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ECUACIONES DE PRIMER GRAD0.
APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Resultado de aprendizaje Evidencia de aprendizaje Actitud Resuelve situaciones problemáticas sobre ecuaciones de primer grado aplicando diversas estrategias matemáticas. Foro formativo de participación sobre aplicaciones de ecuaciones de primer grado. Informe: Resolución de situaciones contextuales aplicando ecuaciones de primer grado. Aplica conteni conceptuales procedimentales ecuaciones de primer gr para solucionar problem de la realidad, de man acertada, responsable proactiva. Posee actitud proactiva demuestra responsabilidad
ECUACIONES DE PRIMER GRAD
Una ecuación es de primer grado, denominada también como ecuación lineal, si todas sus variables o incógnitas tienen exponente uno. Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros, y están separados por el signo de igualdad “=”. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones: 3x – 7 = x + 15 ……… (1) y2 – 7y = 10 – 4y ……… (2) 3x – 2y = 14 ……… (3)
Las ecuaciones que estudiaremos en esta sección son las ecuaciones lineales de una variable y tiene la siguiente forma: ax + b = 0 ; donde a≠ 0 Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera dicha igualdad. La solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por: x = − b a
Elementos de una ecuación de primer grado
Al observar la ilustración, nos daremos cuenta que en una ecuación intervienen varios elementos. Veamos: ● Incógnita ● Términos independientes ● Coeficiente principal Ejemplo:
RECOMENDACIONES PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER
GRADO
- Suprimimos primero los signos de colección o agrupación (si los hay) en ambos miembros.
- Eliminar denominadores (si los hay)
- Agrupar o transponer los términos con incógnitas a un lado de la ecuación o inecuación y los términos sin incógnita al otro.
- Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.
- Despejar la incógnita y hallar el conjunto de solución.
- Comprobar. Ejemplo 1 : Resuelva la ecuación: 2 x + 9 = 4 x + 3 - Aplicamos la regla de transposición para pasar todos los términos con x al primer miembro, y todos los términos sin x al segundo miembro: 2 x – 4 x = 3 – 9 (Observa que los términos 2 x y 3 no han cambiado de signo, ya que siguen cada uno en el miembro de la ecuación en el que estaban). - Simplificamos operando en cada miembro de la ecuación términos semejantes -2 x = - - Ahora aplicamos la regla del producto para despejar x :
x = 3 Ejemplo 2 : Resuelva la ecuación: 5x – 3 = 2x + 9 En primer lugar, restamos 2x a ambos lados de la ecuación y simplifiquemos. 5x – 3 – 2x = 2x + 9 – 2x 5x – 2x – 3 = 2x – 2x + 9 3x – 3 = 9 Ahora, sumemos 3 a ambos miembros de la ecuación y de nuevo simplifiquemos. 3x – 3 + 3 = 9 + 3 3x = 12 Por último, dividamos ambos lados entre 3 (el cual no es cero). 3 x 3
x = 4 A menudo surgen ecuaciones que a primera vista no parecen ser lineales, pero que pueden reducirse a ecuaciones lineales mediante simplificaciones apropiadas. Al efectuar tales reducciones, el siguiente procedimiento por etapas con frecuencia es útil. Paso 1 : Elimine las fracciones que aparezcan en la ecuación multiplicando ambos miembros por el denominador común de las fracciones involucradas. Paso 2: Pase todos los términos que contengan a la variable al lado izquierdo y todos los demás al lado derecho; simplifique entonces, si es posible, reduciendo términos semejantes. Paso 3 : Pase todos los términos que contengan la variable al lado izquierdo y todos los demás al lado derecho; simplifique entonces, si es posible, reduciendo términos semejantes. Ejemplo 3: Resuelva la ecuación: 3x – 4(6 – x) = 15 – 6x
Tenemos ahora una solución dividiendo ambos lados entre (-3), tenemos que: x = 14/
