Renda variable geomètricament. Obtenció del valor actual
Expressió general del valor actual de la renda model:
∑
=
−
+=
n
r
r
mr ICV
1
0)1.( (1)
Si la renda és variable geomètricament: nrqCC r
r,...,2,1,. 1
1== −
Per tant, podem modificar l’expressió (1) de la següent forma:
∑∑ =
−−
=
−− +=+=
n
r
r
m
r
n
r
r
m
rIqCIqCV
1
1
1
1
1
10 )1.(.)1.(. (2)
Obtenim dues solucions, per tant obtenim dues fórmules per a l’expressió del
valor actual:
1. Cas qIm≠+1:
La fórmula (2) es converteix en:
[
]
n
m
n
mIqIqCV −−− ++++= )1(...)1.(. 110
10 (3)
A l’expressió anterior,
[
]
n
m
n
mIqIq −−− ++++ )1.(...)1.( 110 correspon a la suma dels
n primers termes d’una progressió geomètrica, el primer i últim terme de la qual
son respectivament 10
1)1.( −
+= m
Iqa i n
m
n
nIqa −
+= )1.( i la raó de la progressió
j = 1
)1.( −
+m
Iq .
Podeu consultar l’expressió matemàtica de la suma dels n primer termes d’una
progressió geomètrica seguint el següent vincle:
http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9trica
Si a (3) substituïm
[
]
n
m
n
mIqIq −−− ++++ )1.(...)1.( 110 per l’expressió general de la
suma dels n primer termes d’una progressió geomètrica, obtenim:
q
q
CV nn
−+
+−
=
−
Im1
Im)1(1
.
10 (4)
2. Cas qIm=+1:
Ara la fórmula (2) es converteix en:
1
1
1
1
1
1
1
10 )1.(.)1.()1.(. −
=
−
=
−− +=+=+= ∑∑ m
n
rm
n
r
r
m
rInCICIqCV (5)