MATES 1. Optimització, Apuntes de Matemática Empresarial

¡Descarga MATES 1. Optimització y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

Tema 3: Funcions reals d’n variables

Matem`atica 1

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

´Index

1 Concepte, domini i corbes de nivell 2 L´ımits i continu¨ıtat 3 Derivades parcials i direccionals. Marginalitat i elasticitat 4 Vector gradient. Hiperpla tangent i funci´o diferenciable 5 Derivaci´o de funcions compostes 6 Derivaci´o de funcions impl´ıcites 7 Funcions homogenies. Teorema d’Euler 8 Derivaci´o successiva. Matriu Hessiana 9 Ap`endix: Taula de derivades

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

Funci´o real d’n variables

Definici´o: Funci´o escalar Una funci´o real d’n variables o funci´o escalar ´es una aplicaci´o de la forma f : A ⊂ Rn^ −→ R ~x 7 −→ z = f (~x)

Definici´o: Domini i imatge El conjunt A ⊂ Rn^ on est`a definida la funci´o s’anomena domini de la funci´o, ´es a dir,

Dom(f ) = { ~x ∈ Rn^ | existeix z ∈ R tal que z = f (~x)}

La imatge d’una funci´o f ´es el conjunt de nombres reals que tenen correspond`encia amb algun element del domini.

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

C`alcul del domini

Funci´o polinomica Si f ´es una funci´o polinomica −→ Dom(f ) = Rn

Exemple. f (x, y , z) = x^3 − 4 y + 5z^6 −→ Dom(f ) = R^3

Observaci´o. Si la funci´o escalar no t´e m´es de 2 variables podem representar graficament la funci´o i el seu domini (per aixo als exemples seg¨uents ens retringirem a funcions de 2 variables)

Exemple. f (x, y ) = x^2 + y 2 −→ Dom(f ) = R^2

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

Funci´o racional (Quocient) Si f ´es una funci´o de la forma f (~x) = (^) g (^1 ~x) , els punts on g (~x) = 0 no pertanyen al domini (no es pot calcular un quocient si el denominador ´es zero):

f (~x) =

g (~x)

−→ Dom(f ) = {~x ∈ Rn^ | g (~x) 6 = 0}

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

Exemple. f (x, y ) = (^) x (^2) −^1 y 2

Dom(f ) = {(x, y ) ∈ R^2 | x^2 −y 2 6 = 0} = {(x, y ) ∈ R^2 | x 6 = ±y }

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

Funci´o irracional (Arrels) Si f ´es una funci´o de la forma f (~x) = n

g (~x), cal distingir dos casos: Si n ´es imparell −→ Dom(f ) = Rn Si n ´es parell −→ Dom(f ) = {~x ∈ Rn^ | g (~x) ≥ 0 } (No es pot calcular l’arrel d’´ındex parell de n´umeros negatius)

Exemple. f (x, y , z) = 3

x − y + z −→ Dom(f ) = R^3

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

Exemple. f (x, y ) =

x − y

Dom(f ) = {(x, y ) ∈ R^2 | x − y ≥ 0 } = {(x, y ) ∈ R^2 | x ≥ y }

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

Funci´o logar´ıtmica Si f ´es una funci´o de la forma f (~x) = loga(g (~x)), nom´es est`a definida en els punts on g (~x) > 0 (no es pot calcular el logaritme de 0 ni de cap nombre negatiu):

f (~x) = loga(g (~x)) −→ Dom(f ) = {~x ∈ Rn^ | g (~x) > 0 }

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

Exemple. f (x, y ) = ln(4 − x^2 − y 2 ) Dom(f ) = {(x, y ) ∈ R^2 | 4 − x^2 − y 2 > 0 } = = {(x, y ) ∈ R^2 | x^2 + y 2 < 4 }

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

Observaci´o. Si una funci´o f cont´e diverses de les funcions esmentades (quocients, arrels, logaritmes), cal determinar el domini de cada una d’elles per separat i calcular-ne la intersecci´o, que constituir`a el domini d’f.

Exemple. f (x, y ) = 3

√ 2 x−y y 2 +x Dom(f ) = {(x, y ) ∈ R^2 | y ≤ 2 x, y 2 + x 6 = 0}

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

Corbes de nivell

Definici´o: Corba de nivell La corba de nivell k d’una funci´o escalar f : A ⊂ Rn^ −→ R ´es el conjunt de punts la imatge dels quals val k : Ck = {~x ∈ A | f (~x) = k}

Observacions: Dues corbes de nivell diferent mai es tallen, perque no pot ser que la imatge d’un punt prengui dos valors diferents al mateix temps Les corbes de nivell nom´es es poden representar graficament si la funci´o ´es d’una variable o de dues En el cas de funcions de 2 variables, f (x, y ), les corbes de nivell k s’obtenen tallant la funci´o amb plans horitzontals d’equaci´o z = k

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

Composici´o de funcions de diverses variables

Definici´o: Funci´o composta Donades dues funcions f : A ⊂ Rn^ −→ Rm^ i g : B ⊂ Rm^ −→ Rk^ tals que f (A) ⊂ B, definim la funci´o composta de f amb g de la forma

(g ◦ f )(~x) = g (f (~x)).

Observaci´o. La composici´o g ◦ f consisteix en aplicar les dues funcions consecutivament: primer apliquem f , i al resultat obtingut li apliquem g :

A ⊂ Rn^ −→f B ⊂ Rm^ −→g Rk ~x 7 −→ f (~x) 7 −→ g (f (~x)) = (g ◦ f )(~x)

Matem`atica 1 Tema 3

Concepte L´ımits i cont. Derivades Diferenciabilitat F. compostes F. impl´ıcites F. homogenies Derivaci´o successiva Apendix

´Index

1 Concepte, domini i corbes de nivell 2 L´ımits i continu¨ıtat 3 Derivades parcials i direccionals. Marginalitat i elasticitat 4 Vector gradient. Hiperpla tangent i funci´o diferenciable 5 Derivaci´o de funcions compostes 6 Derivaci´o de funcions impl´ıcites 7 Funcions homogenies. Teorema d’Euler 8 Derivaci´o successiva. Matriu Hessiana 9 Ap`endix: Taula de derivades