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MATERIAL INFORMATIVO Programa de Estudios/Programa Formación Humanística Sesión N° 13 Experiencia Curricular: Pensamiento Lógico Semestre 2023 - I Contenido temático: Modelamiento lineal Docente: Mgtr. Norma Saldivar Montalvo Tipo de Material Informativo Lectura / artículos / y otros
MODELAMIENTO LINEAL
TEORÍA
1. Definición Es una descripción matemática (con frecuencia mediante una función o una ecuación), de un fenómeno del mundo real. Según Blomhoj (2004) un modelo matemático es la relación existente entre ciertos objetos matemáticos y sus conexiones, por un lado, y por el otro, una situación o fenómeno de naturaleza no matemática Ejemplos de modelos matemáticos ⮚ El tamaño de una población. ⮚ La demanda por un producto. ⮚ La rapidez de la caída de un objeto. ⮚ La concentración de un producto en una reacción química. ⮚ La expectativa de vida de una persona cuando nace. ⮚ La variación del área de un terreno de acuerdo a sus dimensiones. 2. Propósito de un modelo
Entender el fenómeno y quizá hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro. En su acepción como estrategia didáctica, la modelación matemática surge como un medio que permite la creación o uso de modelos matemáticos a través del planteamiento de problemas en contexto (Niss, Blum y Galbraith, 2007). La implementación de esta estrategia en diversos niveles educativos ha demostrado, entre otras cosas, el desarrollo de competencias matemáticas y propias de la modelación matemática (Rodríguez y Quiroz, 2015), la promoción de un mayor interés hacia la asignatura (Alsina, 2007), así como el desencadenamiento de un pensamiento diversificado en los alumnos (Hitt, 2013). Es por ello que currículos de diversos países han incorporado como un objetivo principal del perfil de egreso el desarrollo de competencias de modelación matemática. A manera de ejemplo, México, a través de la Reforma Integral de Educación Básica del año 2009, manifiesta la necesidad de que los alumnos modelicen situaciones de la vida cotidiana desde el preescolar hasta la secundaria (SEP, 2011). Por otro lado, la OCDE la considera dentro de los estándares evaluados en la prueba PISA (OCDE, 2010).
3. Proceso de un modelo matemático En base a lo propuesto por Robledo (2014), todo modelo matemático es una abstracción de la realidad, que propone una explicación objetiva y racional del mismo, buscando como fin ulterior el establecimiento de predicciones. Contempla las siguientes fases:
- Al aplicar las funciones lineales para hacer un estudio de algún fenómeno, debemos elaborar un modelo matemático lineal, el cual es una expresión matemática de la forma: y = mx + b , que relaciona a una variable independiente “x” con una variable dependiente “y”, donde la pendiente “m” es la razón de variación en la que está aumentando “y” por cada unidad de aumento en “x”; mientras que b, es el punto de intersección de la recta con el eje “y”, al cual le corresponde un x = 0. } 6. Modelo de regresión lineal Es un método analítico para predecir el valor de una variable según el valor de otra. La variable que desea predecir se denomina variable dependiente. La variable que está utilizando para predecir el valor de la otra variable se denomina variable independiente. Esta forma de análisis estima los coeficientes de la ecuación lineal, involucrando una o más variables independientes que mejor predicen el valor de la variable dependiente. La regresión lineal se ajusta a una línea recta o a una superficie que minimiza las discrepancias entre los valores de salida previstos y reales. Segun Robledo (2014), estos modelos son: Modelos estadísticos constituyen una forma sintética y eficiente de representar el proceso aleatorio que genera las observaciones. Cambios en los parámetros de posición y dispersión permiten contemplar una gran variedad de situaciones (p. 144) Ejemplo Función lineal de costo
Una función de costo especifica el costo “C” en función de la cantidad de artículos “x”. Una función de costo lineal tiene la forma: C(x) = mx + b Donde: “mx” es el costo variable y “b” el costo fijo. La pendiente “m”, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo. Así, por ejemplo, el costo “C” diario que le genera a tu empresa imprimir “x” libros de matemática de pasta blanda, es : **_C(x) = 3.50 x
- 1200_** Donde “C” se puede medir en dólares, y “x” en unidades de libros. El costo marginal es m = 3.5, y el costo fijo es b = 1200. La información expuesta podemos sintetizarla en el siguiente organizador visual:
Según la información del INEI, describe como se ha estimado la población peruana para los años indicados en la gráfica. Luego establece un modelo matemático que se aproxime o ajuste a describir la población proyectada. Para tal propósito: A. En tu parecer cómo se estimaría la población para un determinado año. B. Identifica las variables y sus correspondientes unidades que se citan y relacionan para estimar la población peruana. Luego asígnales una notación (valor literal). C. Justifica la relación de dependencia entre las variables citadas e indica la variable independiente y variable dependiente. Variable independiente: Variable dependiente: D. Determina la regla de correspondencia (establece el modelo matemático) que relaciona los datos variables para estimar la población peruana para un tiempo determinado. E. Usa el modelo matemático determinado para estimar la población para el año 2015, 2017 y 2020. Compara tus resultados con los citados en la gráfica y realiza tus comentarios.
