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MATERIAL INFORMATIVO
Programa de Estudios/Programa PROGRAMA DE FORMACIÓN HUMANÍSTICA SESIÓN N° Experiencia Curricular: PENSAMIENTO LÓGICO SEMESTRE 2022 - I Contenido temático: PROPORCIONALIDAD: MAGNITUDES PROPORCIONALES. REPARTO PROPORCIONAL Docente: Tipo de Material Informativo GUIA PRACTICA N° 6
PROPORCIONALIDAD: MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO
PROPORCIONAL
1. MAGNITUD
Una magnitud es una cualidad o una característica de un objeto que podemos medir. Ejemplo: longitud, masa, número de alumnos, capacidad, velocidad, etcétera. Las magnitudes se expresan en unidades de medida. Ejemplo: metros, kilómetros, kilogramos, gramos, número de personas, litros, centilitros, kilómetros por hora, metros por segundo, etcétera. Para cada una de esas medidas existen diferentes cantidades de esa magnitud. Ejemplo: una regla de 1 metro, una caja de 2 kilogramos, un tonel de 5 litros, 95 km/h, etcétera https://www.digitaliapublishing.com/visor/ Ejemplo: La siguiente tabla muestra algunas magnitudes y su correspondiente unidad de medida: Magnitud Unidad de medida Tamaño de un terreno (área) m^2 Peso de una persona kg Sueldo de una persona S/ Velocidad de un automóvil km/h
Temperatura ° C
2. MAGNITUDES PROPORCIONALES Relaciones entre dos magnitudes Las relaciones matemáticas que existen entre las magnitudes son de mucha importancia, ya que nos permitir deducir la variación de una magnitud, modificando los valores de las magnitudes con los que está en interdependencia , considerando que estas relaciones pueden ser sencillas (solo entre dos magnitudes) y otras más complejas (más de dos magnitudes). A continuación, estudiaremos las dos magnitudes. https://www.digitaliapublishing.com/visor/ A. Magnitudes directamente proporcionales (DP) Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra, también lo hacen proporcionalmente. Análogamente si una disminuye, la otra lo hará proporcionalmente. Notación: Analicemos el siguiente caso: el costo del metro cuadrado de un terreno en el distrito del Agustino es de S/ 3200. Observa la siguiente tabla que relaciona el tamaño de un terreno y su precio. Tamaño del terreno Área (m^2 )
Precio (S/) 3200 288 000 384 000 480 000 576 000 640 000 En los valores de la tabla observamos que, si el área se multiplica por un número, entonces el precio quedará multiplicado por el mismo número. Si comparamos sus valores mediante un cociente obtenemos: En general, para dos magnitudes A y B, estas se relacionan en forma directamente proporcional, si el cociente de sus valores correspondientes es una constante. ( ) A DP B ( ) valor de A k valor de B (^) (k: constante de proporcionalidad)
Es decir: =k
b
a
b
a
b
a
b
a
n n 3 3 2 2 1 1
Velocidad de desplazamiento IP Tiempo de viaje Altura msnm IP Presión atmosférica
Ejemplo 1:
Indique, entre los siguientes pares de magnitudes, los que son directamente
proporcionales y los que son inversamente proporcionales.
MAGNITUD 1 RELACIÓN MAGNITUD 2
Número de obreros empleados. Trabajo realizado Los días de trabajo Horas diarias que se trabajan El espacio recorrido (^) El tiempo utilizado en la velocidad. El número de cosas compradas. (^) El monto a pagar. El peso de la mercancía. (^) El precio a pagar de esa mercancía. El número de obreros empleados El tiempo necesario para hacer una obra. El tiempo utilizado en producir. Número de unidades producidas Ejemplo 2: Carlos trabaja como vendedor en una tienda de electrodomésticos y recibe una comisión de S/ 150 por cada televisor vendido cuyo valor sea mayor a S/ 1000. ¿cuántos televisores cuyo valor sea mayor a S/ 1000 tendrá que vender para recibir S/ 2400 de comisión al mes? Solución: Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Comisión S/ 150 por cada tv cuyo valor sea mayor a S/ 1000. ¿Cuántos televisores cuyo valor sea mayor a S/ 1000, tendrá que vender para recibir S/ 2400 de comisión al mes? Estrategia: Sí se incrementa el número de televisores vendidos, entonces la comisión será mayor. Por tanto N° de televisores DP Comisión Interpretamos el resultado : Para que Carlos reciba una comisión de S/ 2400 deberá vender 16 televisores en el mes, considerando que el precio del tv es mayor a S/1000.
