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3 .1 DISTANCIAS EN EL ESPACIO
3.1.1 Distancia entre dos puntos
Dados los puntos 𝐴
0
0
0
y 𝐵
1
1
1
del espacio, se define la distancia entre ellos como el
módulo del vector que determinan:
1
0
2
1
0
2
1
0
2
Se cumplen las siguientes propiedades:
≥ 0. Únicamente es cero cuando 𝐴 = 𝐵.
- 𝑑(𝐶, 𝐵). Se da la igualdad si y sólo si los puntos están alineados.
EJERCICIOS ________________________________________________________________________
Ejercicio 3.1 Sean los puntos 𝐴
y 𝐵
. Comprueba que 𝑑
Ejercicio 3.2 Halla las coordenadas de un punto 𝑃 del eje 𝑂𝑌 tal que su distancia al punto 𝐴( 2 , 3 , 4 )
es igual a 6 unidades de longitud.
Ejercicio 3.3 Determina un punto de la recta (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 2 − 𝜆, 3 − 𝜆, 2 + 𝜆) cuya distancia a un
punto 𝑃( 0 , 2 , − 1 ) sea √ 41.
Ejercicio 3.4 Halla un punto de la recta (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 2 − 𝜆, 3 − 𝜆, 1 + 3 𝜆) que equidista de los
puntos 𝐴( 0 , − 1 , 2 ) y 𝐵( 1 , 2 , 0 ).
Ejercicio 3.5 Determina el punto 𝑃 de la recta 𝑟 ≡
𝑥+ 3
2
𝑦+ 5
3
𝑧+ 4
3
que equidista del origen de
coordenadas y del punto 𝐴
________________________________________________________________________________
3.1.2 Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto a una recta se define como la menor de las distancias del punto a los
puntos de la recta. Esta distancia coincide con la longitud del segmento perpendicular que une el
punto con la recta.
MATEMÁTICASII
Curso académico 2015- 2016
BLOQUE GEOMETRÍA
TEMA 3: Distancias, ángulos y lugares geométricos.
Si 𝑃´ es el punto proyección del punto 𝑃 sobre la recta
𝑟, la distancia del punto 𝑃 a la recta 𝑟 coincide con la
distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑃´:
Esto nos proporciona una idea del cálculo de la
distancia de un punto a una recta. Podemos calcular el
segmento perpendicular a la recta 𝑟 que pasa por
el punto 𝑃 y determinar su longitud.
Método constructivo
a) Hallamos el plano perpendicular 𝜋 a la recta 𝑟 que pasa
por el punto 𝑃.
b) Hallamos el punto de corte de ese plano con la recta 𝑟.
c) Este punto de corte es el punto 𝑃´ que materializa la
distancia del punto 𝑃 a la recta 𝑟.
EJERCICIOS________________________________________________________________________
Ejercicio 3.6 Considera el punto 𝑃( 2 , − 2 , 0 ) y la recta 𝑟 dada por
a) Determina la ecuación del plano que contiene a 𝑃 y es perpendicular a 𝑟.
b) Calcula la distancia de 𝑃 a 𝑟.
_________________________________________________________________________________
Método del punto genérico
Otra posibilidad es tomar un punto genérico de la recta 𝑟, dada la misma por sus ecuaciones
paramétricas e imponer que el vector formado por ese punto y el punto que nos dan sean
ortogonales. Obtendríamos de esta forma el punto 𝑃´ que materializa la distancia del punto 𝑃 a la
recta 𝑟.
EJERCICIOS________________________________________________________________________
Ejercicio 3.7 Considera el punto 𝑃( 2 , − 2 , 0 ) y la recta 𝑟 dada por
Calcula la distancia de 𝑃 a 𝑟 mediante el método del punto genérico.
_________________________________________________________________________________
Ejercicio 3.11 Halla un punto 𝑃 del eje 𝑂𝑌 que equidiste del punto 𝐴( 1 , 1 ,
1
√ 2
) y del plano de ecuación
𝑥 + 𝑦 + √ 2 z = 0.
Ejercicio 3.12 Considera los planos 𝜋 1
y 𝜋
2
definidos, respectivamente, por las ecuaciones:
Determina los puntos de la recta 𝑟 definida por 𝑥 = 𝑦 =
𝑧− 1
− 3
que equidistan de 𝜋
1
y 𝜋
2
Ejercicio 3.13 Determina la ecuación de un plano que contiene a la recta
y que está a 1 unidad de longitud del punto 𝑃( 1 , 1 , 1 ).
