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Asignatura: Mates 1, Profesor: , Carrera: Administració i Direcció d'Empreses, Universidad: UB
Tipo: Apuntes
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de ADE y ECONOMÍA
Desde 1975 Formant Universitaris Trias i Giró, 15-19, Bajos, Bcn. Tel. 932 033 459
TEMARIO MATEMÁTICAS I
Desde 1975 Formant Universitaris Trias i Giró, 15-19, Bajos, Bcn. Tel. 932 033 459
Un conjunto (^) S a , a , 1 2 , an
de vectores de^ Rn^ se dice que es combinación
lineal o hay combinación lineal (CL) si, y sólo si, existen , no
todos nulos , tales que 1 a 1 2 a 2 ^ n a^ n^0
Ejemplos:
Veamos si el vector es combinación lineal de los vectores
a 1 (^) 0, 3, 2
y (^) a 2 (^) 1, 4,1
. Para que así sea deben existir , de forma que a a 1 a 2
, es decir:
2, 17, 4 0, 3, 2 1, 4,1 ,^ operando^ llegamos^ al^ sistema 2 3 4 17 2 4
que una vez resuelto nos da 3 y 2 , no nulos, por tanto a 3 a 1 2 a 2
y a
es combinación lineal de los vectores (^) a 1 0, 3, 2
y (^) a 2 1, 4,1
Un conjunto S (^) a , a , 1 2 , an
de vectores de Rn^ es linealmente dependiente si,
y sólo si, existen , no todos nulos , tales que
1 a 1 2 a 2 n a (^) n 0
Un conjunto de vectores son linealmente dependientes (LD) sí y solo sí alguno de
ellos se puede expresar como combinación lineal (CL) de los otros, en caso
contrario son linealmente independientes (LI).
Consecuencias de la definición de linealmente independiente:
u 0 0
con u 0
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vector nulo es un conjunto LD
Podemos escribir una CL de ellos con el coeficiente del vector nulo distinto a
0 cuya suma es el vector nulo
Si existe una CL de los primeros cuya suma es nula al añadir otro vector
podemos mantener estos coeficientes para los vectores y dar el coeficiente 0
al nuevo vector
Si no fuera cierto por la propiedad anterior al añadir los vectores tendríamos
que sería un conjunto LD
que al menos uno de ellos se pueda escribir como CL de los demás.
Un conjunto S (^) a , a , 1 2 , an
de vectores de un espacio vectorial Rn^ es un sistema
generador de este espacio si cualquier vector de Rn^ se puede expresar como combinación lineal de los vectores de S.
Ejemplos:
Para comprobar si a 1 2,1
, a 2 (^) 1, (^1)
y a 3 1, 0
son un sistema generador de R^2 , consideramos (^) x, y (^) un vector cualquiera de R 2 y tratamos de averiguar si x, y^ puede expresarse como combinación lineal de^ a , a 1 2 y a 3
, para ello deben existir tales que:
x, y^ 1 2,1^ 2 1,^ ^1 ^ 3 1, 0
Después de efectuar las operaciones obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2
2 x x, y 2 , y
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Sea Rn^ un espacio vectorial real y Wn un subconjunto de vectores de Rn. Entonces,
W^ n (^) es un subespacio vectorial de Rn^ si, y solo si, se verifica que:
Para cualesquiera u, v W n^ u v Wn
Para cualesquiera u W n^ y u Wn
Observaciones:
subespacio vectorial es que se verifique
u vWn^ , u,vWn ,
. Esta condición sustituye a las dos
condiciones de la definición y es la que se utiliza normalmente.
impropios y son y Rn^. Todos los subespacios no triviales se llaman
subespacios propios.
El estudio de los vectores, sus magnitudes y propiedades son de gran utilidad
como estudios básicos en diversas ciencias que dan paso a estudios más avanzados
y producen bienes al servicio del hombre basados en ciencia y tecnología, como es
el caso, por citar uno, de los móviles, afortunadamente no todos debemos
dedicarnos al estudio avanzado del álgebra lineal para disfrutar de sus beneficios.
