplos: a) El área encerrada entre la gráfica de f ( x ) x^2 3 x y el eje OX , en el intervalo [0, 4] viene dada por:
³ ³
3 0
(^32) 0
S S 1 S 2 x^23 xdx x 3 xdx =
4
3
(^332)
0
3 2 2
§^
§^ x^ x x x =
¸§^
¸§^
§^ .
Debe observarse que f ( x ) x^2 3 x corta al eje OX en la abscisa x = 3; que la curva queda por debajo del eje OX entre 0 y 3; y por arriba del eje entre 3 y 4. Para ello resulta conveniente hacer una representación gráfica.
Otras aplicaciones de la integral definida Como es sabido, dada una función total, derivándola se obtiene la función marginal. Así, si C ( x )es la función de coste total de x unidades de un determinado producto, su derivada
dx
C ´( x ) dC ( x ) es la función de coste marginal, la tasa de variación instantánea de esa
función. Como la integral es la operación inversa de la derivada, se entiende que, partiendo de la expresión que da la función marginal (la tasa de variación de cualquier fenómeno), puede hallarse, integrando, la función total. Siguiendo con el ejemplo anterior, si C ´( x )es la función
de coste marginal se tendrá que la integral (^) ³ C ´( x ) dx C ( x ) c es la función de coste total.
La constante c se determinará a partir de alguna condición inicial.
Ejemplo: a) Si la función del ingreso marginal que tiene una compañía por la venta de un producto es i ( x ) 4000 2 x , donde x es el número de unidades producidas y vendidas, entonces, la función de ingreso total del producto vendrá dada por
I ( x ) ³ 4000 2 xdx 4000 x x^2 c
Como el ingreso por vender 0 unidades es nulo, se tendrá que I ( 0 ) c 0.
Luego la función pedida será I ( x ) 4000 x x^2. El ingreso total es el área (la del trapecio de altura x ) bajo la curva de ingreso marginal (figura adjunta). Si vende 100 unidades, el ingreso será I ( 100 ) 400000 10000 390000 , que se corresponde con el área del trapecio estrecho.
b) Si el beneficio marginal de un empresario, por la fabricación de un determinado producto, viene dado por la función b ( x ) x^2 120 x 100 , siendo x el número de unidades producidas, el beneficio conseguido al aumentar la producción de 30 a 50 unidades viene dado por la integral
³
50 30
x^2 120 x 100 dx = 60 100 103333 , 33 42000 3
50
30
x^ x x = 61333,33.
c) Supóngase que la población de una determinada ciudad crece, desde el momento actual, a un ritmo determinado por la función p ( x ) 50 40 x , donde x viene dado en meses. Si la población actual es de 50000 habitantes: ¿cuál será la población dentro de un año?; ¿en cuánto aumentará su población durante el segundo año?
La función que determina la población es:
P x ³ xdx ³ x^1 /^2 dx x x^3 /^2 c 3 / 2
Como en el momento actual, x = 0, P ( 0 ) c 50000 , se tendrá que
50000 3 / 2
P ( x ) 50 x 40 x^3 /^2
La población dentro de un año, x = 12 meses, será · 12 50000 3 / 2
P ( 12 ) 50 · 12 ^40003 /^2 =
El aumento durante el segundo año, desde x = 12 hasta x = 24 meses, viene dado por la integral
³
24 12
50 40 x dx = 4335 , 35 1708 , 51 2627 3 / 2
12
§ (^) x x
Nota: La integral definida puede aplicarse para estudiar múltiples procesos económicos. Por ejemplo: problemas relacionados con la distribución de la renta; problemas de valor actual descontado… (Véase “Matemáticas para el análisis económico”, Sydsaeter, 2ª ed, páginas 286 y ss y p. 310 y ss. También puede verse “Métodos fundamentales de economía matemática”, Chiang, p. 468 y ss.)
x En el cálculo de probabilidades, si X es una variable aleatoria que toma valores en el
intervalo [ a , b ], su función de densidad, f ( x )≥ 0, cumple que (^) ³
b a
f ( x ) dx 1.
La función de distribución de probabilidad, F ( x ), que mide la probabilidad de que la
variable aleatoria tome valores desde a hasta x , F ( x ) Pa d X d x , es (^) ³
x a
F ( x ) f ( t ) dt.
Ejemplo: La variable aleatoria que mide el tiempo de espera en minutos para ser atendido en un burger depende de la función de frecuencia de clientes (la función de cuantía o de densidad). Si esta
función es 2 1000
f ( x )^3 x , con 0 d x d 10 , se tendrá que:
Su función de distribución de probabilidad será (^) ³
x F x t dt 0
2 1000
( )^3 =
x^3 .
La probabilidad de tener que esperar entre 3 y 7 minutos, por ejemplo, viene dada por
0 , 316 1000
( 3 7 )^3
7
3
7 3 3
d d^2 ³ P X x dx x.
