¡Descarga Puntos rectas y planos y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
ECUACIONES DE LA RECTA
Para hallar la ecuación de una recta en el espacio necesito:
- Dos puntos
- Un punto y su vector director
Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y un vector
→ v = (a,b,c).
Si me dan dos puntos A(x 0 ,y 0 ,z 0 ), B(x 1 ,y 1 ,z 1 ) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y como
vector
→ v =
→ AB = (x 1 - x 0 , y 1 – y 0 , z 1 – z 0 )
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x 0 ,y 0 ,z 0 ) + k.(a,b,c) ∀ k ∈ R
Ecuaciones paramétricas:
z z kc
y y kb
x x ka
0
0
0
∀ k ∈ R
Ecuación continua: c
z z
b
y y
a
x x 0 0 − 0
Ecuación implícita (como intersección de dos planos):
Ax B y C z D 0
Ax By Cz D 0
2 2 2 2
1 1 1 1
Ejemplo 1 : Halla las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1-3)
Vector:PQ Q P ( 2 , 1 , 3 ) ( 1 , 0 , 1 ) ( 1 , 1 , 2 )
Punto:P( 1 , 0 , 1 ) r:
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,0,-1) + λ.(1,1,-2) ∀λ∈R
Ecuaciones parámetricas: R
z 1 2
y
x 1
∀λ ∈
=− − λ
=λ
= +λ
Ecuación continua: 2
z 1
1
y
1
x 1
−
Ecuación implícita:
2 x z 1
x y 1
2 x 2 z 1
x 1 y
Ejemplo 2: Hallar dos puntos y un vector de las siguientes rectas:
a) (x,y,z) = (2,0,-1) + t.(1,2,3) Puntos:
t 1 P (3,2,2)
t 0 P(2,0,-1)
2
1 Vector: (1,2,3)
b)
==== −−−− λλλλ
====−−−−λλλλ
==== ++++λλλλ
z 3 4
y
x 1
Puntos:
λ= ⇒
λ= ⇒
1 P (2,-1,-1)
0 P(1,0,3)
2
1 Vector (1,-1,-4)
c) 3
z 2
4
y 1
2
x 1 ++++
Puntos
x 0 P(0,3,-
P(-1,1,-2)
2
1 Vector (2,4,3)
d)
2 x y 3 z 4
x 2 y z 3
5 y z 2
x 2 y z 3
= α −
=α
= − α
→
= − α+ − α
= α−
=α
z 5 2
y
x 5 7
x 3 2 2 5
z 5 2
y
Vector:( 7 , 1 , 5 )
P( 2 , 1 , 3 )
P( 5 , 0 , 2 )
Puntos: 2
1
Nota: Otra forma de hallar el vector ( 7 , 1 , 5 )
2 1 3
i j k
= − −
−
ECUACIONES DE UN PLANO
Para hallar la ecuación de un plano en el espacio necesito:
- Tres puntos
- Un punto y dos vectores directores
Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y dos vectores
→ v 1 = (a 1 ,b 1 ,c 1 ),
→ v 2 = (a 2 ,b 2 ,c 2 )
Si me dan tres puntos A(x 0 ,y 0 ,z 0 ), B(x 1 ,y 1 ,z 1 ), C(x 2 ,y 2 ,z 2 ) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x 0 ,y 0 ,z 0 )
y como vectores
→ v 1 =
→ AB = (x 1 - x 0 , y 1 – y 0 , z 1 – z 0 ) → v 2 =
→ AC = (x 2 - x 0 , y 2 – y 0 , z 2 – z 0 )
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x 0 ,y 0 ,z 0 ) + s.(a 1 ,b 1 ,c 1 ) + t. (a 1 ,b 1 ,c 1 ) ∀ s,t ∈ R
Ecuaciones paramétricas:
0 1 2
0 1 2
0 1 2
z z s.c tc
y y s.b tb
x x s.a ta
∀ s,t ∈ R
Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0 ⇒
a b c
a b c
x x y y z z
2 2 2
1 1 1
0 0 0
=
⇒ Ax + By + Cz + D = 0
Vector normal =
→ n = (A,B,C) =
→ v 1 x
→ v 2 (Es perpendicular a los dos vectores directores)
Nota: Si conocemos el vector normal y un punto podemos hallar directamente la ecuación general del
plano. Del vector normal conocemos A, B y C ; y si sustituimos el punto hallamos D.
