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Notas sobre funciones
Manuel Bello Sean X e Y dos conjuntos. Una funci´on f : X → Y es una correspon- dencia entre los conjuntos X e Y , la cual asocia a cada elemento de X un ´unico elemento de Y. El conjunto X se llama dominio y el conjunto Y es el codominio de la funci´on f. La imagen de la funci´on se denota por Im( f ) y es el conjunto Im( f ) := { y ∈ Y : existe x ∈ X tal que f ( x ) = y }. Por ejemplo, tenemos la funci´on que a cada persona que est´a en una clase le asocia su edad o la funci´on f : N → N tal que f ( n ) = n para todo n ∈ N, donde N representa el conjunto de los n´umeros naturales { 1 , 2 ,... }. Tambi´en tenemos la funci´on f : R → R tal que a cada x ∈ R le asocia f ( x ) = x^2. En estas notas prestaremos atenci´on solamente a funciones definidas en subconjuntos de los n´umeros reales, R, con codominio tambi´en un subcon- junto de R; es decir, X e Y subconjuntos de los n´umeros reales. Si f : X → Y es una funci´on, diremos que f es inyectiva si cualesquiera sean x 1 , x 2 en X , con x 1 6 = x 2 , se cumple que
f ( x 1 ) 6 = f ( x 2 ).
La definici´on equivale a
f ( x 1 ) = f ( x 2 ) , entonces f ( x 1 ) = f ( x 2 ).
Una funci´on es suprayectiva (o sobreyectiva ) si Im( f ) = Y. Las funciones que son simult´aneamente inyectivas y suprayectivas, se llaman biyectivas. Las funciones biyectivas son invertibles ; es decir, si la funci´on f : X → Y es biyectiva, su inversa es la funci´on f −^1 : Y → X tal que
si f ( x ) = y, entonces f −^1 ( y ) = x.
Por tanto,
f −^1 ( f ( x )) = x, f ( f −^1 ( y )) = y, para todo x en X, y en Y. Si, por ejemplo, la funci´on f : R → R es tal que f ( x ) = x para cada x en R, entonces ella es biyectiva y su inversa es la propia funci´on f. Se cumple
(1) f ( f ( x )) = x, para todo n´umero real x.
Una funci´on f : R → R es par si f (− x ) = f ( x ) para todo x real. Si se cumple que f (− x ) = − f ( x ) para todo x real, se dice que f es impar. Una funci´on f se dir´a que es una funci´on mon´otona creciente (o crecien- te ) si f ( x ) ≤ f ( y ) cuando x < y. Diremos que la funci´on es estrictamente creciente cuando f ( x ) < f ( y ) si x < y. An´alogamente, una funci´on f se dir´a que es mon´otona decreciente (o simplemente, decreciente) si f ( x ) ≥ f ( y ) cuando x < y ; y ser´a estrictamente decreciente cuando f ( x ) > f ( y ) si x < y. Una ecuaci´on funcional es una ecuaci´on donde la inc´ognita es una fun- ci´on. Los m´etodos principales para resorver una ecuaci´on funcional son:
Evaluar en valores espec´ıficos de la variable independientes. Suelen ser muy ´utiles 0 y 1 por ser los elementos neutros para la suma y el producto, respectivamente, o combinaciones de valores que lleven a 0 ´o uno. Estudiar si la funci´on es inyectidad o suprayectiva.
Inducci´on matem´atica.
Demostrar que la funci´on tiene una determinada forma, por ejemplo, probar que la funci´on es lineal. Para la soluci´on del siguiente ejercicio combinamos la evaluaci´on en un puntos determinados y la inyectividad de la funci´on.
Ejercicio. Hallemos las funciones reales f , de variable real, que satis- facen la ecuaci´on funcional
(2) f ( x + f ( x + y )) = f (2 x ) + y.
Soluci´on. Haciendo x = 0 en la ecuaci´on (2), nos queda
(3) f ( f ( y )) = f (0) + y,
para todo y real. De aqu´ı se deduce que f es inyectiva y suprayectiva. Tomamos y = 0 en la ecuaci´on,
f ( x + f ( x )) = f (2 x ).
Por la inyectividad de f , de la ecuaci´on anterior se obtiene
x + f ( x ) = 2 x ⇔ f ( x ) = x.
Es inmediato observar que f ( x ) = x es soluci´on de (2).
Evaluar en un valor particular de la variable puede ser b´asico para hallar la soluci´on.
