MATES
TEMA 1. ESPAI VECTORIAL
El Conjunt de R elevat a n són aquelles agrupacions de n components, on n és la seva dimensió
(nombre de components) i la k és el nombre de vectors del conjunt.
La seva suma, que és una operació interna compleix les propietats:
• Commutativa
• Associativa
• Element neutre
• Element simètric
El producte d’un nombre escalar per un element de R elevat a n, que és una operació externa,
compleix les propietats:
• Associativa
• Distributiva 1
• Distributiva 2
• Existència d’element d’unicitat
Espai vectorial: és el conjunt d’elements que compleix l’operació interna i externa.
Un conjunt de vectors és linealment independent si no hi ha relació entre els vectors, és a dir si
no hi ha cap vector que el podem posar com a combinació lineal dels altres. És a dir si tots els
components són 0, i per tant els escalars són 0. Pel mètode del rang: si el rang de la matriu
associada és igual a k són linealment independents.
Un conjunt de vectors és linealment dependent quan un vector sí que el podem posar com a
combinació lineal dels altres. És a dir quan els nombres escalars són diferents de 0.
Un conjunt de vectors és sistema de generadors si un vector el podem posar com a combinació
lineal dels altres (x,y,z) = landa 1 (1,3,4) + landa 2 (9,2,1), i després comprovem si les
restriccions compleixen la combinació del conjunt de vectors, i s’ha de provar amb uns vectors
inventats. També ho podem saber a través del rang- si el rang de la matriu associada és igual a n
és un sistema de generadors, si no, no.
Donat un conjunt de vectors direm que formen una base de l’espai vectorial si el conjunt és un
sistema de generadors i si és un conjunt de vectors linealment independent.
Propietats que han de complir les bases:
• Linealment dependent quan la k és més gran que la dimensió i independent quan k és
més petita o igual a n.