Ejemplo 3 : Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(0,1,-1), B(2,3,-5), C(1,4,3)
π
v AC ( 1 , 3 , 4 )
v AB ( 2 , 2 , 4 ) Vectores:
Punto:A( 0 , 1 , 1 )
2
1
Ecuación vectorial : (x,y,z) = (0,1,-1) + s.(2,2,-4) + t.(1,3,4) ∀ s,t ∈ R
Ecuaciones paramétricas :
z 1 4 s 4 t
y 1 2 s 3 t
x 2 s t
∀ s,t ∈ R
Ecuación implícita o general : Ax + By + Cz + D = 0
Ejercicio 7 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(-3,2,1) y
B
r:
−^ −
Vector:AB
Punto:A( 3 , 2 , 1 )
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (-3,2,1) + λ.(1,-1,-2) ∀λ∈R
Ecuaciones parámetricas: R
z 1 2
y 2
x 3
∀λ ∈
= − λ
= −λ
=− +λ
Ecuación continua: 2
z 1
1
y 2
1
x 3
−
Ecuación implícita:
2 x z 5
x y 1
2 x 6 z 1
x 3 y 2
Ejercicio 8 : Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos P(3,1,0),Q(0,-5,1), R(6,-5,1)
Método: Hallamos la recta que pasa por P y Q, y comprobamos si R pertenece a la recta.
Recta que pasa por P y Q 1
z
6
y 1
3
x 3
Vector:PQ ( 3 , 6 , 1 )
Punto :P( 3 , 1 , 0 )
−
Comprobamos si el punto R la cumple: 1 1 1 1
⇒ Falso.
No existe ninguna recta que pase por los puntos P, Q y R a la vez.
Ejercicio 9 : Halla todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-4,2,5) y es paralela al
eje OZ.
r:
v( 0 , 0 , 1 ) P( 0 , 0 , 1 )
P( 0 , 0 , 0 )
VectorejeOZ
Punto:A( 4 , 2 , 5 )
2
1
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (-4,2,5) + λ.(0,0,1) ∀λ∈R
Ecuaciones parámetricas: R
z 5
y 2
x 4
∀λ ∈
= + λ
Ecuación continua: 1
z 5
0
y 2
0
x 4 −
Ecuación implícita:
y 2 0
x 4 0
Ejercicio 10 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1,-3,0) y paralela al
vector ux v,siendou( 1 , −−−− 1 , 2 ),v( 2 , 0 , 0 )
r:
i j k
Vector:uxv
Punto:A( 1 , 3 , 0 )
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,-3,0) + λ.(0,2,1) ∀λ∈R
Ecuaciones parámetricas: R
z
y 3 2
x 1
∀λ ∈
= λ
=− + λ
Ecuación continua: 1
z
2
y 3
0
x 1
Ecuación implícita:
y 2 z 3
x 1
y 3 2 z
2 x 2 0
Ejercicio 11 :
a) Halla el vector director de la recta determinada por los planos
y z 2
x y 0
Modo 1: Pasando a paramétricas: y = α, x = α, z = 2 - α ⇒ v(1,1,-1)
Modo 2: Perpendicular a los vectores normales de los dos planos ( 1 , 1 , 1 )
0 1 1
i j k
− = − −
Nota: Son paralelos, vale cualquiera de los dos.
b) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta anterior
Modo 1: Directamente ⇒ Ecuaciones parámetricas: R
z 2
y
x
∀α ∈
= − α
=α
=α
Modo 2:
Vector:v( 1 , 1 , 1 )
Punto :Dadoun valor,porejemploax,x 0,y 0,z 2 R
z 2
y
x
∀α ∈
= + α
=−α
=−α
Ejercicio 12 : Dada la recta z 1
y 1
2
x
−−−−
==== , exprésala como intersección de dos planos.
x 2 z 0
x 2 y 1
x 2 z
x 2 y 1
Ejercicio 16:
a) ¿Cuál es el vector normal del plano x = -1? (1,0,0)
b) Escribe las ecuaciones de una recta perpendicular al plano que pase por A(2,3,0)
r: r:
Vector:v = nπ =( 1 , 0 , 0 )
Punto:A( 2 , 3 , 0 )
r
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (2,3,0) + λ.(1,0,0) ∀λ∈R
Ecuaciones parámetricas: R
z 0
y 3
x 2
∀λ ∈
= +λ
Ecuación continua: 0
z
0
y 3
1
x 2
Ecuación implícita:
z 0
y 3 0
POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Coincidentes Paralelas Secantes Se cruzan
Método: Escribimos las ecuaciones paramétricas de cada una de ellas (con distinto parámetro), las
igualamos y resolvemos el sistema:
- Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto ⇒
Secantes.
- Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos
puntos ⇒ Coincidentes.
- Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelas o se cruzan. o Hallar el vector director de cada una
o Si son paralelos (proporcionales) las rectas son paralelas o Si no son paralelos, las rectas se cruzan.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
Coincidentes Paralelos Secantes
Método: Escribimos las ecuaciones generales de cada uno de ellos y resolvemos el sistema:
- Sistema compatible determinado ⇒ No puede ser
- Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos
puntos ⇒ Se cortan en un plano o en una recta
o Si hay un grado de libertad ⇒ Un vector ⇒ Se cortan en una recta ⇒ Secantes
o Si hay dos grados de libertad ⇒ Dos vectores ⇒ Se cortan en un plano ⇒ Coincidentes
- Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelos.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTA Y PLANO
Recta Contenida en el plano Secantes Paralelos
Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta y la general del plano y resolvemos el sistema:
- Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto ⇒
Secantes.
- Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos
puntos ⇒ Recta contenida en el plano.
- Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelos.
POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS
Coincidentes Dos coincidente y Dos coincidentes y Paralelos Paralelos
el otro secante el otro paralelo
Dos paralelos Secantes en una recta Secantes en un punto Secantes 2 a 2
Y el otro secante en una recta
Escribimos las ecuaciones de los tres planos en forma general y resolvemos el sistema:
- Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto
- Sistema compatible indeterminado: o Un grado de libertad: Se cortan en una recta Dos planos coincidentes y el otro secante
Los tres se cortan en una recta
o Dos grados de libertad: Se cortan en un plano ⇒ Coincidentes
- Sistema incompatible ⇒ No existe solución o Dos coincidentes y el otro paralelo o Tres paralelos o Dos paralelos y el otro los corta
o Se cortan dos a dos en una recta
Ejemplo 19: Estudiar la posición relativa entre la recta y el plano:
a) ππππ : x – 3y+5z+11=0 r:
z 4 6 t
y 1 t
x 2 t 3
a) Sustituimos las ecuaciones de la recta en la ecuación del plano:
-2t + 3 -3(1 – t) + 5.(4 + 6t) + 11 = 0 ⇒ -2t + 3 -3 +3t + 20 + 30t + 11 = 0 ⇒ 31t + 31 = 0 ⇒ t = -
Sistema compatible determinado. Existe una solución. Se cortan en un punto.
Si nos piden el punto de corte, sustituimos en las ecuaciones de la recta: P(5,2,-2)
b) z 4
2 y 2
3
x 2
-y + 2z - 1 =
b) Pasamos la recta a paramétricas y sustituimos en la ecuación del plano
-(2t-1) + 2t -1 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ Sistema compatible indeterminado, existen infinitas soluciones ⇒
Recta contenida en el plano.
c)
z 2 t
y t 2
x 4 t 1
x + 2y – z = 0
c) (4t + 1) + 2(-t + 2) – 2t = 0 ⇒ 5 = 0 ⇒ Sistema incompatible, no tiene solución ⇒ Paralelos
Ejemplo 20 : Estudiar la posición relativa de estos tres planos:
a)
x y z 2 0
3 y 2 z 1 0
x 2 y z 3 0
a) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale compatible determinado, existe una única solución
⇒ Se cortan en un punto P(7/4,1/2,-1/4)
b)
3 x y z 4 0
x y z 2 0
2 x y z 3 0
b) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale un sistema compatible indeterminado con un grado
de libertad, es decir, se cortan en una recta. Como los planos no son paralelos entre se cortan los tres
en una recta.
c)
2 x 2 y 3 z 4 0
3 x y 2 z 0
x y z 1 0
c) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale sistema incompatible, no tiene solución. Como
ninguno es paralelo entre si, se cortan dos a dos en una recta (Tienda de campaña)
d)
x ay z 1
2 x y az a
x y z a 1
d) Como es un sistema con parámetros con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas,
hallamos el determinante: 0 a 3 a 2 0 a 1 ,a 2
1 a 1
2 1 a
2 = ⇒− + − = ⇒ = =
CASO I: Si a = 1 Sistema RangoA' 3
RangoA 2
Incompatible
El primer y el tercer plano paralelos y el otros los corta en una recta.
