Matrices, Esquemas y mapas conceptuales de Matemáticas

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MATRICES

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Objetivos:

✓ Definir las matrices y su clasificación. ✓ Operar matrices y definir estas en función a las operaciones. ✓ Desarrollar destrezas en la resolución de problemas tipo referidos al tema.

MATRICES

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas o columnas y encerrados entre paréntesis, corchetes o llaves. Las matrices se representan con letras mayúsculas. fila 1 columna 2 Ejemplos 𝐶 =

ORDEN DE UNA MATRIZ:

Al número de filas por el número de columnas de una matriz se le llama el orden o tamaño de la matriz. 𝐴 =

Ejemplos Matriz de orden 2 × 2 𝐵 =

Matriz de orden 3 × 3 𝐶 =

Matriz de orden 2 × 3 Una matriz puede tener cualquier número finito de filas y de columnas.

( ) ( ) (,---........... ( ) ( ) ( )

Una matriz A que tiene 𝒎 filas y 𝒏 columnas se dice que es de orden 𝒎 × 𝒏, y se denota por: 𝐴 =

𝑚𝑛

c 1 c 2 c 3 cn Notación: (^) 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠

Aplicación: Encuentre la matriz A = 𝑎𝑖𝑗 3 × 4 donde 𝑎𝑖𝑗 =

𝑖 − 𝑗 ;^ 𝑖^ <^ 𝑗

NOTACIÓN GENERAL

Construyendo la matriz 𝐴 en base a su regla de formación: 𝐴 =

Reemplazando los valores correspondientes de 𝑖 y 𝑗 se tiene: 𝐴 =

! ( ) ., .,.-¡ ;; I ; ; I

• -- - ---^ ...^ .... I ....

;; '^ ' I (^) I l (^) I \ (^) ; ' ,, (^) .... .... (^) __,, ; ; ' -^ - ---^ .....' , ; (^1) l (^) ,

• t:. - ' � (^) -- .... _. > ( ( ) )

MATRICES ESPECIALES

1 ) Matriz rectangular: 𝑁° 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 ≠ 𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑀 =

4 − 2 5 −^7

𝟐) Matriz cuadrada: 𝑁° 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 = 𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

• M tiene 3 filas y 4 columnas
• El orden de la matriz M es 3 × 4
• 𝑀 = 𝑚𝑖𝑗 3 × 4
• 𝑀 ∈ ℝ 3 × 4 Ejemplo: Ejemplo: − 3 4 𝜋 7 −^8 0 1 2

• A tiene 3 filas y 3 columnas
• El orden de la matriz cuadrada A es 3
  • 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 3 × 3
  • 𝐴 ∈ ℝ 3 × 3

( ( )

[

l

( ( ) )

3 ) Matriz nula: 𝑎𝑖𝑗 = 0 ; (^) ∀ 𝑖, 𝑗 Ejemplos: 𝐴 =

Nota:

• 𝐿𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 4 ) Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, donde se cumple: 𝑎𝑖𝑗 = 0 ; ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 Ejemplos: 3 0 0 0 0 0 0 0 𝜋

Nota:

• 𝐿𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙

Ejemplos: 0 2 4 0 7 5 0 0 3

8 ) Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada, donde se cumple: 𝑎𝑖𝑗 = (^0) ; ∀ 𝑖 < 𝑗 Ejemplos: 0 0 0 2 7 0 0 5 3

1. Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada, donde se cumple:

Operaciones con matrices www.tiktok.com/@jhansprofe

Multiplicación de un escalar por una matriz: Sea la matriz A = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 y 𝑘 un número real 𝑘. 𝐴 =^ 𝑘.^ 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 Ejemplo: Dada la matriz 𝐴 =

entonces: 4 𝐴 =

Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna Sean las matrices 𝐴 = 𝑎 1 𝑎 2 …^ 𝑎𝑛^ y 𝐵 =

Se define su multiplicación como 𝐴. 𝐵 = 𝑎 1 𝑏 1 + 𝑎 2 𝑏 2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏𝑛 Ejemplo: Si 𝐴 = (^2) − 1 − 2 y 𝐵 =

entonces: 𝐴. 𝐵 = ( 2 )(− 3 ) + (− 1 )( 4 )+ (− 2 )(− 6 ) 𝐴. 𝐵 = 2

[

( )

( ) l

[ [

[ ]

] l

[ ]

[ ]

[ l

[ ]

[

[ ]

]

MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES:

Sean las matrices A^ =^ 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 y B^ =^ 𝑏𝑖𝑗 𝑛×𝑝 se define: 𝐴𝐵 = 𝑐𝑖𝑘 𝑚×𝑝 tal que (^) 𝑐 𝑖𝑘 =^

𝑗= 1 𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑗𝑘 Ejemplo: Si (^) 𝐴 =

y 𝐵 =

4 0 −^2

1 3 −^1

entonces 𝐴𝐵 =

4 0 −^2

1 3 −^1

Luego 𝐴𝐵 =

8 0 −^4

Nota: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝐴 𝑝𝑜𝑟 𝐵, 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐵 Si A^ =^ 𝑎𝑖𝑗 3 × 4

; B = 𝑏𝑖𝑗

4 × 5

3 × 5 ( ) ( ) ( ) [ l [] [ l [] [ l[ ] [ ] (^) [ ] [ ] (^) [ ] [ (^) l[ ] [ ] [ ] [^ ] t --, - -- - - 1 ] (^) I�-: r - :

