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Documento que contiene ejercicios resueltos de álgebra y logaritmos, incluye soluciones de equaciones simultáneas, calculo de logaritmos y taxas de crecimiento.
Tipo: Ejercicios
1 / 9
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Departament d’Economia i d’Historia Economica
(a) 3
1 −x
2
=
1
27
1 −x
2
= 3
− 3 ⇔ 1 − x
2 = − 3 ⇔ x = − 2 , 2
(b) 2
x− 1
x
x+ = 7 Anomenem 2
x = m, llavors
x− 1
x
m
x = 2 ⇔ x = 1
(c) 9
x
x+ Anomenem 3
x = m,
x
2
(d) 2
1 −x
2
=
1
8
1 −x
2
= 2
− 3 ⇔ 1 − x
2 = − 3 ⇔ x = − 2 , 2
(e) 3
x
1 −x = 4 Anomenem 3
x = m,
x
1 −x = 4 = m +
m
= 4 ⇒ m = 1, 3 ⇒ x = 0, 1
(f) 9
x − 3
x = 3(1 + 3
x− 1 ) Anomenem 3
x = m,
x − 3
x = m
2 − m = 3
m
⇒ m = 3 , m = − 1 ⇒ x = 1
(a)
Anomenem 2
x = m, 5
y = n
x
y = 9 = m + n
x+ − 5
y+ = 11 = 2m − 5 n
⇒ n = 1 = 5
y ⇒ y = 0,
⇒ m = 8 = 2
x ⇒ x = 3
(c)
Anomenem 2
x = m, 3
y = n
x
y = 7 = m + n
x+ − 3
y+ = 2m − 3 n = − 1
⇒ n = 3 = 3
y ⇒ y = 1,
⇒ m = 4 = 2
x ⇒ x = 2
(b)
Anomenem 3
x = m, 3
y = n
x
y = 36 = m + n
x+y = 243 = m · n
⇒ m = 27 = 3
x ⇒ x = 3, n = 9 = 3
y ⇒ y = 2
⇒ m = 9 = 3
x ⇒ x = 2, n = 27 = 3
y ⇒ y = 3
(d)
Anomenem 2
x = m, 5
y = n
x
y = m + n = 9
x+ − 5
y+ = 4m − 5 n = − 9
n = 5 = 5
y ⇒ y = 1
m = 4 = 2
x ⇒ x = 2
3 , expresseu, en funci´o de m:
F arem servir les propietats dels logaritmes
log a
(x · y) = log a
(x) + log a
(y)
log a
x
y
= log a
(x) − log a
(y)
log a
(x
y ) = y log a
(x)
(a) log 10
8100= log 10
4 · 100) = log 10
4 ) + log 10
(100) = 4 log 10
(3) + log 10
(100) = 4m + 2
(b) log 10
3000= log 10
1 2 ) =
1
2
log 10
1
2
log 10
1
2
log 10
m
(c) log 10
7
0 .27= log 10
3 7 · 10
− 2 7 ) = log 10
3 7 ) · log 10
− 2 7 )
3
7
log 10
− 2
7
log 10
3 m
(d) log 10
1
729
= log 10
− 6 ) = − 6 m
(e) log 10
0 .3= log 10
3
10
) = log 10
(3) + log 10
− 1 ) = m − 1
(f) log 10
⌢
3 = log 10
) = log 10
− 1 ) = −m
(a) 5 log 10 x − log 10 32 = log 10 (x/2)
Anomenem log 10
x = m, llavors hem de resoldre :
5 log 10 x − log 10
5 ) = log 10 (x) + log 10
− 1 )
quedar`a: 4 m = 4 log 10
2 ⇒ m = log 10
2 = log 10
x ⇒ x = 2
(b) 2 log 10
x − log 10
(x − 16) = 2
Hem de resoldre :
log 10
x
2 − log 10
(x − 16) = 2 = log 10
quedar`a:
x
2
x − 16
= 100 ⇒ x = 20, 80
(c) (x
2 − x − 3) log 10
4 = 3 log 10
1
4
Hem de resoldre :
(x
2 − x − 3) log 10
4 = 3 log 10
− 1
(x
2 − x − 3) log 10
4 = −3 log 10
4 ⇒ x = 0, 1
(a) log 2
x
2 − log 2
(x −
3
4
Hem de resoldre:
log 2
x
2 − log 2
(x −
3
4
) = 2 = log 2
quedar`a:
x
2
x −
3
4
= 4 ⇒ x = 1, 3
(b) log 2 (16 − x
2 ) = log 2 (5x − 4) + 1
Hem de resoldre:
log 2 (16 − x
2 ) = log 2 (5x − 4) + 1; 1 = log 2
quedar`a:
16 − x
2
5 x − 4
= 2 ⇒ x = 2, − 12
(a) 3 log x
5 = 1 + 2 log 5
x, U sarem la f ormula de canvi de base´ :
x = log a (N ) ⇒ x =
log 10
log 10
(a)
llavors quedar´a :
log 5
log 5
(x)
= 1 + 2 log 5 x
Anomenem log 5
x = m, llavors hem de resoldre :
1
m
= 1 + 2m
2 m
2
3
2
⇒ log 5 x = m = 1 ⇔ x = 5,
⇒ log 5
x = m = −
3
2
⇔ x =
√ 5
25
(b) log x 10 = 5 − 4 log 10 x, U sarem la f ´ormula de canvi de base :
x = log a
(N ) ⇒ x =
log 10
log 10
(a)
llavors quedar´a :
V ariacio anual mitjana´ :
17
= − 0 , 0235 tones
(d) Una llauna de Coca-Cola valia l’any 1986 0,20 e. Al 2007 era de
0,37.e
La taxa de creixement :
37 − 0. 20
20
V ariacio anual mitjana´ :
21
= 0, 00809 e
(e) El cost de produir un cotxe era de 4.500 e al 2007. Al 2017 era de
3.800 Euros.
La taxa de creixement :
3800 − 4500
4500
V ariacio anual mitjana´ :
3800 − 4500
10
= − 70 e
C = [0, +∞), D = (1, 7). Troba i representa els seg¨uents conjunts en la
recta real
a) A
c = (−∞, −2) ∪ (6, +∞) b)B
c = [3, +∞)
c) C
c = (−∞, 0) d) D
c = (−∞, 1] ∪ [7, +∞)
e) A ∪ B = (−∞, 6] f ) C ∪ B = R
g) C
c ∪ D = (−∞, 0) ∪ (1, 7) h)A ∪ B ∪ C = R
i) A ∩ B = [− 2 , 3) j) C ∩ B
c = B
c
k) A ∩ B ∩ C = [0, 3] l)D ∩ B ∩ C = (1, 3)
D = [0, 2), E = [1, +∞). Troba i representa els seg¨uents conjunts:
a)M ∪ E = (− 6 , ∞), M ∪ N = (−∞, 1), N ∪ D = (−∞, −5) ∪ [0, 2)
b)M ∩ E = ∅, M ∩ N = (− 6 , −5), D ∩ E = [1, 2) N ∩ E = ∅
c)M ∩ N ∩ D = (− 6 , −5) ∩ [0, 2) = ∅
d)[M ∪ D] ∩ N
c = [− 5 , 2)
e)[M
c ∪ D] ∩ D = [0, 2) = D