Casos de ecuaciones de primer grado
Reforzaremos la teoría de ecuaciones y veremos que sucede cuando la ecuación de primer grado: ax + b = 0, a ≠ 0 NO SE CUMPLA ; es decir, cuando “a” tome el valor de cero (0). Se tendrán dos casos: Caso 1: si a = 0 ∧ b = 0 Reemplazando los valores la ecuación resultará: 0x + 0 = 0 De donde podemos observar que cualquier valor de «x» satisface la ecuación; es decir, la ecuación tiene INFINITAS SOLUCIONES o es COMPATIBLE INDETERMINADA. Caso 2: si a = 0 ∧ b ≠ 0 La ecuación quedará así: 0x + b = 0 Podrá notar que ningún valor de «x» logra satisfacer la ecuación. En este caso se dice que la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN o es IMCOMPATIBLE.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Recordando ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras llamadas incógnitas, cuyo valor hay que averiguar. Para resolver las ecuaciones si tienen más de una incógnita, se necesitan tantas como incógnitas haya y a ese conjunto de ecuaciones se le llama sistema. Ejemplo: 2x + 3y = 7 5x – 2y = 8 Como tiene dos incógnitas necesitamos dos ecuaciones Métodos para resolver sistemas Hay tres métodos: Reducción, sustitución e igualación
1.- Método de Reducción: Consiste en eliminar una de las incógnitas. Pasos:
- Elegimos la incógnita que queremos eliminar y para que tenga en las dos ecuaciones el mismo coeficiente (número) multiplicamos la ecuación de arriba por el coeficiente que tenga la incógnita en la ecuación de abajo y toda la ecuación de abajo por el coeficiente que tenga la incógnita en la ecuación de arriba.
- Sumamos o restamos las dos ecuaciones para eliminar la incógnita elegida.
- Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior.
- Calculamos la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema. Nota importante : si la primera incógnita te da fracción puedes resolver la segunda incógnita otra vez por reducción siguiendo todo el proceso, pero eliminando la incógnita contraria a la vez anterior. Ejemplo: Resuelva 5x – 2y = 4 6x – 3y = 3 Solución: (5x – 2y = 4) (-3) (6x – 3y = 3) (2) -15x+6y= - 12x-6y = 6 -3x=- X= 2 2.- Método de Sustitución: Pasos:
- Se despeja una incógnita en una ecuación.
- Se sustituye en la otra y se resuelve la ecuación.
- Se sustituye el valor obtenido en la expresión obtenida en el primer paso.
y = − 9 − 3 x (^5) …………………. ( IV )
- Igualamos los segundos miembros de las ecuaciones II y IV: 2 − 4 x 2
− 9 − 3 x 5 5 (2 – 4x) = 2 (- 9 - 3x) 10 – 20x = - 18 – 6x -20x + 6x = - 18 – -14x = - 28 x =
- Reemplazamos este valor en cualquiera de las ecuaciones III o IV y calculamos el valor de “y”. y = 2 − 4 x 2
∴ (^) x=2, y = -
APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER
GRADO
Cuando se trabaja con un problema de aplicación de la vida real, con frecuencia nos encontramos con una o más ecuaciones que modelan dicha situación. Muchos fenómenos pueden describirse utilizando ecuaciones lineales, que son el tipo más simple para trabajar. En la mayoría de los casos, para resolver problemas prácticos, las relaciones establecidas deben traducirse a expresiones matemáticas que implican sumas, restas, multiplicaciones y divisiones normalmente existen palabras y frases clave. Esto se conoce como modelado.
Los métodos algebraicos a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en diversos campos. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes. El siguiente procedimiento por etapas con frecuencia es útil en la aplicación de este proceso. Paso 1: Represente la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que debe determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos problemas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos, denotamos sólo una de ellas con x. Paso 2: Exprese todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x.
