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Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Bloque temático 2. Análisis dinámico
1. Integración
2. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
1. Concepto y clasificación
2. Ecuaciones diferenciales de variables
separables
3. Ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden
4. Aplicaciones económicas
en que es la variable independiente, es una
función que depende de ella, y aparecen las sucesivas derivadas de
esta función
Se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) a cualquier
ecuación funcional del tipo:
1.1 EDO: Definición, orden y grado
1. Concepto y clasificación
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( )
( , , , ,..., ) = 0
′ ′′
n
Fx y y y y
x ∈ ℜ ( )
y = y x
Orden: Mayor orden de derivación de la función que
aparece en la ecuación diferencial
Grado: Mayor potencia de la derivada de mayor orden de la función
que aparece en la ecuación diferencial
( )
y = y x
( )
y = y x
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1.1 EDO: Definición, orden y grado
Ejemplo: La ecuación
( )
x 2 y y 3 y cos x
donde x ∈ ℜ, ( )
y = y x e es una ecuación diferencial ordinaria de
orden 2 y de grado 1
En cambio, la ecuación diferencial
( ) ( )
5 9
x
y x y xy e
es de orden 3 y de grado 5
1. Concepto y clasificación
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Solución particular: Solución que se obtiene al asignar valores
concretos a las citadas constantes
Solución singular: Solución que no se puede obtener a partir de la
solución general
Solución: Función tal que, al sustituirla junto con sus
derivadas, hace que se cumpla la ecuación
Solución general: Solución que depende de tantas constantes de
integración como indica el orden de la ecuación
( )
y = y x
1.2 Solución de una ecuación diferencial ordinaria
Dada la ecuación diferencial ordinaria
( )
( , , ′, ′′,..., ) = 0
n
Fx y y y y
se denomina:
1. Concepto y clasificación
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1.2 Solución de una ecuación diferencial ordinaria
Gráficamente:
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
10
20
30
40
50
60
x
y
Solución particular
2
y = x
Solución general
( )
2
y = x + K
Solución singular
y = 0
1. Concepto y clasificación
1.3 EDO de primer orden
Resolveremos únicamente los siguientes tipos:
- Ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separadas
- Ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables
- Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden
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Son ecuaciones de la forma:
( , , ) = 0
F x y y o f ( x y )
dx
dy
y ′= = ,
1. Concepto y clasificación
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2.1 EDO de variables separadas
Son ecuaciones diferenciales del tipo:
( ) ( )
g y ⋅ dy = f x ⋅ dx
Se resuelven integrando las dos partes de la igualdad, obteniendo
así la solución general de la ecuación diferencial ordinaria:
( ) ( )
g y ⋅ dy = f x ⋅ dx + K
∫ ∫
2. Ecuaciones diferenciales de variables separables
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2.1 EDO de variables separadas
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria
2
y ⋅ dy = cos x dx ⋅
Por tratarse de una e.d.o con variables separadas, integrando los
dos términos de la igualdad se obtendrá la solución general :
3
2
cos sin
y
y ⋅ dy = x dx ⋅ ⇒ = x + K
∫ ∫
La solución particular que pasa por el punto cumplirá:
3
sin 0 9
= + K ⇒ K =
( )
x y , =(0,3)
Por tanto, será:
3
sin 9
y
= x +
2. Ecuaciones diferenciales de variables separables
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Para ecuaciones del tipo:
( ) ( )
dy
y f x g y
dx
Si esta expresión puede reescribirse como: ( )
∀ ∈ ℜ y , g y ≠ 0
( )
( )
dy
f x dx
g y
que es una ecuación diferencial ordinaria de variables separadas
La posible solución singular se obtiene de la ecuación:
( )
g y = 0
2. Ecuaciones diferenciales de variables separables
2.2 EDO de variables separables
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Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria
( )
2
y y 1
x
Integrando los dos términos de la igualdad se obtendrá la solución
general :
( )
2
ln
dy
dx x K
x y y
∫ ∫
Considerando que