Identificación de variables Construcción de la función lineal Modelamiento lineal Interpretación del modelo La función lineal obtenida es: f(x)=_______ que modela _________, donde x: _____ y:_______. Además, esta función tiene como pendiente _________, lo que explica _____________ y tiene como Intercepto en el eje “y” al punto (;), lo que representa___________ Panel de discusión: Alternativas/ propuestas de solución SITUACIÓN CONTEXTUAL Nº 02 EL RESURGIMIENTO DEL CRÉDITO HIPOTECARIO Fuente: Andina, Junio de 2021
Identificación de variables Construcción de la función lineal Modelamiento lineal Interpretación del modelo La función lineal obtenida es: f(x)=_______ que modela _________, donde x: _____ y:_______. Además, esta función tiene como pendiente _________, lo que explica _____________ y tiene como Intercepto en el eje “y” al punto (;), lo que representa___________ Panel de discusión: Alternativas/ propuestas de solución
CASO DIDÁCTICO 3
ESTADÍSTICAS DE PANDEMIAS EN REGIONES DEL PERÚ
Anexo: Estadísticas de la pandemia de COVID-19 en Perú del MINSA. https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Estad %C3%ADsticas_de_la_pandemia_de_COVID-19_en_Per%C3%BA La evolución del comportamiento de la pandemia COVID-19, es monitoreada permanentemente por varias instituciones, entre ellas, el Ministerio de Salud. El siguiente reporte se refiere a casos de actualizados al 1° de enero del año 2022, en nuestro país. Casos de COVID-19 con datos del Ministerio de Salud al 1 de enero de 2022^1 Con esta información realiza lo siguiente: A. Argumentar la pertinencia de utilizar el modelo de regresión lineal B. Grafique y explicite el modelo de regresión lineal obtenido. C. Estimar el número de muertos, para una región que reporte 600 000 casos positivos
PENSAMIENTO EN ACCIÓN
SITUACIÓN CONTEXTUAL 1
En base a esta información, responde a las siguientes preguntas: A. Identifica las variables que intervienen en el fenómeno citado, asignales una notación y define cómo se relacionan entre sí. Justifica tus respuestas. B. Determina la expresión matemática que refleja la relación funcional entre las variables citadas, para informar el gasto anual de turistas extranjeros en el Perú. C. Haciendo uso de la expresión matemática funcional determinada, pronostica el gasto de los turistas extranjeros para el año 2023. D. Cita algunas razones por las que en los últimos años se viene incrementando el gasto de los turistas extranjeros en el Perú. SITUACIÓN CONTEXTUAL 2
Asumiendo que este fenómeno tiende a un comportamiento lineal, responde a las siguientes preguntas: A. Identifica las variables que intervienen en el fenómeno citado, asignales una notación y define cómo se relacionan entre sí. Justifica tus respuestas. B. Determina la expresión matemática que refleja la relación funcional entre las variables citadas. C. Haciendo uso del modelo lineal, pronostica el valor esperado para el año 2023.. D. Cita algunas razones por que el modelo no serìa muy pertinente para estimaciones de los años 2006 y 2026. SITUACIÓN CONTEXTUAL Nº 03
A sumiendo que la evolución de las importaciones tiende a un crecimiento lineal resuelve los siguientes ítems: A. Identifica las variables que intervienen en el fenómeno citado, asígnales una notación y define cómo se relacionan entre sí. Justifica tus respuestas. B. Determina la expresión matemática que refleja la relación funcional entre las variables citadas.. C. Haciendo uso de la expresión matemática funcional determinada en el ítem anterior, pronostica la proyección de importaciones para el año
D. Comenta sobre el notable decrecimiento de los últimos años. SITUACIÓN CONTEXTUAL Nº 05
Considerando que en los últimos 4 años, la evolución ha disminuido a razón de 2%, responde las siguientes interrogantes: A. ¿Qué variables se emplean en la información gráfica presentada? Menciona cada una asignándoles una notación y tipo de variable. B. Considerando que la evolución de los préstamos que vienen realizando los socios de la Cooperativa León XIII, muestra un comportamiento aproximadamente lineal en los últimos años, establece el modelo matemático que exprese dicho comportamiento. C. Estima el monto de otorgamiento de préstamo para el año 2020, teniendo en cuenta el modelo matemático encontrado anteriormente; luego interpreta el resultado obtenido. D. ¿Consideras necesario ser socio de una cooperativa de ahorro o generar el hábito del ahorro en alguna institución bancaria? Comenta.
A. Elabora 3 posibles modelos que expliquen la relación entre las variables de casos positivos y mortalidad. B. Argumentar la pertinencia de utilizar el modelo de regresión lineal C.Grafique y explicite el modelo de regresión lineal obtenido. D.Estimar el número de muertos, para una región que reporte 900 000 casos positivos. E. Estimar el número de muertos, para una región que reporte 10 050 000 casos positivos. F. Analizar y discutir los resultados obtenidos los acápites D y E. REFERENCIAS Libros Digitales Bibliotechnia Funciones. (2007). In Aritmética: Manual de preparación pre-universitaria (pp. 49-55). Lexus Editores S.A. https://link.gale.com/apps/doc/CX3087900008/GVRL?u=univcvamp;sid=bookmark- GVRLamp;xid=52c39a8d Bibliotechnia Gutiérrez Y amp; Del Valle M. (2019). Aritmética Superior. Ediciones UAPA. https://www.bibliotechnia.com.mx/Busqueda/resumen/34301_ Bibliotechnia Gutiérrez Y. Núñez L. Morales E. amp; Vargas E. (2018). Matemática Superior. Ediciones UAPA. https://www.bibliotechnia.com.mx/portal/visor/web/visor.php Bibliotechnia Robledo J. (2014). Matemática fundamental para matemáticos. Programa Editorial Universidad del Valle. https://www.digitaliapublishing.com/visor/