CASO II: Si a = 2 Sistema
NºIncog 3
RangoA' 2
RangoA 2
Compatible
indeterminado con un grado de libertad (ninguno paralelo) se cortan en una recta.
CASO III: a ∈ R −{ 1 , 2 }⇒ |A| ≠ 0 ⇒ Sistema compatible determinado ⇒ Se cortan en un punto.
Resolviendo (por Cramer o por Gauss) obtenemos el punto de corte en función de “a”.
REPASO DE RECTAS Y PLANOS Y POSICIONES RELATIVAS
Ejercicio 21 : Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y halla el punto de corte,
cuando sea posible:
a) r: 4
z 1
2
y 2
3
x 1 −−−−
s: 3
z 2
2
y 3
1
x 2 −−−−
Vectores directores (3,2,4) y (-1,2,3) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema:
α+ = β +
α− = β+
α+ =−β−
RangoA' 3
RangoA 2
=
Sistema
incompatible, no existe solución, se Cruzan.
b) r: z 2 2
y 1
1
x 1 ==== −−−−
s: 2
z 5
1
y 4
4
x 4 −−−−
Vectores directores (-1,2,1) (4,1,2) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema:
α+ = β +
α+ =β+
−α+ = β+
NºIncog 2
RangoA' 2
RangoA 2
Sistema
compatible determinado, existe una única solución, se cortan en un punto.
1 P( 0 , 3 , 3 )
β=− ⇒
− β =
−α− β=
c) r: 3
z 1 y 1 2
x ++++ ==== −−−− ==== s:
3 y z 1 0
x 2 y 1 0
Vectores directores (2,1,3), ( 2 , 1 , 3 )
0 3 1
i j k
=
−
− Paralelos, Paralelos o coincidentes.
Tomamos un punto de r Pr(0,1,-1) y vemos si pertenece a s :
No pertenece a s por
tanto no pueden ser coincidentes. Son paralelas.
Ejercicio 26 : Determina la ecuación del plano que contiene al punto P(2,1,2) y a la recta
z 4
1
y 3 x 2 −−−−
P(2,1,2), Pr(2,3,4), vr(1,-1,-3)
Plano:
v ( 1 , 1 , 3 )
PP ( 0 , 2 , 2 )
Vectores:
Punto:P( 2 , 1 , 2 )
r
r 0
1 1 3
x 2 y 1 z 2
=
− −
-4(x-2) + 2(y–1) -2(z-2)=
-4x + 2y - 2z + 10 = 0 ⇒ -2x + y – z + 5 = 0
Ejercicio 27 : Comprueba que las rectas r: y z 2 2
x 1 ==== ==== −−−−
s:
x 2 y 11
x 2 z 5 son
paralelas y halla la ecuación del plano que las contiene.
Vectores directores proporcionales: vr(2,1,1), vs =
1 2 0
i j k
Pr(1,0,2) , vr(2,1,1), Ps (Por ejemplo z = 0, x = 5, y = -3 (5,-3,0))
Plano:
PP = ( 4 ,− 3 , − 2 )
v( 2 , 1 , 1 ) Vectores:
Punto:P( 1 , 0 , 2 )
r s
r
r
0
4 3 2
x 1 y z 2
=
− −
(x – 1) + 8y -10(z – 2) = 0
x + 8y – 10z + 19 = 0
Ejercicio 28 : ¿Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,0), D(-1,2,1)?
Con tres puntos A, B y C hallamos el plano que los contiene y comprobamos si D ∈ Al plano
Plano:
AC ( 1 , 1 , 0 )
AB ( 1 , 1 , 0 )
Vectores:
Punto:A( 1 , 0 , 0 )
x 1 y z
−
= 0 -2z = 0 ⇒ z = 0 ⇒ D no cumple que z = 0,
por tanto no son coplanarios.