dy
y
dx
′ =
se tiene:
( )
( )
2
2
dy dy
y dx
dx x x y
La solución singular se obtiene de la ecuación: ( )
2
y − 1 = 0 ⇒ y = 1
2. Ecuaciones diferenciales de variables separables
2.2 EDO de variables separables
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Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria
( )
2
2
y x 3 cos y
2. Ecuaciones diferenciales de variables separables
2.2 EDO de variables separables
Si , esta expresión puede reescribirse
como:
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Para las ecuaciones diferenciales de la forma:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
f x ⋅ g y ⋅ dy + f x ⋅ g y ⋅ dx = 0
( ) ( )
1 2
∀ x y , ∈ ℜ, f x ≠ 0, g y ≠ 0
que es una ecuación diferencial ordinaria de variables separadas
Las posible soluciones singulares se obtienen de las ecuaciones:
( )
( )
( )
( )
1 2
2 1
g y f x
dy dx
g y f x
⋅ = − ⋅
( ) ( )
1 2
f x = 0 , g y = 0
2. Ecuaciones diferenciales de variables separables
2.2 EDO de variables separables
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3.1 EDO lineales de primer orden
Son ecuaciones del tipo:
Para encontrar la solución general se usa el cambio de variable:
y f ( x ) y g ( x )
y = u ⋅ v
3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
donde son funciones continuas
f ( x ) y g ( x )
siendo ( ) ( )funciones derivables. Entonces:
u = u x y v = v x
y ′ = u ′ ⋅ v + u v ⋅ ′
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3.1 EDO lineales de primer orden
lo que permite descomponerla en dos ecuaciones diferenciales
ordinarias de variables separables :
( )
u f x u 0
′
- ⋅ = (Se denomina ecuación diferencial reducida
asociada a la ecuación diferencial lineal)
( )
u v g x
A partir del cambio de variable considerado la ecuación diferencial
ordinaria lineal de primer orden puede rescribirse como:
( ) ( )
y f x y g x
( ) ( )
u v u v f x u v g x
′ ′ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
( ( ) ) ( )
u f x u v u v g x
3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
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Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria
y ′ + tan x ⋅ y =cos x
Por tratarse de una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden,
para encontrar la solución general usamos el cambio de variable:
y = u ⋅ v
y u v u v
( )
u ′ ⋅ v + u v ⋅ ′ + tan x u v ⋅ ⋅ = cos x ⇒ u ′ + tan x u ⋅ ⋅ v + u v ⋅ ′=cos x
lo que permite descomponerla en dos ecuaciones diferenciales
ordinarias de variables separables :
u tan x u 0
′
u v cos x
3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
3.1 EDO lineales de primer orden
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tan tan
du du
x u x dx
dx u
= − ⋅ ⇒ = − ⋅
Integrando los dos términos de la igualdad se obtendrá:
( )
tan ln ln cos
du
x dx u x K
u
∫ ∫
de donde:
ln cos ( ) ln cos( )
1 1
cos
x K x K K
u e e e K x K e
= = ⋅ = ⋅ con =
u ′ + tan x u ⋅ = 0
3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
3.1 EDO lineales de primer orden
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- u 2 u 0
′
3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
3.1 EDO lineales de primer orden
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u v ⋅ ′= 1
3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
3.1 EDO lineales de primer orden
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lo que permite descomponerla en dos ecuaciones diferenciales
ordinarias de variables separables :
( )
u f x u 0
′
- ⋅ = (Se denomina ecuación diferencial reducida
asociada a la ecuación diferencial lineal)
( )
u v ⋅ ′= g x
También podemos obtener unas expresiones generales al resolver la
ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden a partir del cambio
citado:
( ) ( )
y ′ + f x ⋅ y = g x
( ) ( )
u v u v f x u v g x
′ ′ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
( ) ( )
( )
u f x u v u v g x
3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
3.2 Expresiones generales
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( ) ( )
du du
f x u f x dx
dx u
= − ⋅ ⇒ = − ⋅
Integrando los dos términos de la igualdad se obtendrá:
( ) ( )
ln
du
f x dx u f x dx K
u
∫ ∫ ∫
de donde:
( ) ( ) ( )
1 1
f x dx K f x dx f x dx
K K
u e e e K e K e