Solución Hagamos un esquema para entender mejor el problema Correcta Mal o no contestada Puntaje 4 - Supongamos que contesta x y Total 4x -y 4x – y = 48 Del esquema obtenemos también que x + y = 42 (total de preguntas) Formamos el sistema de ecuaciones y lo reducimos: 4x – y = 48 x + y = 42 5x = 90 -> x = 18 18 + y = 42 -> y = 24 Rpta : El estudiante contesto 18 preguntas correctamente Ejemplo 2: (Utilidad) La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de S/ 6 y el costo fijo de S/ 80 000. Cada unidad tiene un precio de venta de S/ 10. Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de S/ 60 000. Resolución: Sea “q” el número de unidades que deben venderse (considerando que en muchos problemas de negocios “q” representa la cantidad). Aplicando la ecuación de la utilidad con los datos del problema se tiene: Utilidad = Ingreso Total – Costo total Utilidad = Precio de Venta Unitario x Cantidad – (Costo fijo + Costo variable) 60 000 = 10q – (80 000 + 6q) 60 000 = 10q – 80 000 – 6q 140 000 = 4q q = 35 000 ∴ Se deben vender 35 000 unidades para obtener una ganancia de S/ 60 000
pensamiento en acción n°
Parte I: Nivel básico
- Halla el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: a) 3(12 - x) - 4x = 2(11 - x) + 9x b)
6 X − 7
3 X − 5
5 X + 78
c) (x + 5) (x + 7) = (x + 5) x d) 5(2x – 1) – 4(5x – 2) = 19 – 2(x + 12) e) 7(2x – 5) – (4x – 11) = 9(x – 6) + 29 f) 23x + 17(x – 3) = 8(1 – 5x) – 59 g) x + 1 2
x − 3 3
x + 3 4
x + 4 5
Parte II: Nivel intermedio
- (La edad de Pedro) Conversaba una pareja de esposos sobre sus edades, concluyendo que Pedro tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años Pedro tenía el doble de la edad de su esposa. ¿Cuántos años tiene Pedro?
- (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio,
- Una tienda que está liquidando su mercadería anuncia que todos los precios fueron rebajados 20%. Si el precio de un artículo es 28 soles. ¿cuál era su precio antes de la liquidación 10.- Un químico tiene 10ml de una solución que contiene 30% de concentración de ácido. ¿cuántos ml de ácido puro deben agregarse para aumentar la concentración a 50%
Parte III: Nivel avanzado
SITUACIÓN CONTEXTUAL N°
Un granjero dijo: acabo de vender 9 caballos y 7 vacas en 25000 soles a lo que su amigo repuso: supongo que habrá recibido usted más por los caballos que por las vacas. el granjero respondió: sí, me han dado por cada caballo el doble que por cada vaca. ¿Cuánto se pagó por cada animal? SOLUCIÓN: SITUACIÓN CONTEXTUAL N° El ingreso mensual total de una guardería por el cuidado de “x” niños está dado por I = 450 x, y sus costos mensuales totales están dados por C = 380 x + 3500. ¿Cuántos niños se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de equilibrio? En otras palabras ¿cuándo los ingresos igualan a los costos? SITUACIÓN CONTEXTUAL N°
Gripe A(H1N1).
El 21 de agosto de 2011 se registraron en Argentina 439 personas que fallecieron a causa de la gripe A(H1N1), lo cual representó el 0,44 % del total de infectados a nivel mundial.
¿Cuál fue la población infectada por esa epidemia en dicha fecha? SITUACIÓN CONTEXTUAL N° La Panadería “Aprendiendo” produce cierta cantidad de panetones, para el cual el costo variable por unidad es de S/6 y el costo fijo de S/8000. Cada unidad tiene un precio de venta de S/10. Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de S/6000. SOLUCIÓN DATOS SIGNIFICATIVOS PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN RESPUESTA REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Álgebra : Manual de preparación pre-universitaria. (2008). Lexus Editores S.A. https://link.gale.com/apps/doc/CX3087800001/GVRL?u=univcv&sid=bookmark- GVRL&xid=d24bfdb Escudero Trujillo, R., & Rojas Á lvarez, C. (2015). Matemáticas básicas: Vol. 4a edici ón revisada. Universidad del Norte. https://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=e000xww&AN=1531654&lang=es&site=ehost- live&ebv=EB&ppid=pp_a Egoavil, J. (2014). Fundamentos de matemá tica: Introducción al nivel universitario. Universidad Peruana de Ciencias Aplicada. https://www.digitaliapublishing.com/visor/ Marie Cosette Girón Suazo. (2015). Aplicaciones de matem á tica y cá lculo a situaciones reales. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. https://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=e000xww&AN=1042744&lang=es&site=ehost- live&ebv=EB&ppid=pp_ Gutiérrez, Y., Núñez, L., Morales, E. & Vargas, E. (2018). Matemá tica Superior. Ediciones UAPA. https://www.bibliotechnia.com.mx/portal/visor/web/visor.php Núñez, L., Vargas, E. & Boada, E. (2019). Álgebra Lineal. Ediciones UAPA. https://www.bibliotechnia.com.mx/Institucional/resumen/34303_