- - - --- - - - --- 1 1 1 r 1 - -� 1 íl 1 1 1 1 1 - - - -- - - J � J �J �-- 1 (^ )^ (^ ) t t ( )

POTENCIACIÓN DE MATRICES:

Si A es una matriz cuadrada, se define: 𝐴 𝑛 = 𝐴. 𝐴. 𝐴 … 𝐴 ൞ 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

Además: 𝐴 0 = 𝐼 𝐴 1 = 𝐴

• Donde I es la matriz identidad Ejemplo: Si (^) 𝐴 =

calcule 𝐴 4 Luego: 𝐴 =

2

3

4 𝐴 4 =

MATRICES ESPECIALES

Matriz idempotente (^) 𝐴 2 = 𝐴 Ejemplo: 𝐴 =

2

∴ A es idempotente [ ] [ ] [ ]

[ ][ ][ ] [ ]

..., (^) 'V' • ,J.... (^) V --' ..... (^) V -' [ (^) ] [ [ ] ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]

Matriz nilpotente ∴ 𝐴 es nilpotente cuyo grado de nilpotencia es 3. Matriz involutiva 𝐴 2 = 𝐼 Ejemplo: 𝐴 =

2

∴ A es involutiva

2 = 𝐼 En general se cumple:

2 𝑛 = 𝐼 𝐴 2 𝑛− 1 = 𝐴

La matriz 𝐴 es nilpotente si existe 𝑚 ∈ ℤ

− 1 tal que 𝐴 𝑚 = Θ. Ejemplo: 𝐴 =

2

2

3

4 = Θ 𝐴 5 = Θ 𝐴 6 = Θ

[ ] [ ][ ]

[ ]

{ }

[ l [ ][ l

[ l

[ l

PROPIEDADES:

Siendo 𝐴 𝑦 𝐵 matrices, tenemos 1 ) = 𝐵 + 𝐴 2 ) 𝐴^ +^ 𝐵^ +^ 𝐶^ =^ 𝐴^ +^ (𝐵^ +^ 𝐶) 3 ) En general 𝐴𝐵^ ≠ 𝐵𝐴

• 𝑆𝑖 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 se dice que 𝐴 𝑦 𝐵 son 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠.
• Se cumple que 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = A donde 𝐼 es la matriz identidad.
• Se cumple que 𝐴Θ = Θ𝐴 = Θ donde Θ es la matriz nula. 4 ) 𝐴. 𝐵. 𝐶 = 𝐴. (𝐵. 𝐶)

Ejemplos: Indique verdadero V o falso(F) en cada caso. 1 ) 𝑆𝑖 𝐴𝐵 = Θ → 𝐴 = Θ ∨ 𝐵 = Θ Es falso, puesto que 1 0 0 0

Es falso, puesto que Θ𝐵 = Θ𝐶 = Θ 3 ) Siendo 𝐴 𝑦 𝐵 matrices cuadradas del mismo orden (𝐴 + 𝐵) 2 = 𝐴 2

• 2𝐴𝐵 + 𝐵 2 Es falso, puesto que (𝐴 + 𝐵) 2 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐵) = 𝐴𝐴 +𝐴𝐵 +𝐵𝐴 +𝐵𝐵 = 𝐴 2 +𝐴𝐵 +𝐵𝐴 +𝐵 2 Nota:

• 𝑆𝑖 𝐴 𝑦 𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 →(𝐴^ +^ 𝐵) 2 = 𝐴 2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵 2 ( ) ( ) [ ( ( ) ( ) ( ) [ ][ ] [ ] ) ) ( )

Dada la matriz A = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 su transpuesta es 𝐴 𝑇 definida por: (^) 𝐴𝑇^ = 𝑎𝑗𝑖 𝑛×𝑚 Es decir, se intercambiaron las filas por las columnas Ejemplos: 𝐴 = (^) → 𝐴𝑇^ =

2 ×

3 ×

3 ×

𝑇

3 ×

Propiedades: 1 ) 𝐴 𝑇 𝑇 = 𝐴 2 ) 𝑘. 𝐴 𝑇 = 𝑘. 𝐴 𝑇 ; 𝑘 ∈ ℝ 3 ) 𝐴 + 𝐵 𝑇 = 𝐴 𝑇

• 𝐵 𝑇

𝑇 = 𝐵 𝑇

. 𝐴 𝑇 5 ) 𝐴 𝑛 𝑇 = 𝐴 𝑇 𝑛 ; 𝑛 ∈ ℕ 6 ) 𝐴 − 1 𝑇 = 𝐴 𝑇 − 1 MATRICES ESPECIALES

• Matriz simétrica 𝐴 𝑇 = 𝐴 Ejemplo: − 3 1 8 1 − 7 5 8 5 2

• Matriz antisimétrica 𝐴 𝑇 = −𝐴 Ejemplo: 0 − 1 8 1 0 5 − 8 − 5 0

B =

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

e ) e )^ e^ )^ e^ ) e ) , �-^ -----^ -^ -----^ -^ -----^ -^ -----^ -^ -----^ -^ -----^ -^ -----^ -^ -----^ -^ -----^ -^ -----^ -^ - �'

' \

, e ) e ) e ) ,

( ) ( ) [ ]

[ l

[ ] [ ]

[

l

[

l

[

l

[

l