Ejercicio. Encontrar todas las funciones f : R → R tales que
(4) x^2 f ( x ) + f (1 − x ) = 2 x − x^4_._
Soluci´on. La ´unica soluci´on es f ( x ) = 1 − x^2 , que f´acilmente se com- prueba que satisface la ecuaci´on. Cambiando 1− x por x y uniendo las dos ecuaciones, nos queda el sistema ( x^2 1 (1 − x )^2
) ( f ( x ) f (1 − x )
)
( 2 x − x^4 2(1 − x ) − (1 − x )^4
)
De donde,
f ( x ) = (2 x − x^4 )(1 − x )^2 − 2(1 − x ) + (1 − x )^4 x^2 (1 − x )^2 − 1 = 1^ −^ x
Si la relaci´on anterior es cierta para n y consideramos m ≥ n + 1,
f ( m ) ≥ f ( f ( m − 1)) + 1 ≥ n + 1 ,
porque m − 1 ≥ n y, por hip´otesis de inducci´on f ( m − 1) ≥ n. Adem´as, f es estrictamente creciente ya que
f ( n + 1) ≥ f ( f ( n )) + 1 ≥ f ( n ) + 1 ⇒ f ( n + 1) > f ( n ).
Supongamos, para obtener una contradicci´on, que existen n 0 y k 0 tales que
f ( n 0 ) = n 0 + k 0_._
Entonces f ( n 0 + k 0 ) = f ( f ( n 0 )) ≤ f ( n 0 + 1) − 1 ,
que contradice la monoton´ıa estricta.
Conocer una soluci´on puede ayudar a construir otras soluciones.
Ejercicio. Probar que hay infinitas funciones f : R → R que cumplen la ecuaci´on (1).
x 1 = f ( f ( x 1 )) = f ( f ( x 2 )) = x 2 , entonces x 1 = x 2_._ Soluci´on. Observar que f ( x ) = x satisface la ecuaci´on (1). Si conside- ramos dos n´umeros reales x 1 6 = x 2 y f : R → R tal que
f ( x ) =
x si x 6 = x 1 , x 6 = x 2 , x 2 si x = x 1 , x 1 si x = x 2
Entonces f´acilmente se comprueba que esta funci´on satisface (1). Cambiando los puntos x 1 y x 2 , obtenemos otras funciones que tambi´en cumplen (1).
Ejercicio. Hallar todas las funciones f : R → R tales que
f ( f ( x )^2 + f ( y )) = xf ( x ) + y.
Soluci´on. Probemos que las ´unicas funciones que satisfacen la ecuaci´on son f 1 ( x ) = x , f 2 ( x ) = − x. Es trivial comprobar que ellas cumplen la ecuaci´on dada. Si x = 0, nos queda
f ( f (0)^2 + f ( y )) = y.
Por tanto, f es inyectiva y suprayectiva en R. Si f ( a ) = 0 (tal valor existe porque f es suprayectiva), haciendo x = a , tenemos
f ( f ( y )) = y,
de donde, por la inyectividad de f ,
f (0)^2 + f ( y ) = f ( y ) ⇔ f (0) = 0_._
Por otra parte, sustituyendo x por f ( x ) en la ecuaci´on dada obtenemos
f ( x^2 + f ( y )) = xf ( x ) + y
y por la inyectividad de f , concluimos
f ( x )^2 + f ( y ) = x^2 + f ( y ) ⇔ f ( x ) = ± x.
Pero no existen b y c tales que f ( b ) = b, f ( c ) = − c y bc 6 = 0, ya que en caso contrario, haciendo x = b , y = c , nos queda
f ( b^2 − c ) = b^2 + c.
Y si f ( b^2 − c ) = b^2 − c , entonces c = 0, y si f ( b^2 − c ) = − b^2 + c , entonces b = 0. Concluimos que las ´unicas soluciones son f 1 , f 2.
En el siguiente problema la idea principal es probar que la funci´on es lineal observando que f ( x + 1) − f ( x ) es constante, para ello evaluamos en valores particulares de las variables.
Ejercicio. Hallar todas las funciones f : Z → Z tales que
(7) f ( x − f ( y )) = f ( f ( x )) − f ( y ) − 1_._
Soluci´on. Las soluciones son las funciones f 1 ( x ) = −1 y f 2 ( x ) = x + 1. Es f´acil comprobar que dichas funciones son soluciones de (7). Veamos que son las ´unicas. Consideremos y = f ( x ) en la ecuaci´on (7), entonces
(8) f ( x − f ( f ( x ))) = − 1_._
Eso significa que −1 es un punto de la imagen de f. Sea y tal que f ( y ) = −1. Evaluando (7) en ese valor, nos queda
(9) f ( x + 1) = f ( f ( x )) ⇔ f ( x ) = f ( f ( x − 1)).
Utilizando est´as relaciones en las ecuaciones (7) y (8), nos queda
f ( x − f ( x + 1)) = − 1 ⇔ f ( x − 1 − f ( x )) = − 1 , f ( x − f ( y )) = f ( x + 1) − f ( y ) − 1_._
Haciendo y = x en esta ´ultima ecuaci´on y utilizando nuevamente (9), llega- mos a
f ( x + 1) − f ( x ) = f ( x − f ( x )) + 1 = f ( f ( x − f ( x ) − 1)) + 1 = f (−1) + 1_._
De modo que f ( x + 1) − f ( x ) = A, ∀ x ∈ Z ,