_________________________________________________________________________________
3.1.4 Distancia entre una recta y un plano
Si la recta 𝑟 corta al plano 𝜋 esta distancia es cero. En caso contrario, si la recta es paralela al plano,
la distancia de la recta 𝑟 al plano 𝜋 se calcula como la distancia de cualquier punto 𝑃 de la recta a
este plano. Esta distancia se puede calcular aplicando la fórmula anterior:
0
0
0
2
2
2
donde el punto 𝑃 tiene coordenadas 𝑃
0
0
0
y el
plano 𝜋 tiene ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0.
EJERCICIOS _______________________________________________________________________
Ejercicio 3.14 Calcula la distancia entre la recta 𝑟 ≡
𝑥− 1
2
𝑦+ 5
− 5
𝑧+ 3
2
y el plano de ecuación general
Ejercicio 3.15 Comprueba que el plano 2 𝑥 − 3 𝑦 + 5 = 0 es paralelo al eje 𝑂𝑍. Halla la distancia de
este eje al plano.
Ejercicio 3.16 Halla el valor de 𝑚 para que la recta
sea paralela al plano 𝜋 ≡ 2 𝑥 − 𝑦 + 𝑚𝑧 − 2 = 0. Para el valor de 𝑚 obtenido, calcular la distancia
entre 𝑟 y 𝜋.
_________________________________________________________________________________
3.1.5 Distancia entre dos planos
De forma análoga a la distancia entre una recta y un plano,
podemos decir que la distancia entre dos planos sólo es no nula
en el caso en que sean paralelos. Tomando cualquier punto de
uno de los planos, calculamos la distancia entre este punto y el
otro plano. Esta es la distancia entre los dos planos.
EJERCICIOS________________________________________________________________________
Ejercicio 3.17 Calcula la distancia entre los planos 2 𝑥 − 3 𝑦 + 𝑧 − 8 = 0 y 2 𝑥 − 3 𝑦 + 𝑧 + 12 = 0.
_________________________________________________________________________________
3.1.6 Distancia entre dos rectas
Para estudiar la distancia entre dos rectas 𝑟 y 𝑠, podemos distinguir varios casos:
Caso 1. Si las rectas se cortan o coinciden, la distancia entre ellas es cero.
Caso 2. Si las rectas son paralelas, la distancia entre ellas coincide con la distancia entre un punto de
una de ellas y la otra recta.
EJERCICIOS ________________________________________________________________________
Ejercicio 3.18 Sea 𝑟 la recta que pasa por el punto ( 1 , 0 , 0 ) y tiene como vector dirección (𝑎, 2 𝑎, 1 ), y
sea 𝑠 la recta dada por {
a) Calcula los valores de 𝑎 para los que 𝑟 y 𝑠 son paralelas.
b) Calcula, para 𝑎 = 1 , la distancia entre 𝑟 y 𝑠.
_________________________________________________________________________________
Caso 3. El caso más interesante es cuando las rectas se cruzan. Existen diversos métodos para hallar
esta distancia:
Método constructivo
Sean 𝑟 y 𝑠 dos rectas que se cruzan. Sea 𝜋 𝑟
el plano que contiene a 𝑟 y es paralelo a 𝑠. Entonces, si
𝑟
y 𝑣
𝑠
son dos vectores directores de 𝑟 y 𝑠, respectivamente, el vector 𝑛⃗ = 𝑣
𝑟
× 𝑣
𝑠
es normal al
plano 𝜋
𝑟
. Este hecho nos proporciona un método constructivo para determinar la distancia entre
dos restas que se cruzan:
a) Calculamos el plano 𝜋
𝑟
que contiene a 𝑟 y
es paralelo a 𝑠 (elegimos para ello un
punto 𝑃 de 𝑟 y consideramos el vector
normal 𝑛⃗ = 𝑣
𝑟
× 𝑣
𝑠
b) Elegimos un punto 𝑄 de 𝑠 y calculamos la
distancia del punto 𝑄 al plano 𝜋
𝑟
.
EJERCICIOS_______________________________________________________________________
Ejercicio 3.19 Sea 𝑟 la recta dada por la ecuación
𝑥+ 2
2
𝑧− 1
− 3
y sea 𝑠 la recta dada por
a) Determina la posición relativa de 𝑟 y 𝑠.
b) Halla la ecuación general del plano que contiene a 𝑟 y es paralelo a 𝑠.