Reflexionamos sobre los resultados
Si vendemos más televisores obtenemos más comisión por ello:
Establecemos que: N° de televisores DP Comisión
Por tanto : 240
3. REPARTO PROPORCIONAL Consiste en repartir o dividir cierta cantidad en forma proporcional a determinados factores o números, llamados índices de reparto. Los elementos que siempre se encuentran presentes en un reparto proporcional son: cantidad a repartir, factores o índice de reparto y cociente de reparto o cantidad recibida. Cuando escuchamos la palabra reparto imaginamos una división en partes iguales; sin embargo, no siempre es el caso, en muchas ocasiones se toman en cuenta números indicadores de la forma en que se va a realizar el reparto. Reparto Proporcional Simple: Es aquel reparto que se realiza en forma proporcional a un solo grupo de índices, este reparto puede ser de dos tipos: A. Reparto Simple Directo: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son directamente proporcionales a los índices. En general repartir una cantidad N DP a los índices Se cumple que las partes obtenidas: son DP a los índices. , donde B. Reparto Simple Inverso: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son inversamente proporcionales a los índices. En general repartir “N” IP a los índices Se cumple que las partes obtenidas: son IP a los índices.
Benancio Martínez: B = 2500(8) = 20 000 soles. Cesar Altamirano: C = 1500(8) = 12 000 soles. Interpretamos el resultado : Como el reparto es directamente proporcional a sus aportes, hallamos la constante de proporcionalidad k=8 y la multiplicamos por sus aportes de cada socio y obtenemos que Alfredo Yatsety recibirá 24 000 soles, Benancio Martínez 20 000 soles y Cesar Altamirano 12 000 soles. Reflexionamos sobre los resultados Importante identificar que por dato la utilidad es DP a los aportes Por ello quien más aporta recibe más utilidad y en este caso Alfredo Yatsety recibe 24000 soles. Ejemplo 5: El gerente de una empresa de servicios de taxi desea disminuir el índice de infracciones a las normas de tránsito y decide repartir un bono de S/ 8 460 entre sus trabajadores. El reparto se realizará de manera inversamente proporcional a las infracciones cometidas según la información de la tabla: Trabajador N° de infracciones Javier 4 Leonardo 5 Carlos 3 Calcular el monto que recibirá cada uno. Solución: Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Bono que se repartirá de S/ 8 460 Reparto IP las infracciones cometidas según la información de la tabla: Trabajador N° de infracciones Javier 4 Leonardo 5 Carlos 3 Como el reparto es inversamente proporcional a 4, 5 y 3; entonces determinamos la constante de proporcionalidad. Replanteando las cantidades que le corresponde a cada uno llegamos a la ecuación:
Por lo tanto, cada uno recibe: Javier: soles Leonardo: soles Carlos: soles Interpretamos el resultado : Como el reparto es IP obtenemos la contante K, que dividimos en cada infracción y obtenemos que el bono es mayor para el que tiene menos infracción: Carlos recibe 3600 soles por tener menos infracción, seguida por Leonardo recibe 2160 soles y Javier 2700 soles Reflexionamos sobre los resultados Como el reparto IP a las infracciones cometidas Carlos tiene menos infracciones le corresponde mayor bono recibe 3600 soles
Ejemplo 6:
Un gerente desea repartir una gratificación de S/ 42,000 entre sus 3 empleados en
partes DP a sus sueldos (S/ 3200, S/ 4200 y S/ 5400) e IP a sus faltas (4, 6 y 9 días,
respectivamente). ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
Solución:
Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Sueldo de la 1 persona S/
Sueldo de la 2 persona S/4200. Sueldo de la 3 persona S/
Faltas de la 1 persona 4 días Faltas de la 2 persona 6 días Faltas de la 3 persona 9 días Gratificación de S/ 42 000 ¿Cuánto le correspondería a cada uno? Como sabemos que: La gratificación es DP a sus sueldos e IP a sus faltas, determinamos la constante de proporcionalidad compuesta: Se establece que,
Interpretamos sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados 4._ Tres jugadores de fútbol se reparten 36 000 euros en proporción directa al número de partidos que ha jugado cada uno. Si jugaron 12, 15 y 18 respectivamente, ¿Cuánto recibe cada jugador? Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpretamos sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados 5._ Si al distribuir una cierta cantidad de dinero entre 6 personas cada uno recibe 20 euros ¿cuánto recibirán si se repartiese entre 15 personas?, ¿cuál es la constante de proporcionalidad inversa Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpretamos sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados
PENSAMIENTO EN ACCIÓN
SITUACION CONTEXTUAL Nº 1
Canon minero: Áncash, Arequipa y Tacna son las
regiones que más recursos recibieron en el 2020
Recursos generados por actividad minera sumaron S/ 4075 millones el año pasado, informó el Ministerio de Energía y Minas
PENSAMIENTO EN ACCIÓN
11/01/2021 El Boletín Estadístico Minero del Ministerio de Energía y Minas (Minem) dio a conocer este lunes que hasta noviembre del año pasado las transferencias mineras por concepto de canon minero, regalías mineras (legales y contractuales) y derechos de vigencia y penalidad sumaron S/ 4,075 millones. En ese sentido, informa que las regiones que más se recursos recibieron por estos conceptos fueron Áncash, Arequipa y Tacna. En el análisis por regiones, Áncash mantiene el primer puesto como receptor de transferencias con S/ 914 millones, representando el 22.4% del total de las transferencias. En el segundo y tercer puesto, se ubicaron Arequipa con un total de S/ 711 millones (17.4%) y Tacna con S/ 426 millones (10.5%), respectivamente. En Arequipa de ubica el proyecto minero Tía María, que hasta ahora no puede iniciar actividades, debido a la oposición de sectores sociales. En la lista de regiones continúa Cusco con más de S/ 337 millones; seguida de Cajamarca con más de S/. 257 millones en el transcurso del año 2020; y Moquegua, que acumula más de S/ 238 millones de transferencias por los conceptos señalados, entre otras. https://elperuano.pe/noticia/113289-canon-minero-ancash-arequipa-y-tacna-son-las-regiones-que- mas-recursos-recibieron-en-el- De acuerdo a la situación contextual, determine: A. Identifica y escribe las magnitudes con sus respectivas unidades que cita la fuente. MAGNITUDES UNIDADES B. Aplicando la definición de reparto proporcional directo, determine los montos que obtendrían cada región tomando como índice de reparto sus porcentajes respectivos si sumando dichos valores, llega al 50,33% de lo recibido. Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpreta sobre los resultados
B. Asumiendo que las cifras reportadas por el MINSA hasta las 22:00 horas del día 1 de marzo de 2021 se relacionan proporcionalmente, estimar la cantidad de resultados negativos, de un total de 10 000 000 personas muestreadas. Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpreta sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados SITUACION CONTEXTUAL Nº 3
PERÚ CONTINÚA ATRACTIVO PARA INVERSORES TRAS EMITIR
BONOS POR US$ 4,000 MILLONES
Demanda ascendió a 10,000 millones de dólares por parte de
inversores de EE.UU, Europa y Asia
Fuente: ANDINA
19:53 | Lima, mar.
Por Miguel De la
Vega
El Perú continúa
atractivo para los
inversores
extranjeros en el
mercado de bonos
soberanos, tras la
reciente emisión por 4,000 millones de dólares a bajas tasas de
interés y una amplia demanda, señaló hoy el ministro de
Economía y Finanzas, Waldo Mendoza.
“Hoy día colocamos 4,000 millones de dólares, tuvimos una
demanda como de 10,000 millones de dólares, lo cual es un
indicador que el apetito por los papeles peruanos sigue bueno,
esto es signo que el Perú sigue siendo un país con sólidos
fundamentos macroeconómicos”, declaró a la Agencia Andina.
“Hemos colocado a tasas razonables a los tiempos, y también
básicamente hemos cubierto las necesidades de financiamiento
que teníamos para este año, así que también por eso nos
sentimos tranquilos”, agregó.
Refirió que la situación financiera internacional está un poco
movida por las tasas de interés que están subiendo en el mundo,
particularmente en Estados Unidos, porque los mercados perciben
que ingresa a una etapa de franca recuperación, con un estímulo
fiscal inmenso.
“Así que, detrás de ese escenario externo complejo, consideramos
que era un buen momento para emitir bonos, porque estas tasas
de interés muy posiblemente van a seguir subiendo, y en parte
porque se aproxima el proceso electoral que siempre trae cierto
nerviosismo”, dijo el ministro Mendoza.
Menores tasas
Por su parte, el Director General de Política Macroeconómica y
Descentralización Fiscal del MEF, Alex Contreras, precisó que la
colocación se realizó a través de tres tipos de bonos.
El primero con vencimiento al 2031 por 1,750 millones de dólares
a una tasa de 2.734%; el segundo a 20 años por 1,250 millones
de dólares a una tasa de 3.30% y finalmente el tercero a 30 años
por 1,000 millones de dólares a 3.55%.
“Ha habido una demanda muy importante de inversionistas de
Estados Unidos, Europa y Asia, que nos ha permitido que, en el
proceso de asignación de los bonos, podamos ajustar cerca de 35
puntos básicos a las tasas iniciales que habíamos ofrecido”,
explicó Contreras.
