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Una colección de ejercicios resueltos de álgebra lineal, cubriendo temas esenciales como sumas y restas de matrices, productos matriciales, cálculo de matrices inversas utilizando el método de gauss, y resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante métodos matriciales. los ejemplos proporcionados son detallados y paso a paso, facilitando la comprensión de los conceptos y procedimientos involucrados. Se incluyen problemas de aplicación práctica, lo que permite al estudiante afianzar sus conocimientos y habilidades en el área.
Tipo: Ejercicios
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Dadas las matrices Calcular las siguientes sumas y restas: a b Solución a Sumamos los elementos que se encuentran en la misma posición de ambas matrices: b Restamos los elementos que se encuentran en la misma posición de ambas matrices:
Dadas las matrices: Calcular: a b Solución a Sumamos los elementos que se encuentran en la misma posición de ambas matrices:
2 Calculamos Se multiplican la fila por la columna (producto punto) para obtener el elemento 3 Con lo anterior se verifica que 4 Dadas las matrices Verificar si se cumple Solución
1 Calculamos Se multiplican la fila por la columna (producto punto) para obtener el elemento 2 Calculamos Se multiplican la fila por la columna (producto punto) para obtener el elemento 3 Con lo anterior se verifica que 5 Dadas las matrices
b Solución Recordamos que la transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando las filas por los renglones a Calculamos b Calculamos 7 Dadas las matrices Calcular: a b Solución a Calculamos
b Calculamos 8 Dadas las matrices Calcular: a b Solución a Calculamos b Calculamos
3 Notamos que el elemento que se encuentra en la posición coincide con la potencia de , por lo que proponemos para la potencia 4 Veamos si la fórmula propuesta se cumple para la potencia Con lo anterior se verifica que la fórmula propuesta es válida para cualquier potencia 10 Demostrar que , siendo
Solución 1 Calculamos 2 Sustituimos en la parte izquierda de la ecuación y calculamos Así, hemos demostrado la igualdad solicitada. 11 Demostrar que , siendo Solución 1 Calculamos
Hacemos Hacemos Hacemos y 3 La matriz inversa es
Calcular la matriz inversa de Solución 1 Construir una matriz del tipo 2 Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, , en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa. Hacemos Hacemos
2 Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, , en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa. Hacemos Hacemos y 3 La matriz inversa es 15 Obtener las matrices y que verifiquen el sistema:
Solución 1 Multiplicamos la segunda ecuación por 2 Sumamos miembro a miembro y resolvemos para 3 Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y sumando miembro a miembro obtenemos:
Matriz que expresa las horas de taller y de administración para cada uno de los modelos: 17 Calcular el rango de la matriz siguiente: Solución Realizamos operaciones elementales de filas: 1 Hacemos 2 Hacemos
3 Hacemos Por tanto. 18 Siendo: Calcular el valor de en las siguientes ecuaciones: 1 2 3 4 5 Solución Despejamos la variable de cada una de las ecuaciones 1