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PREGUNTES TIPIQUES D´EXAMEN PER TEMES
1. Sigui B una base de R^3.
(a) B està formada per 3 vectors com a màxim. (b) B està formada per 3 vectors com a mínim. (c) B està formada per 3 vectors exactament. (d) El nombre de vectors d'una base de R^3 no és fixe.
2. Considereu el sistema de vectors format per v1 = (1, 1, 0, 3) , v2 = (2,−1, 3, 1) i v3 = (0, 2,−1, 4). Podem afirmar:
(a) només conté 2 vectors linealment independents, (b) és un sistema de vectors linealment independent, (c) només hi ha un vector linealment independent, (d) amb vectors de 4 components no poden existir 3 vectors linealment independents.
3. El vector v = (−1,−8,−4) es pot expressar com a combinació lineal dels vectors: v1 = (3, 0, 2) , v2 = (1, 2, 3) , v3 = (7, 2, 4) , i llavors podem assegurar:
(a) no és possible, ja que no és un sistema de vectors linealment independents, (b) és un sistema de vectors linealment independent, però no podem expressar- lo, (c) podem escriure v = 5v1 − 2v2 − 2v3, (d) cap dels anteriors.
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9. El vector (k, −k, 3) és combinació lineal del conjunt de vectors {(3, 2, 0) , (1, 4, 6)}:
(a) només per a k = 1. (b) per a qualsevol valor de k. (c) només per a k = −1. (d) per a k = 1 i per a k = −1.
10. Una base del subespai de R^3 definit per S = {(x, y, z) | x − 2y − z = 0} és:
(a) (1,−2,−1). (b) (2, 1, 0) , (1, 0, 1). (c) (−1,−2,−1). (d) (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1).
11. Normalitzar un vector v és:
(a) Trobar un vector que tingui la mateixa direcció que v però que el seu mòdul sigui 1. (b) Trobar un vector que la seva direcciò sigui 1. (c) Afegir una unitat a v. (d) Trobar un vector que multiplicat escalarment per v doni 1.
12. Determinar quin dels següents valors de c fa que el vector v =(2/3,−1/3, c) sigui unitari.
(a) c = 2/ (b) c = 1/ (c) c = 0 (d) c = 1
13. Calcula l’angle que formen els vectors de R^3 (1, 2,−1) i (3, 1, 5). (a) = 0 (b) =/ (c) = / (d) = /
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14. L'angle format pels vectors ~u = (0; 1; 2) i ~v = (2;-2; 1) és igual a:
(a) 0 graus. (b) 45 graus. (c) 90 graus. (d) cap de les anteriors.
1. El domini de la funció f (x, y) =1/(y-x 2 ) és:
(a) afitat (acotado), (b) tancat, (c) obert, (d) cap dels anteriors.
2. Considereu la funció f(x, y) = x2 + (y − 1) 2. Si dibuixem les corbes de nivell, podem dir:
(a) les corbes de nivell de f son rectes paral·leles, (b) les corbes de nivell de f son circumferències, (c) les corbes de nivell de f son paràboles, (d) la corba de nivell k = 0 passa pel punt (1, 2).
3. Donada la funció f(x, y) = x 2 + 2 + y, aleshores les seves corbes de nivell son:
(a) paràboles (b) circumferències, (c) rectes (d) cap de les anteriors
4. Sigui f(x, y) = x + y
(a) Les corbes de nivell de f son paràboles. (b) f només té corbes de nivells positius. (c) La corba de nivell 0 passa pel punt (0, 0) (d) Pel punt (1, 1) NO passa cap corba de nivell.
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10. Sigui f(x, y) = 2x2 + y3 El vector que indica la direcció en la que la derivada direccional de f en el punt (1, 1) és màxima és:
(a) (1, 0) (b) (1, 1) (c) (4, 3) (d) (2,−1)
11. El gradient de la funció f(x; y) = ln( x/y ) _es:
(a) (1/x;-1/y) (b) (x;-y) (c) (ln(1/x);-ln(1/y)) (d) (1/y;-x/y 2 )
12. El gradient de la funci´o f(x, y, z) = x^2 cos z + y2z^ + xy^3 en el punt (1,−1, 0) és:
(a) (1, 3, 1) (b) (−1, 0, 3) (c) (1,−1, 2) (d) cap de les anteriors.