𝛼 = cos
− 1
(
𝑢⃗⃗ ∙𝑣⃗
| 𝑢⃗⃗
|| 𝑣⃗
|
) ∈ [ 0 ,180°].
3.2.1 Ángulo entre dos rectas
Dos rectas que se cortan en un plano determinan 4 ángulos. Los opuestos por el vértice son iguales,
por eso decimos, que son iguales dos a dos.
¿Cuál de los dos valores de estos ángulos es el que vale? Por convenio, se
determinó que fuese el menor. Por ejemplo, el ángulo formado por las
restas secantes 𝑟 y 𝑠 de la figura vale 4 3°.
Para hallar el ángulo que forman las rectas 𝑟 y 𝑠 no hay más que trazar en el plano de la base una
paralela a la recta 𝑟.
Nos encontramos en el caso anterior. El ángulo que forman las rectas 𝑟 y 𝑠 se determina a partir
del ángulo que forman sus vectores directores. Tenemos, por tanto, que si 𝑢⃗ y 𝑣 son los vectores
directores de 𝑟 y 𝑠, el ángulo 𝛼 agudo ( 0 ≤ 𝛼 ≤ 90°) que
forman estas rectas satisface:
cos 𝛼 =
El valor absoluto del numerador nos asegura que estamos
tomando el menor de los dos ángulos posibles que forman las
dos rectas. Nótese que esta definición es independiente de la
elección de los vectores directores.
Por otro lado, de la expresión anterior deducimos de forma inmediata dos condiciones equivalentes
de paralelismo y perpendicularidad entre rectas:
Dos rectas 𝑟 y 𝑠 son paralelas , si y sólo si, el ángulo 𝛼 que forman es 𝛼 = 0.
Dos rectas 𝑟 y 𝑠 son perpendiculares , si y sólo si, el ángulo que forman es 𝛼 = 9 0°.
EJERCICIOS ________________________________________________________________________
Ejercicio 3.22 Considera las rectas 𝑟 y 𝑠 dedinidas por
Calcula el ángulo que forman 𝑟 y 𝑠.
_________________________________________________________________________________
3.2.2 Ángulo entre dos planos
De forma análoga al caso anterior, el ángulo que forman dos
planos 𝜋
1
y 𝜋
2
se define como el ángulo que forman sus
vectores normales:
cos 𝛼 =
|𝑛⃗
1
∙ 𝑛⃗
2
|
| 𝑛⃗
1
|| 𝑛⃗
2
|
.
EJERCICIOS ________________________________________________________________________
Ejercicio 3.23 Calcula el valor de 𝑚 para que los planos 4 𝑥 − 3 𝑦 + 5 𝑧 + 7 = 0 , 𝑥 − 𝑚𝑦 + 𝑧 + 1 = 0
sean perpendiculares.
_________________________________________________________________________________
3.2.3 Ángulo entre una recta y un plano
El ángulo 𝛼 que determina una recta 𝑟 con un plano 𝜋 coincide con el que forma la recta 𝑟 con su
proyección 𝑟´sobre el plano. Este ángulo es complementario con el ángulo 𝛽 que forma la recta 𝑟
con la recta normal al plano. Denotando por 𝑢⃗ al vector director de la recta 𝑟 y por 𝑛⃗ al vector
normal al plano 𝜋, si α es el ángulo que forman la recta y el plano, se cumple que:
cos 𝛽 =
EJERCICIOS ________________________________________________________________________
Ejercicio 3.24 Calcula el ángulo que forma la recta −𝑥 =
𝑦+ 2
2
𝑧
2
y el plano 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 3 = 0.
_________________________________________________________________________________
3.3 Lugares geométricos
Un lugar geométrico del espacio es un conjunto de puntos de ℝ
3
que cumple ciertas propiedades
geométricas. Estudiamos algunos lugares geométricos sencillos.
EJERCICIOS ________________________________________________________________________
Ejercicio 3.25 [Plano mediador] Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan
de los puntos 𝐴( 3 , 4 , − 1 ) y 𝐵( 2 , − 3 , 5 ).
Ejercicio 3.26 [Planos bisectores] Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de los planos 𝑥 = 0 y 𝑧 = 0.
Ejercicio 3.27 Halla el lugar geométrico de los puntos que determinan con 𝐴( 1 , 0 , 0 ), 𝐵( 0 , 1 , 0 ) y
𝐶( 0 , 0 , 1 ) un tetraedro de volumen
1
6
Ejercicio 3.28 Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan una unidad del
origen de coordenadas.
Ejercicio 3.29 Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan del eje 𝑂𝑍 dos unidades.
