Problemas de Matemáticas II: Espacio Euclidiano n-dimensional, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Problemas de Matemáticas II: Espacio Euclidiano n-dimensional y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Matem`atiques II

Llista de problemes Tema 1: L’Espai Euclidi`a n-dimensional

Llista de Problemes 1

Matem`atiques II

1. Calculeu la norma dels seg¨uents vectors:

(a)

v = (1, 2) (b)

v = (3, 4) (c)

v = (− 1 , 2)

(d)

v = (− 1 , 0 , 3) (e)

v = (− 2 , − 1 , −3) (f)

v = (0, 0 , −3)

(g)

v = (1, 2 , − 1 , 4) (h)

v = (3, 0 , − 2 , 8) (i)

v = (− 1 , 6 , − 2 , 4)

2. Calculeu la dist`ancia entre les seg¨uents parelles de punts:

(a) p = 3, q = 1 (b) p = (1, 2), q = (1, −2)

(c) p = (1, 2), q = (− 2 , 3) (d) p = (0, 1), q = (− 1 , −2)

(e) p = (3, 2), q = (− 3 , −2) (f) p = (1, 1), q = (6, 3)

(g) p = (1, 0 , 3), q = (− 1 , − 1 , 2) (h) p = (1, 1 , −1), q = (1, 0 , 3)

(i) p = (1, − 1 , 0 , 6), q = (1, 2 , 1 , 0)

3. Calculeu el producte escalar entre les seg¨uents parelles de vectors:

(a)

v = (1, 2),

w = (3, 4) (b)

v = (0, 1),

w = (1, −1)

(c)

v = (1, 1),

w = (1, −1) (d)

v = (2, 1),

w = (4, 2)

(e)

v = (3, −1),

w = (− 1 , 2) (f)

v = (2, 0),

w = (0, 1)

(g)

v = (1, 0 , 2),

w = (1, 2 , 1) (h)

v = (− 1 , 1 , 1),

w = (2, 0 , 2)

(i)

v = (1, 7 , −2),

w = (0, − 2 , −1)

6. Recordeu que un conjunt convex ´es aquell que, per a tota parella de punts

x, y del conjunt, el segment que els uneix tamb´e esta inclos en el conjunt.

Digueu si el conjunt A = {(x, y, z) ∈ <

3 | x + y + z = 1} es o no un´

conjunt convex.

7. Recordeu que una funci´o ´es convexa si, i nom´es si, el seu hip`ergraf (el que

hi ha per sobre de la gr`afica de la funci´o) ´es un conjunt convex. Tamb´e, la

funci´o ´es concava si, i nom´es si, el seu hipograf (el que hi ha per sota de la

funci´o) ´es un conjunt convex. Fent servir aquest criteri decidiu quins dels

conjunts seg¨uents s´on convexes.

(a) A = {(x, y) ∈ <

2 | x

2

• y

2 ≤ 1 }.

(b) A = {(x, y) ∈ <

2 | x ≥ y

2 }.

(c) A = {(x, y) ∈ <

2 | y ≥ e

2 x }.

(d) A = {(x, y) ∈ <

2 | x − y ≤ 2 }.

(e) A = {(x, y) ∈ <

2 | y ≥ x

4

• 2x

2 − x − 3 }.

(f) A = {(x, y) ∈ <

2 | y ≤ sin(x)}.

(g) A = {(x, y) ∈ <

2 | x ≥ y

3 }.

(h) A = {(x, y) ∈ <

2 | y ≥

1

x^2

(i) A = {(x, y) ∈ <

2 | (y

2

• 1)x ≥ 1 , y ≥ x

2 }.

(j) A = {(x, y) ∈ <

2 | x ≤ −y

6 − 3 x

2

• 12, y ≥ 4 }.

8. Siguin A i B dos conjunts convexos de <

n

. Definim el conjunt A + B com

(fixeu-vos que no ´es la uni´o):

A + B = {z ∈ <

n t.q. z = x + y on x ∈ A i y ∈ B}

Demostreu que A+B ´es un conjunt convex.