mates 1 tema 1, Apuntes de Matemática Empresarial

¡Descarga mates 1 tema 1 y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!

Tema 1: L’espai vectorial Rn

Matem`atica 1

´Index

1 Concepte

(^2) Combinaci´o lineal de vectors

(^3) Dependencia i independencia lineal de vectors

4 Sistema de generadors

(^5) Base de l’espai vectorial

(^6) Subespai vectorial

Definici´o d’Rn

Definici´o: Rn

Rn^ ´es el conjunt d’elements formats per una seq¨u`encia ordenada de n nombres reals:

Rn^ = {(x 1 , x 2 ,... , xn) | x 1 , x 2 ,... , xn ∈ R}

Per exemple, R^2 = {(x 1 , x 2 ) | x 1 , x 2 ∈ R} R^3 = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | x 1 , x 2 , x 3 ∈ R}

Operacions a Rn: Suma

Suma: (x 1 , x 2 ,... , xn) + (y 1 , y 2 ,... , yn) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,... , xn + yn) La suma ´es una operaci´o interna, ja que opera amb dos elements de Rn^ i els fa correspondre un element que tamb´e pertany a Rn. Propietats de la suma: Per tot ~u, ~v , ~w ∈ Rn^ es compleix: (^1) Propietat associativa ~u + (~v + w~ ) = (~u + ~v ) + w~ (^2) Propietat commutativa: ~u + ~v = ~v + ~u (^3) Element neutre: L’element ~0 = (0, 0 ,... , 0) ´es l’element neutre de la suma, ´es a dir, compleix: ~u + ~0 = ~u (^4) Element simetric: Tot element ~u = (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ Rn^ t´e un element simetric, −~u = (−x 1 , −x 2 ,... , −xn), que compleix: ~u + (−~u) = ~ 0

Definici´o d’espai vectorial

Definici´o: Espai vectorial

Un espai vectorial sobre R ´es un conjunt on es poden definir una operaci´o interna que compleixi les propietats commutativa, associativa, existencia d’element neutre i d’element simetric, i una operaci´o externa que compleixi les propietats ’associativa’, ’distributiva’ i exist`encia d”element unitat’.

Rn, amb les operacions suma i producte per escalar, ´es un espai vectorial sobre R, ja que verifica totes les condicions de la definici´o.

Definici´o: Vector, escalar

Els elements d’un espai vectorial reben el nom de vectors. Els elements d’R els anomenarem escalars.

´Index

1 Concepte

(^2) Combinaci´o lineal de vectors

(^3) Dependencia i independencia lineal de vectors

4 Sistema de generadors

(^5) Base de l’espai vectorial

(^6) Subespai vectorial

M`etode per estudiar si un vector ´es combinaci´o lineal d’un conjunt de

vectors

Per a veure si un vector ~v ∈ Rn^ ´es combinaci´o lineal dels vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk ∈ Rn^ :

(^1) Construir una matriu A posant en columnes els vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk (^2) Construir la matriu (A|b) afegint a la matriu A una columna addicional donada pel vector ~v (^3) Calcular el rang de les dues matrius: I (^) Si rang(A) = rang (A|b) ⇒ Sistema compatible ⇒ ~v ´es combinaci´o lineal dels vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk I (^) Si rang(A) 6 = rang (A|b) ⇒ Sistema incompatible ⇒ ~v NO ´es combinaci´o lineal dels vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk

´Index

1 Concepte

(^2) Combinaci´o lineal de vectors

(^3) Dependencia i independencia lineal de vectors

4 Sistema de generadors

(^5) Base de l’espai vectorial

(^6) Subespai vectorial

Condici´o alternativa de depend`encia lineal [Criteri 2]

Teorema: Condici´o alternativa de dependencia/independencia lineal

Un conjunt de vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk ´es linealment dependent si, i nom´es si, existeixen k escalars no tots nuls λ 1 , λ 2 ,... , λk tals que λ 1 ~u 1 + λ 2 ~u 2 +... + λk~uk = ~ 0

Demostraci´o:

⇒) Suposem que ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk s´on linealment dependents. Aleshores almenys un dels vectors - posem per cas ~u 1 - ´es combinaci´o lineal de la resta de vectors: ~u 1 = λ 2 ~u 2 +... + λk ~uk ⇒ −~u 1 + λ 2 ~u 2 +... + λk ~uk = ~ 0

Acabem de trobar una combinaci´o lineal dels vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk que d´ona ~0 i on no tots els coeficients s´on nuls (per exemple, el coeficient d’~u 1 ´es -1.)

⇐) Suposem que existeixen k escalars λ 1 , λ 2 ,... , λk no tots nuls tals que

λ 1 ~u 1 + λ 2 ~u 2 +... + λk ~uk = ~ 0

Suposem que λ 1 6 = 0. Aleshores ´es possible aillar ~u 1 :

λ 1 ~u 1 = −λ 2 ~u 2 −... − λk ~uk ⇒ ~u 1 = − λ λ^2 1

~u 2 −... − λ λk 1

~uk

Veiem que aleshores ~u 1 es pot expressar com a combinaci´o lineal de la resta de vectors del conjunt, i per tant compleixen la definici´o de vectors linealment dependents.

M`etode addicional [Criteri 3]

M`etode per estudiar si un conjunt de vectors ´es linealment dependent

o independent

Per a veure si un conjunt de vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk ∈ Rn^ ´es linealment dependent o independent podem seguir els seg¨uents passos: (^1) Construir una matriu A posant en columnes els vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk (^2) Calcular el rang de la matriu: I (^) Si rang(A) = no^ vectors ⇒ ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk s´on linealment independents I (^) Si rang(A) < no^ vectors ⇒ ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk s´on linealment dependents

´Index

1 Concepte

(^2) Combinaci´o lineal de vectors

(^3) Dependencia i independencia lineal de vectors

4 Sistema de generadors

(^5) Base de l’espai vectorial

(^6) Subespai vectorial

M`etode addicional [Criteri 2]

M`etode per estudiar si un conjunt de vectors ´es un sistema de

generadors

Per a veure si un conjunt de vectors {~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk } ´es un sistema de generadors d’Rn^ podem seguir els seg¨uents passos: (^1) Comprovar que els vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk pertanyin a Rn (^2) Construir una matriu A posant en columnes els vectors ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk (^3) Calcular el rang de la matriu: I (^) Si rang(A) = dim(Rn) ⇒ ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk s´on un sistema de generadors d’Rn I (^) Si rang(A) < dim(Rn) ⇒ ~u 1 , ~u 2 ,... , ~uk NO s´on un sistema de generadors d’Rn

Propietat: dim(Rn) = n.

´Index

1 Concepte

(^2) Combinaci´o lineal de vectors

(^3) Dependencia i independencia lineal de vectors

4 Sistema de generadors

(^5) Base de l’espai vectorial

(^6) Subespai vectorial