− ⋅ + − ⋅ − ⋅
= = ⋅ = ⋅ con =
( )
u f x u 0
′
Y, por tanto, en general:
3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
3.2 Expresiones generales
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En resumen : La solución general para la edo lineal de primer orden es:
y A y B
Ax
B
y Ce
A
−
Coeficientes constantes:
( ) ( )
y ′ + f x ⋅ y = g x
Solución general:
( )
( )
f x dx f ( x ) dx
y e g x e dx C
− ⋅ ⋅
∫
Solución general:
Coeficientes variables:
3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
3.2 Expresiones generales
4.1 Ajuste dinámico del precio de un artículo
Hipótesis del modelo:
- La oferta y la demanda de un artículo dependen únicamente de su
precio
- El precio del artículo varía en el tiempo de forma proporcional al
exceso de demanda (hipótesis walrasiana)
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( ) ( )
D t = a − b P t ⋅
4. Aplicaciones económicas
0
P 0 = P
Así pues, llamando al precio en el instante t , si se tienen:
Función de oferta:
Función de demanda:
( ) ( )
S t = − c + d ⋅ P t
P t
a b c d , , , ∈ ℜ
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4.1 Ajuste dinámico del precio de un artículo
( )
( ( ) ( ))
dP t
k D t S t
dt
= ⋅ −
Resulta que:
( )
( ( ) ( ))
dP t
k a b P t c d P t
dt
De donde: = ⋅ − ⋅ + − ⋅
( )
( ) ( ) ( )
dP t
k b d P t k a c
dt
Y, por tanto, aparece una edo lineal de primer orden, con coeficientes
constantes. Su solución general será:
( )
( )
( )
k ( b d ) t k ( b d ) t
k a c a c
P t C e C e
k b d b d
− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅
⋅ + +
= + ⋅ = + ⋅
⋅ + +
Finalmente, determinaremos la constante de integración C teniendo en
cuenta la condición inicial
con
k > 0
4. Aplicaciones económicas
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Ejemplo : Dadas las siguientes funciones de demanda y de oferta de
un artículo, determinar la trayectoria temporal del precio y determinar
cuál será el precio de equilibrio, si el precio inicial era de 5 €:
( )
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
17 2 3 8
dP t
k D t S t k P t P t
dt
= ⋅ − = ⋅ − + −
Resulta:
( )
( )
10 20
dP t
k P t k
dt
Su solución general es: ( )
10 10
20
2
10
k t k t
P t C e C e
− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= + ⋅ = + ⋅
Finalmente, determinaremos la constante de integración C teniendo en
cuenta la condición inicial:
( ) ( )
D t = 17 − 2 ⋅ P t ( ) ( )
S t = − 3 + 8 ⋅ P t
Como:
( )
0
P 0 = 5 = 2 + C e ⋅ = 2 + C ⇒ C = 3
4. Aplicaciones económicas
4.1 Ajuste dinámico del precio de un artículo
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dC = i C dt ⋅ ⋅ Resulta que:
Aparece una edo de variables separables, que podemos resolver:
Por tanto, la solución particular es:
dC
i dt
C
= ⋅
dC
i dt
C
⇒ = ⋅
∫ ∫
ln C = i t ⋅ + K
0
i t
C C e
⋅
= ⋅
Si la cuantía inicial es ( ) resultará:
0
C t = 0 = C
0
0 1 1
i
C K e K
⋅
= ⋅ =
Integrando los dos términos de la igualdad, se obtiene:
1
i t K i t K i t
C e e e K e
⋅ + ⋅ ⋅
⇒ = = ⋅ = ⋅
donde se denomina factor de capitalización continua o factor
financiero teórico
i t
e
⋅
4. Aplicaciones económicas
4.2 Modelo de capitalización continua
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Ejercicio : El capital acumulado en una cuenta bancaria en el momento
t (en años) varía en el tiempo según un tanto de interés instantáneo del
4% anual, según la ecuación diferencial
a) Determinar la solución general de la ecuación diferencial
b) Determinar la solución particular sabiendo que el saldo inicial
de la cuenta era de 15.000€
4. Aplicaciones económicas
4.2 Modelo de capitalización continua
( )
( )
0, 04
dC t
C t
dt
= ⋅
4.3 Ejercicios de EDO
a) Calcular la solución general, resolviéndola como edo lineal
b) Calcular la solución general resolviéndola como edo de variables
separables
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Ejercicio: Dada la edo
a) Edo lineal de primer orden:
Así pues, resolvemos primero la edo lineal homogénea asociada:
x ⋅ y ′= y + 2
x ⋅ y ′= y + 2 ⇒
4. Aplicaciones económicas
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4.3 Ejercicios de EDO
A continuación, resolvemos ya la edo:
2
u v
x
′ ⋅ =
Por tanto, finalmente, teniendo en cuenta que
y = u v ⋅
4. Aplicaciones económicas