13. El gradient de la funció f(x, y, z) = xy · ex^ en el punt (0, 1, 1) és:
(a) 1 (b) (1, 0) (c) (1, 0, 0) (d) cap de les anteriors.
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t 1
f
Dada la función z u^3 v^2 , en la que u e x x y v x y ,
hallar
z x
(a) 0
z x
(b) 26 z x
(c) 7 z x
(d) 22
z x
15. Dada la función z u · v · w , en la que y
x u
, v exy , w y^2 1 , el valor de dx
dz
para x 0 , y 1 es:
a) 0 b) 4 c) 2 d) Ninguna de las anteriores es cierta
16. L’equació
(^2) ·
(a) 4 (b) ¼ (c) -1/ (d) -
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21. En la funció anterior, la derivada parcial ∂f /∂x és una funció: (a) Homogènia de grau 2. (b) Homogènia de grau 1. (c) Homogènia de grau 0. (d) No homogènia.
22. Esbrineu quina de les següents funcions és homogènia:
essent r s. Esbrineu quina de les següents afirmacions és verdadera.
24. Donada la funció:
1 2 1 2 3 3
x x f x x x x
de la funció 3
f x
podem dir que és: a) Homogènia de grau 1. b) Homogènia de grau 0. c) Homogènia de grau –1. d) Homogènia de grau –2.
, ln ln
2 2
4 4
2
d f x y x y
x y x y
x y c f x y
x y
x y b f x y
a f x y x y
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25. La matriu hessiana de la funció f (x, y) = x y , avaluada en qualsevol
punt (x, y) , amb x > 0, y > 0 :
(a) no és simétrica, (b) té el determinant negatiu, (c) no té inversa, (d) cap de les anteriors respostes és correcta.
26. Calcula la matriu hessiana de f(x, y) = e x ^2 y en el punt (0, 0).
27. Calcula la matriu hessiana de f(x, y, z) = x^2 y + y 2 x − z 2 en el punt (1, 1, 1).
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32. Sigui f(x, y) = 2xy + x^2 + xy 2 + y^3 :
(a) (−1, 1) compleix la condició necessària d’òptim local. (b) (1, 1) és un mínim local d’f perquè la matriu hessiana d’f en aquest punt és semidefinida positiva. (c) (0, 0) és un punt de sella d’f. (d) (1, −1) és un punt de sella d’f.
Sigui f ( , x y ) x^3^ y^3 3· x^2 3· y^2 una funció definida a R^2
Determineu la naturalesa dels punts crítics de la pregunta anterior.
a) Tots els punts crítics són punts de sella. b) f té exactament dos punts de sella, un màxim i un mínim. c) f té exactament un punt de sella i dos màxims. d) f té exactament un punt de sella, un màxim i un mínim.
33. Dada la función f(x,y)= 3x+4y definida en D= { (x,y); 1 x 2, 1 y 2}, entonces:
a) Hay un máximo global y un mínimo local. b) Solo hay un máximo global pero no un mínimo global. c) Sólo hay un mínimo global pero no hay otros óptimos locales. d) Cap de les anteriors.
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34. Considerem la funció f : R^2 R definida per f ( x , y ) ( 3 x 2 )^2 ( y 1 )^2 5 aleshores:
a) Qualsevol punt és un mínim local degut a que la hessiana en qualsevol punt és
b) ( 32 , 1 )és un mínim local però no global. c) ( 32 , 1 )és un mínim global. d) Cap de les anteriors.
36. Sigui f(x,y)= (x-2) 2 +y 2 a) Les corbes de nivell de f són paràboles b) f és còncava c) f és estrictament convexa d) Cap de les anteriors
37. Donada la funció f (x, y) = x2 + ky2 + 2xy, indiqueu quins són els valors del paràmetre k fan que la funció sigui convexa:
a) k ≥ 0. b) k ≥ 1. c) La funció és convexa per a qualsevol valor de k. d) No existeix cap valor de k que faci que la funció sigui convexa.
35. Dada la función z x^3^ y^3^ 3· x 3· y 4 definida en el dominio x>0 , y> a) Se trata de una función estrictamente cóncava. b) Se trata de una función estrictamente convexa. c) No es una función cóncava ni convexa. d) No hay información suficiente para saber si es cóncava o convexa.