“Esto ratifica que hay mucha confianza en los fundamentos y
fortalezas macroeconómicas del Perú y en su recuperación en los
últimos meses, lo cual ha colocado al Perú en la lista de los países
que más rápido se ha recuperado en el mundo”, agregó.
Asimismo, refirió que evalúan la posibilidad de hacer una emisión
adicional en euros para el mercado europeo.
“Teníamos pensado emitir 3,000 millones, pero dada la fuerte
demanda decidimos ampliar la oferta a 4,000 millones y ajustar
las tasas de referencia que habíamos dado inicialmente, la
estrategia funcionó bien para el país”, dijo.
En la demanda por los bonos peruanos participaron más de 200
inversionistas provenientes principalmente de Estados Unidos
(71%), Europa (21%), Asia (4%) y Latinoamérica (4%).
El Ministerio de Economía y Finanzas (MEF) destacó que en la
presente colocación se realizaron emisiones de dos nuevas
referencias en dólares con vencimientos en los años 2041 y 2051,
así como la reapertura del Bono Global 2031.
De otro lado, Contreras puntualizó “Este año prevemos un ratio de
deuda alrededor de 37% sobre PBI, Perú se mantendría como uno
de los países con la deuda más bajas, no solo al nivel de la región,
sino a nivel de economías emergentes”.
En base a la información presentada responde:
A. Identifica y escribe todas las magnitudes con sus respectivas
unidades que encuentres en esta fuente.
MAGNITUDES UNIDADES
Vivienda y III de Comunidades Indígenas y la Encuesta Nacional de
Hogares 2018 (ENAHO).
En base a la información presentada responde:
A. Identifica y escribe todas las magnitudes con sus respectivas
unidades que encuentres en esta infografía.
MAGNITUDES UNIDADES
B. Asumiendo que la cantidad de habitantes se relaciona proporcionalmente a la cantidad de hogares, estimar la cantidad de hogares que albergarían a 10 millones de habitantes. Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpreta sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados SITUACION CONTEXTUAL Nº 5
CÓMO PREPARAR ALCOHOL EN GEL CASERO,
SEGÚN LA OMS
Frente al desabastecimiento del alcohol en gel en todo el mundo y la proliferación de recetas caseras que circulan por la web sin la
recomendación de profesionales, pudiendo generar otros trastornos en la salud, la Organización Mundial de la Salud elaboró su propia receta para hacer alcohol en gel en casa. Fórmulas de la OMS para fabricar 10 litros de alcohol en gel En dicha guía, la Organización Mundial de la Salud ofrece dos fórmulas alternativas para preparar alcohol en gel. Pueden prepararse en botellas de vidrio o plástico de 10 litros, con tapón interior de rosca, sin excederse en el tiempo indicado para evitar la evaporación de los insumos. Cantidad de producto recomendada:
Formulación 1 Formulación 2
Etanol al 96% (8333 ml); Peróxido de hidrógeno al 3% (417 ml); Glicerol al 98% (145 ml); Agua destilada estéril y hervida fría. Alcohol isopropílico al 99,8% (7515 ml); Peróxido de hidrógeno al 3% (417 ml); Glicerol al 98% (145 ml); Agua destilada estéril y hervida fría.
Preparación por etapas:
Recuperado de:
https://www.who.int/gpsc/5may/tools/
Un padre reparte un dinero a sus 3 hijos, directamente proporcional a la edad que tengan e inversamente proporcional al peso de cada uno de ellos. Si el dinero que va a repartir es S/.8400 y las edades 12; 15 y 18 y los pesos respectivos 40; 45 y 60 kg, halle la mayor cantidad recibida. Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpreta sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados SITUACION CONTEXTUAL Nº 7 Un hacendado al morir deja de herencia a sus 3 sirvientes, un terreno de 7200 m2 estipulando que el reparto será IP a su sueldo: S/. 300; S/. 200 y S/. 500 y a la vez DP al número de años de servicio: 6; 8 y 15 años respectivamente. ¿Qué área corresponde a cada sirviente? Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpreta sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados REFERENCIA Egoavil J. (2014). Fundamentos de matemática: Introducción al nivel universitario. Universidad Peruana de Ciencias Aplicada. https://www.digitaliapublishing.com/visor/ Marie Cosette Girón Suazo. (2015). Aplicaciones de matemática y cálculo a situaciones reales. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. https://search.ebscohost.com/login.as?direct=trueamp;db=e000xwwamp;AN=1042744amp;lang=esamp;site=eho st-liveamp;ebv=EBamp;ppid=pp_