Ejercicio 29 : Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,3,2) y B(-2,5,0) y es
paralelo a la recta
z 2 3 t
y 2 t
x 3 t
Plano:
v( 1 , 1 , 3 )
AB ( 3 , 2 , 2 )
Vectores:
Punto:A( 1 , 3 , 2 )
r
x 1 y 3 z 2
=
− −
⇒ -4(x–1) -7(y–3) – (z–2) = 0
-4x – 7y – z +27 = 0
Ejercicio 30 : Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r:
==== λλλλ
====−−−− −−−−λλλλ
==== ++++ λλλλ
z
y 1
x 2 3
y es paralelo
a: s: 3
z
2
y 1
5
x 3
−−−−
Plano:
v( 5 , 2 , 3 )
v( 3 , 1 , 1 ) Vectores:
Punto:P( 2 , 1 , 0 )
s
r
r
0
5 2 3
x 2 y 1 z
(x – 2) +14(y + 1) +11z = 0
x + 14y + 11z +12 = 0
Ejercicio 31 : Dado el plano ππππ : 2x – 3y + z = 0 y la recta r: 2
z 1
1
y 2
1
x (^1) ++++
−−−−
, halla la
ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano ππππ.
Plano:
n π ( 2 , 3 , 1 )
v( 1 , 1 , 2 ) Vectores:
Punto:P( 1 , 2 , 1 )
r
r
0
2 3 1
x 1 y 2 z 1
5(x – 1) + 3.(y – 2) – (z + 1) = 0
5x + 3y – z – 12 = 0
Ejercicio 32 : Sea la recta r:
2 x z 3 0
3 x y z 0 y el plano ax – y + 4z – 2 = 0
a) Calcula el valor de a para que r sea paralela al plano.
b) ¿Existe algún valor de a para que r sea perpendicular al plano?
a) Vector director de la recta y vector normal del plano perpendiculares (vr.nπ = 0)
vr =
2 0 1
i j k
− = (1, 5,2) vr.nπ = (1,5,2).(a,-1,4) = a – 5 + 8 = 0 ⇒ a = -
b) Vector de la recta y vector normal del plano, paralelos: 4
a
=. No existe.
Ejercicio 33 : Dados la recta r:
y z 4 0
x 2 z 3 0 y el plano ππππ : x + 2y + 3z – 1 = 0, halla la
ecuación de una recta s contenida en el plano ππππ que pase por el punto P(2,1,-1) y sea
perpendicular a r.
Recta s:
π
π
π (^1 ,^5 ,^3 )
1 2 3
i j k
vxn
n ( 1 , 2 , 3 )
i j k
Vector:v vxn v
Punto:P( 2 , 1 , 1 )
s r r r
z 1
5
y 1
1
x 2 +
−
Ejercicio 38 : Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta r:
2 x y z 0
x y 1 0 y es
paralelo a s: 4
z 2
3
y
2
1 x
−−−−
Plano:
v(− 2 , 3 , − 4 )
v Vectores:
Punto:P
s
r
r
Pasamos r a paramétricas: y = α, x = 1 - α, z = -2 + 2α + α = 3α - 2
v ( 1 , 1 , 3 )
P( 1 , 0 , 2 )
r
r
Plano: 0
2 3 4
x 1 y z 2
-13(x – 1) -10y – (z + 2) = 0 ⇒ -13x – 10y – z +11 = 0
Ejercicio 39 : Indica qué condiciones deben cumplir a, b, c y d, para que el plano (^) ππππ : ax + by +
cz + d = 0 sea:
a) Paralelo al plano OXY b) Perpendicular al plano OXY
c) Paralelo al eje Z d) Perpendicular al eje X
e) No sea paralelo a ninguno de los ejes.
a) nπ || noxy 1
c
0
b
0
a = = ⇒ a = 0, b = 0
b) nπ.nOXY = 0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 ⇒ c = 0
c) nπ .vZ =0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 ⇒ c = 0
d) nπ || vX 0
c
0
b
1
a = = ⇒ b = 0, c = 0
e) No es paralelo a ninguno de los ejes, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
